Hühnerklau

02.11.2025, 09:22

laila49

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Hühnerklau

Ich bin auf ein nettes Rätsel gestoßen, zu dem nur die Lösung, aber nicht der Lösungsweg angegeben war.
Ich konnte die Lösung zwar verifizieren, aber zermartere mir den Kopf über den Lösungsweg.

Bei einem Hühnerhalter wird eingebrochen und ein Drittel des Bestandes plus ein drittel Huhn entwendet.

Wenig später wird wieder eingebrochen und ein Viertel des Bestandes und ein viertel Huhn gestohlen.

Es wird zum dritten Mal eingebrochen und ein Fünftel des Bestandes plus drei fünftel Hühner gestohlen.

Wie groß war der Bestand ursprünglich? (es weeden natürlich nur ganze Hühner gestohlen).

02.11.2025, 11:34

Elvis

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Anfangsbestand B0=3600

Lösungsweg:
B1=2/3*B0-1/3*2/3*B0=4/9*B0
B2=3/4*B1-1/4*3/4*B1=9/16*B1
B3=4/5*B2-3/5*4/5*B2=8/25*B2

Um nacheinander den Bestand durch 9,16,25 dividieren zu können, muss der Anfangsbestand ein Vielfaches von 9*16*25=3600 sein.

Übrigens bleiben B3=8/25*B2=8/25*9/16*B1=8/25*9/16*4/9*B0=2/25*B0=288 Hühner übrig.

Anmerkung: Es werden nicht 1/3 und 1/4 Huhn sondern 1/3 und 1/4 der verbleibenden Hühner gestohlen.
Nachtrag: Wenn man sich die Brüche und den Prozess genauer ansieht, erkennt man, dass der Hühnerklau auch mit weniger als 3600 Hühnern funktioniert. Die Rechnung wird mir jetzt aber zu kompliziert. Wer findet das Minimum?

02.11.2025, 12:27

nichteuerernst

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Der Anfangsbestand n kann keinesfalls 3600 sein. Es werden beim ersten mal n/3 + 1/3 = (n+1)/3 aller Hühner gestohlen. Also muss n+1 durch 3 teilbar sein.

02.11.2025, 12:54

Elvis

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Vom Bestand 3600 wird 1/3 geklaut, das sind 1200, verbleiben 2400. Von diesen 2400 Hühnern wird "plus 1/3 Huhn" entwendet, das sind 800. Es bleiben 1600 Hühner nach dem ersten Einbruch übrig.

(Mein Versuch, den Anfangsbestand zu minimieren endet bei B0=450, B3=36)

Falls laila49 meinte, dass Anteile des Bestandes immer Anteile des Anfangsbestandes und nicht des jeweiligen Restbestandes seien, sieht die Rechnung wieder anders aus.

02.11.2025, 13:05

laila49

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zur Klarstellung:

wenn der Anfangsbestand x ist, werden x/3 +1/3 Hühner geklaut, damit sind nach dem ersten Raubzug noch (2x-1)/3 =y Hühner übrig-

davon werden dann im zweiten Durchgang y/4 + 1/4 Hühner entwendet....

02.11.2025, 14:11

adiutor62

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https://de.wikipedia.org/wiki/Diophantische_Gleichung

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02.11.2025, 15:58

laila49

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Zitat:

Original von adiutor62
https://de.wikipedia.org/wiki/Diophantische_Gleichung

daran habe ich auch schon gedacht, aber noch keinen vernünftigen Ansatz gefunden.

Die Zwischenergebnisse müssen ja auch ganzzahlig sein.

