Numerische Lösung einer Gleichung mit einer Unbekannten verschiedener Potenz

30.10.2025, 08:20

Kognitivist

Numerische Lösung einer Gleichung mit einer Unbekannten verschiedener Potenz

Meine Frage:
Aus folgender Gleichung ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zu schätzen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{N-1} p_{n} = N - (1 - p_{0}) \frac{1- \alpha ^{N} }{1 - \alpha } \end{eqnarray*}$

Es liegen folgende empirisch ermittelte Ergebnisse aus einer experimentalpsychologischen Untersuchung vor: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{N-1} p_{n} = 74.5; <br /> <br /> p_{0} = 0.014; <br /> <br /> N = 109 \end{eqnarray*}$

Das zu schätzende $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist eine Wahrscheinlichkeit und befindet sich $\begin{eqnarray*} \in | 0, 1 | \end{eqnarray*}$ .

Im Lehrbuch wird $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit 0.974 angegeben, "numerisch ermittelt". Aber....wie???

Meine Ideen:
Algebraisch bekomme ich keine Gleichung für die Unbekannte $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , da ich die verschiedenen Potenzen nicht auflösen kann.

Ich kann mir höchstens vorstellen, dass die Unbekannte durch "Probieren" geschätzt wird, da ich den Bereich des Intervalls [0,1] als Lösungsbereich kenne. Die Unbekannte darf hier natürlich weder 0 noch 1 annehmen (also strenggenommen offenes Intervall). "Probieren" heißt ich setze verschiedene Werte ein, z.B. beginnend mit dem Intervall [0.5; 0.99], vergleiche ob ich mich der gesuchten Lösungszahl nähere oder entferne, und ziehe das Intervall durch Probieren immer enger.

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - \alpha ^{109} }{1 - \alpha } = \frac{34.5}{0.986} = 34.98 \end{eqnarray*}$ .

Aber "Herumprobieren" ist halt nicht mathematisch elegant. Gibt es eine Lösungsmethode die ich (noch?) nicht sehe?

30.10.2025, 09:58

Elvis

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Hallo, ich bin der schlechteste Numeriker, den ich kenne. Da es sich hier um die Suche nach einer Nullstelle eines Polynoms handelt, würde ich es mit dem Newtonverfahren versuchen. Startwert 0,5 oder 0,9 ?

30.10.2025, 10:27

Kognitivist

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Da sind wir nicht weit auseinander -
mein "enger zu ziehendes" Intervall durch Probeweises einsetzen
und das Newton-Verfahren - aber es ist halt "Raten" und "Probieren", auch wenn es Newton ein wenig systematisiert hat -
und ich dachte es geht "eleganter"...hm.
danke trotzdem

30.10.2025, 12:03

Elvis

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Ein Teil meiner Aussage war nicht notwendig, nämlich dass es sich bei der differenzierbaren Funktion um ein Polynom handelt. Man kann sie einfach nach dem Quotientenkriterium ableiten. Das Newtonverfahren ist besser als jedes Probierverfahren, weil ein Algorithmus benutzt wird.
Andererseits ist einem Computer heute egal, ob man einen altbekannten Algorithmus oder ein Intervallschachtelungsverfahren programmiert, wenn's auf ein paar Millisekunden nicht ankommt. Als Newton noch mit der Hand rechnen musste, konnte er vielleicht Minuten oder Stunden einsparen. Kann jemand die benötigten Rechenzeiten abschätzen?

30.10.2025, 14:20

mYthos

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Mit GeoGebra in kaum messbarer Zeit (ms-Bereich)

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Mit dem Excel Solver lässt sich "regula falsi", Intervallverfahren (Bisektion) oder auch Newton recht nett implementieren (Beispiele hier im Forum vorhanden!), die Lösung dauert dann einige Millisekunden länger.
Man "sieht" dabei besser, wie die Iteration funktioniert und was bei ihr passiert.

Übrigens, der Näherungswert der angegebenen Gleichung ist 0,97284 und NICHT 0,974

mY+

Anmerkung:
Bei allen diesen Verfahren ist die richtige Wahl des Startwertes von großer Bedeutung.
Gibt es dabei Schwierigkeiten, kann man einfach einen Plot und/oder eine Wertetabelle im zutreffenden Bereich mit entsprechender Einteilung erstellen.
Die Nullstelle befindet sich dann zwischen jenen beiden x-Werten, bei denen ein VZW (Vorzeichenwechsel) der Funktionswerte auftritt.

30.10.2025, 16:52

Elvis

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Professor Schipiti findet 2 reelle und 106 nichtreelle komplexe Lösungen. Rechenzeiten für die reellen Lösungen mit Newtonverfahren um den Faktor 10 schneller als mit Bisektionsverfahren, ca. 10E-6 s gegenüber 10E-5 s.
@Kognitivist: Wenn du eine rationale Zahl hast, dann darfst du sie niemals als Dezimalzahl schreiben, sonst bekommst du immer einen unnötigen Rundungsfehler. Wenn du das machst, dann runde nicht auch noch falsch, sondern nimm möglichst viele Dezimalstellen mit.

30.10.2025, 16:53

Elvis

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Warum liegen die Nullstellen "fast" auf einem "Kreis", und warum ist die größte reelle Nullstelle kleiner, so dass sie nicht auf dem "Kreis" liegt ?

01.11.2025, 00:39

mYthos

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Da das Problem vermutlich aus einem physikalischen Umfeld stammt, sind hier nur reelle, positve Lösungen von Interesse.
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Dass die Gleichung insgesamt 108 Lösungen haben muss, erklärt sich aus der Tatsache, dass sich der Bruch im Funktionsterm durch (x - 1) kürzen lässt (x ist ungleich 1) und somit bleibt als höchste Potenz 108 übrig.
Dies bedingt dann auch, dass reelle Lösungen nur paarweise auftreten können.

Gleichungen in der Form $\begin{eqnarray*} z^n = a + bi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C, n \in \mathbb N, a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ nennt man Kreisteilungsgleichungen.
Die Lösungen sind komplexe Zeiger, deren Spitzen auf einem Kreis mit dem Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a+bi|} \end{eqnarray*}$ liegen. Die Winkeldifferenzen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeigern betragen immer $\begin{eqnarray*} \frac {2\pi}n \end{eqnarray*}$

Diese Gegebenheit liegt bei unserem Problem allerdings - wegen des zusätzlich linearen z neben der 108. Potenz von z - in der Gleichung NICHT vor und kann daher nicht angewandt werden.
Deswegen ist der komplexe Plot, wie richtig angemerkt, auch nur ein "fast"-Kreis.
Der Plot kann durch einen Kreis angenähert werden, dessen Radius der Mittelwert der Zeigerlängen aller 106 komplexen Lösungen (es sind 53 konjugiert komplexe Paare) ist.

mY+

01.11.2025, 01:22

mYthos

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@Elvis

Die Grafiken sind sehr wahrscheinlich von ChatGPT erstellt.
Die Problembehandlung dort gestaltet sich in der Tat sehr interessant, vor allem, wenn man den Bot richtig, d.h. möglichst zielorientiert befragt.
Denn am Beginn sind die Antworten nicht sehr exakt und teilweise auch unrichtig. Es ist daher notwendig, den Dialog zum gewünschten Resultat hinzuführen.
Dann allerdings- nach Lob und Entschuldigung - wird die Sache sehr gut.

"Radius" r:
Genauere numerische Auswertung (alle Wurzeln berechnet und Beträge gemittelt):

Meine Frage:
Kann es sein, dass der Kreisradius nur ein Mittelwert ist und nicht alle Punkte exakt den gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben? Also, dass kein exakter Kreis vorliegt?