02.11.2025, 16:17

Elvis

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Danke für die Klarstellung. Die Aufgabe führt auf ein System linearer Gleichungen und linearer Kongruenzen für die Bestände b0,b1,b2,b3. Kann man so miteinander in Beziehung setzen, dass die Bestände von einem Parameter t=1,2,3,... abhängig sind und bi=ai*t+ci für i=0,1,2,3 gilt.
Meine Minimallösung ist b0=35, b1=23, b2=17, b3=13.
Noch minimaler ist für t=0 die Lösung 5,3,2,1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tipp: Der Vergleich meiner zwei Minimallösungen ergibt die Koeffizienten ai und ci.
Wenn man t noch kleiner macht, bekommt man Lösungen mit negativen Hühnern. Big Laugh

Big Laugh

02.11.2025, 18:02

laila49

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Danke, Elvis.

in dem Buch ist als Lösung 1025 (683, 512, 409) angegeben. Ich kam nicht auf die Idee, eine kleinere zu suchen und habe nur überlegt, was die nächstgrößere ist (2050 jedenfalls nicht!). Wenn ich deine Tipp richtig verstanden habe, wäre dies die Lösung für t=34.

Dazu fällt mir nur ein : warum einfach, wenn es auch kompliziert geht.

Die Lösungen mit negativen Hühnern wären aber auch spannend.

02.11.2025, 18:21

Elvis

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Die Lösungsmenge ist $\begin{eqnarray*} \{(30t+5, 20t+3,15t+2,12t+1)|t\in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ .
Deine Lösung entspricht offenbar t=34.
Für t=-10 ist die Lösung (-295, -197, -148, -119) , also bringen die Diebe 98, 49 und 29 Hühner mit.

02.11.2025, 21:58

Luftikus

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Zitat:

Original von nichteuerernst
Der Anfangsbestand n kann keinesfalls 3600 sein. Es werden beim ersten mal n/3 + 1/3 = (n+1)/3 aller Hühner gestohlen. Also muss n+1 durch 3 teilbar sein.

Dann..

N = 5

-(5/3+1/3) = -2

-> 5-2=3

-(3/4+1/4) = -1

-> 3-1 = 2

-(2/5+3/5 = -1

-> 2-1 = 1

03.11.2025, 08:48

Elvis

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Das ist richtig und entspricht auch meiner positiven Minimallösung. Es folgt aber nicht daraus, dass 3 ein Teiler von n+1 ist. Die Lösungsmenge habe ich vollständig angegeben, und der Anfangsbestand ist nicht die Kongruenzklasse 2 modulo 3 sondern {30t+5|t=0,1,2,...}.

03.11.2025, 12:51

willyengland

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Könnte jemand bitte die korrekte Aufgabe posten?

03.11.2025, 14:17

Elvis

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wegen $\begin{eqnarray*} \frac {2x-1}3=x-\frac {x+1}3 \end{eqnarray*}$ erklärt laila49 in seinem zweiten Beitrag unmissverständlich, wie die Aufgabe zu verstehen ist

03.11.2025, 15:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von laila49
in dem Buch ist als Lösung 1025 (683, 512, 409) angegeben.

Womöglich war die kleinste vierstellige (!) Hühneranzahl gesucht, für die das beschriebene Szenario möglich ist. Solche Details sollte man in der Problemstellung nicht weglassen...

03.11.2025, 18:48

laila49

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von laila49
in dem Buch ist als Lösung 1025 (683, 512, 409) angegeben.

Womöglich war die kleinste vierstellige (!) Hühneranzahl gesucht, für die das beschriebene Szenario möglich ist. Solche Details sollte man in der Problemstellung nicht weglassen...

Nein HAL, das war leider nicht vorausgesetzt. Das Rätsel ist aus dem Buch PSYCHO RÄTSEL.
Es war eines der ersten. Die folgenden werden immer abstruser.

04.11.2025, 09:40

Scotty1701D

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Ich habe die Aufgabe mit Restklassen gelöst:
$\begin{eqnarray*} B_1=\frac{2}{3}B_0-\frac{1}{3}<br /> B_2=\frac{3}{4}B_1-\frac{1}{4}<br /> B_3=\frac{4}{5}B_2-\frac{3}{5} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} 3B_1=2B_0-1<br /> 4B_2=3B_1-1<br /> 5B_3=4B_2-3 \end{eqnarray*}$

Aus der ersten Gleichung erhält man
$\begin{eqnarray*} 2B_0\equiv 1\quad\mbox{(mod 3)} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} B_0\equiv 2\quad\mbox{(mod 3)}\quad(*) \end{eqnarray*}$

Aus der zweiten Gleichung erhält man
$\begin{eqnarray*} 3B_1\equiv 1\quad\mbox{(mod 4)} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} B_1\equiv 3\quad\mbox{(mod 4)} \end{eqnarray*}$
und mit der ersten Gleichung
$\begin{eqnarray*} 2B_0-1\equiv 3\cdot 3\quad\mbox{(mod 4)} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} B_0\equiv 1\quad\mbox{(mod 4)}\quad(**) \end{eqnarray*}$

Aus der dritte Gleichung erhält man
$\begin{eqnarray*} 4B_2\equiv 3\quad\mbox{(mod 5)} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} B_2\equiv 2\quad\mbox{(mod 5)} \end{eqnarray*}$
Aus der zweiten Gleichung erhält man dann
$\begin{eqnarray*} 3B_1-1\equiv 4\cdot2\quad\mbox{(mod 5)} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} B_1\equiv 4\quad\mbox{(mod 5)} \end{eqnarray*}$
und mit der ersten Gleichung
$\begin{eqnarray*} 2B_0-1\equiv 3\cdot 3\quad\mbox{(mod 5)} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} B_0\equiv 0\quad\mbox{(mod 5)}\quad({*}{*}{*}) \end{eqnarray*}$

Aus dem chinesischen Restesatz ergibt sich dann
$\begin{eqnarray*} B_0\equiv 5\quad\mbox{(mod 60)} \end{eqnarray*}$ ,
also $\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{60\cdot n+5| n\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$

Ich denke mal, die vier Zahlen (1025, 683, 512 und 409) waren mögliche Lösungen, und dann ist 1025 die einzige, die passt

LG
Scotty

04.11.2025, 10:24

HAL 9000

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Obacht bei der Division in Restklassenringen!

Zitat:

Original von Scotty1701D
$\begin{eqnarray*} 2B_0-1\equiv 3\cdot 3\quad\mbox{(mod 4)} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} B_0\equiv 1\quad\mbox{(mod 4)}\quad(**) \end{eqnarray*}$

Das ist ein Fehlschluss: Aus $\begin{eqnarray*} 2B_0-1\equiv 3\cdot 3\bmod 4 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} 2B_0\equiv 2\bmod 4 \end{eqnarray*}$ folgt lediglich $\begin{eqnarray*} B_0\equiv 1\bmod~{\color{red}2} \end{eqnarray*}$ , was letztlich dafür veranwortlich ist, dass du Lösung $\begin{eqnarray*} B_0\equiv 5\bmod 60 \end{eqnarray*}$ statt des korrekten $\begin{eqnarray*} B_0\equiv 5\bmod 30 \end{eqnarray*}$ erhältst.

Zitat:

Original von Scotty1701D
Ich denke mal, die vier Zahlen (1025, 683, 512 und 409) waren mögliche Lösungen

Nein: 1025 ist eine der Lösungen. Die anderen drei Zahlen sind die zugehörigen Resthühneranzahlen nach den drei Diebstählen, und damit wohl nicht als mögliche Lösungskandidaten gedacht.

0

Zitat:

Original von laila49
Nein HAL, das war leider nicht vorausgesetzt. Das Rätsel ist aus dem Buch PSYCHO RÄTSEL.

Wäre beileibe nicht das erste mal, dass ein Fragesteller hier im Forum es verpasst hat, den Kontext gründlich nach allen relevanten Informationen abzugrasen. Etwa ähnliches nehme ich auch hier an.

04.11.2025, 16:32

Scotty1701D

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RE: Obacht bei der Division in Restklassenringen!