Antwort GPT:
Exzellente und sehr berechtigte Beobachtung — und ja, du hast völlig recht:
Es liegt kein exakt perfekter Kreis vor.
Der eingezeichnete Kreis war nur eine mittlere Annäherung. Die Punkte liegen sehr nahe, aber nicht exakt auf einem gemeinsamen Radius.
Warum das so ist:
Theoretisch perfekte Kreisverteilung entsteht nur bei Gleichungen der Form
$\begin{eqnarray*} z^n=c \text{ oder } z^n-c=0 \end{eqnarray*}$
— also wenn das Polynom nur zwei Terme enthält. Dann liegen alle Lösungen genau auf einem Kreis um den Ursprung, mit Radius $\begin{eqnarray*} c^{\frac 1 n} \end{eqnarray*}$ .

Unsere Gleichung
$\begin{eqnarray*} z^{109} -cz + c-1 = 0 \end{eqnarray*}$ enthält drei Terme, und der Term cz (mit linearem z)
sowie die Konstante $\begin{eqnarray*} +c-1 \end{eqnarray*}$ verschieben die Nullstellen leicht vom idealen Kreis weg.
Der lineare Term sorgt für eine kleine asymmetrische Verzerrung, besonders entlang der reellen Achse.
Der konstante Term beeinflusst die Radien geringfügig in Abhängigkeit vom Winkel arg(z).

Anschaulich:
In der komplexen Ebene bilden die Punkte fast, aber nicht perfekt, einen Kreis — es ist eher ein leicht „verbeulter Ring“, mit minimal elliptischer Verzerrung.

mY+

05.11.2025, 11:30

Kognitivist

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Schön, dass meine Ausgangsfrage eine so dynamische Resonanz unter euch
ausgelöst hat, aus der ich mich aber ausklinken müsste, da ich meine Ausgangsfrage beantwortet fand.

Ich habe tatsächlich schon von dem Newton-Vefahren gehört und mein Wissen jetzt nochmals reaktiviert, ja, man ist sehr schnell am gesuchten Wert, und viel "rumgeraten" muss ja auch nicht werden weil die Nullstelle schon nach zwei Schätzwerten recht gut eingrenzbar ist, und dann sucht man im Nullbereich mit $\begin{eqnarray*} f_{n+1} = f_{n} - \frac{f_{n} }{f_{n} ^{'} } \end{eqnarray*}$ und die "Ableitung" im Nenner aus dem Polynom bilden ist ja echt nicht schwer.

Danke euch, auch für den Hinweis dass es Computerprogramme dafür gibt, aber ich will ja "rechnen" lernen

;-)

05.11.2025, 12:58

Elvis

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Rechnen mit mehr als 12 Stellen nach dem Komma macht man nicht mehr im Kopf oder auf dem Papier. Heutzutage programmiert man einen eigenen Lösungsansatz oder benutzt fertige Software. Wenn es schon Algorithmen gibt, die Lösungen effektiv und effizient finden, spricht nichts dagegen, diese zu benutzen.
Mir genügen zum "rechnen" lernen mathematische Theorien wie Algebra, Analysis, Funktionentheorie und ein paar andere, einschließlich ihrer algorithmischen Teiltheorien. Die Numerik und das tatsächliche Berechnen überlasse ich gerne den Blechkästen.
Gute Numeriker wissen nicht nur, welche Algorithmen es gibt und wie sie arbeiten, sie wissen auch, welche Fehlerabschätzungen dazu gehören und welche Probleme bei diesen Algorithmen auftreten können, wenn man sie auf Computern benutzt.

05.11.2025, 15:58

laila49

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Zitat:

Original von Elvis

Gute Numeriker wissen nicht nur, welche Algorithmen es gibt und wie sie arbeiten, sie wissen auch, welche Fehlerabschätzungen dazu gehören und welche Probleme bei diesen Algorithmen auftreten können, wenn man sie auf Computern benutzt.

wir haben schon vor 50 Jahren definiert:
"Algorithmus ist, wenn man weiß, was man machen muss, aber nicht weiß, was man macht....

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