Zitat:

Original von HAL 9000
Aus $\begin{eqnarray*} 2B_0-1\equiv 3\cdot 3\bmod 4 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} 2B_0\equiv 2\bmod 4 \end{eqnarray*}$ folgt lediglich $\begin{eqnarray*} B_0\equiv 1\bmod~{\color{red}2} \end{eqnarray*}$

Das passiert, wenn man im Kopf auf die Schnelle ein paar Zwischenschritte überspringt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Primzahlpotenzen machen immer Ärger.

Zitat:

Wäre beileibe nicht das erste mal, dass ein Fragesteller hier im Forum es verpasst hat, den Kontext gründlich nach allen relevanten Informationen abzugrasen. Etwa ähnliches nehme ich auch hier an.

Sehe ich genauso. Die naheliegende Lösung wäre hier ohne weitere Angaben 5 gewesen.

Interessant wäre jetzt, was für "abstrusere" Rätsel da noch drinstehen.

VG

05.11.2025, 13:23

laila49

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RE: Obacht bei der Division in Restklassenringen!

Zitat:

Original von Scotty1701D

Interessant wäre jetzt, was für "abstrusere" Rätsel da noch drinstehen.

VG

Ich stelle mal zwei ein:

a)
[attach]58400[/attach]

b)
[attach]58395[/attach]

viel Spaß

05.11.2025, 14:48

HAL 9000

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Für sowas wie b) hatte ich vor längerer Zeit mal ein Bruteforce-Programm geschrieben, was mir hier

code:
1: 2: 3: 4:	917947476 - 408857923 ----------- 509089553

ausspuckt, also "WIRD SEIN" ist dann "8142 7916".

a) hat den Geruch ähnlich gelagerter IQ-Test-Fragen.

05.11.2025, 15:44

laila49

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Zitat:

Original von HAL 9000
Für sowas wie b) hatte ich vor längerer Zeit mal ein Bruteforce-Programm geschrieben, was mir hier

code:
1: 2: 3: 4:	917947476 - 408857923 ----------- 509089553

ausspuckt, also "WIRD SEIN" ist dann "8142 7916".

dass das mit Bruteforce geht ist klar, aber macht das Spass?

05.11.2025, 15:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von laila49
dass das mit Bruteforce geht ist klar, aber macht das Spass?

Wenn man das Programm eh schon zur Verfügung hat: Ja! Big Laugh

Big Laugh

Langweilige Fallunterscheidungen mühsam durchzuprobieren ist auch nicht gerade die reinste Freude.

05.11.2025, 16:11

Elvis

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Hühner haben mehr Spaß gemacht. Rätsel dürfen gerne mehrdeutig und mehrwertig sein und bitte etwas schwieriger. König Gordios, Vater des Midas, hat den Knoten geknüpft, der fast 500 Jahre nicht gelöst wurde - und dann auch nur mit "brute force". Fermats letzter Satz hat über 350 Jahre auf eine Antwort gewartet, und weil er jeder brutalen Gewalt widerstand, haben wir sehr viel daran gelernt.

05.11.2025, 16:14

HAL 9000

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Ich finde ja das Rinderproblem des Archimedes ganz nett, vor allem die Größenordnung der Tieranzahlen der Lösung des zweiten Problems. smile

smile

05.11.2025, 16:42

Elvis

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Daran haben wir während der Vorlesung "Elementare Zahlentheorie" ein paar Wochen lang herumgerechnet. Zu einer Lösung kamen wir nicht, und wir haben dann beschlossen, dass der uns vorliegende Text fehlerhaft sein muss. Die wichtigste Einsicht war, dass elementare Probleme nicht einfach und schon gar nicht trivial sein müssen. Eine Theorie ist dann elementar, wenn sie versucht, mit elementaren Mitteln zu arbeiten.
In sehr lesenswerten Nacherzählungen von griechischen Sagen, besonders lesenswert, wenn man die klassischen Sagen kennt, macht sich Madeline Miller in ihrem Roman "Ich bin Circe" über die Beziehung zwischen Helios und seinen Kühen lustig und unterstellt ihm, sich gelegentlich in einen Bullen zu verwandeln ... (ich werde hier nicht spoilern, wozu das gut sein soll - ist auch nur spekulativ).

06.11.2025, 08:33

HAL 9000

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Ok, ich geb zu, dass b) auch ganz gut mit einfachen logischen Schlüssen machbar ist, ohne dass man sich in allzu vielen Fällen verheddert: Beginnend mit

code:
1: 2: 3:	KPEPWEKKQ + RPWWKSEDQ = EISERSRSN

sehen wir in der ersten Spalte E=K+R oder E=K+R+1, auf jeden Fall E>0. In der sechsten Spalte kann E+S=S wegen E>0 nicht sein, daher ist E+S+1=S+10, also E=9. Aus der siebten Spalte folgt dann K+9=R+10, also K=R+1, was mit der ersten Spalte dann zu R=4,K=5 führt. Zwischenbilanz ist

code:
1: 2: 3:	5P9PW955Q + 4PWW5S9DQ = 9IS94S4SN

Die fünfte Spalte ergibt wegen des Übertrags aus der sechsten Spalte W+5+1=14 d.h. W=8. Die vierte Spalte führt dann (wieder mit Übertrag) zu P+8+1=9, also P=0. Nächste Zwischenbilanz:

code:
1: 2: 3:	50908955Q + 40885S9DQ = 9IS94S4SN

Jetzt purzeln die restlichen Werte ganz schnell: Dritte Spalte S=7, zweite Spalte I=1, achte Spalte D=2. Da nur noch 3 und 6 übrig sind, ergibt die letzte Spalte Q=3,N=6.

06.11.2025, 10:27

willyengland

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Habe jetzt länger über a) nachgedacht, aber keine Lösung gefunden.
Was soll die Regel sein?

06.11.2025, 10:30

HAL 9000

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Denk dir eine Regel aus, die zu den drei Beispielen passt. Ob das dieselbe ist, die der Aufgabenersteller im Sinn hatte, ist purer Zufall. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.11.2025, 12:03

laila49

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ok, ich geb zu, dass b) auch ganz gut mit einfachen logischen Schlüssen machbar ist, ohne dass man sich in allzu vielen Fällen verheddert:

da hätte ich mich doch intensiver mit der Aufgabenstellung befassen sollen, statt einen Verwendungszweck für das Adjekti "abstrus" zu suchen...

zu a): Die angegebene Lösungsregel scheint mir jedenfalls absolut nicht naheliegend.

06.11.2025, 13:01

willyengland

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Was auffällt ist, dass alle drei Beispiele Doppelziffern sind.
Dabei frage ich mich: Ist "00" eine "Zahl"?

06.11.2025, 14:29

HAL 9000

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Eine mögliche (einigermaßen absurde) Interpretationsvariante für a):

Man addiert die beiden Zahlen rechts oben und rechts unten, und nimmt vom Ergebnis die letzten beiden Ziffern, dies sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . In die Mitte des Rechtecks trägt man dann die am nächsten zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ liegende durch 11 teilbare Zahl ein:

21+61 = 82, am nächsten liegt 77
25+7 = 32, am nächsten liegt 33
10+92 = 102 mit den letzten beiden Ziffern 02, am nächsten liegt 00
3+100 = 103 mit den letzten beiden Ziffern 03, am nächsten liegt 00

Jetzt kannst du dich natürlich beschweren, dass die beiden Werte links da völlig ignoriert werden. Big Laugh

Big Laugh

06.11.2025, 16:45

laila49

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die 00 ist die Null.

Die Regel ist kästchenübergreifend. Die Reihe kann nicht fortgesetzt werden, sondern stellt einen vollständigen Zyklus dar.

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