Mittelwinkelsequenz

10.11.2025, 11:24

Flynnsel

Mittelwinkelsequenz

Meine Frage:
Hallo Guten Tag

ich wollte so etwas hier bestimmen (siehe Grafik). Dafür habe ich auch einen Lösungsweg gefunden der aber keinen gebündelten Funktionszusammenhang liefert. Und es ist schon öfter vorgekommen, wenn ich einen scheinbaren Zirkelschluss zu einer Abfolge mache, sich dennoch ein Ergebnis herausstellt. Ich habe den Lösungsweg auch nur weiterverfolgt, weil es nach den Freiheitsgraden her richtig sein müsste, um eine genaue Freiheitsgradrechnung kümmere ich mich noch.

Die Frage ist, wie kann das Verhältnis von Sequenz und Funktion ein bisschen besser verstanden werden? Dafür fehlen mir in den Kursen die Begriffe und Kategorien. Wer hat davon eine Ahnung.

Meine Ideen:
AB ist die Winkelhalbierende der beiden anderen Strecken.
Das Lot von A-B und die Punkte A, C, und die Höhe von D sind festgelegt

Es wird alpha vorgegeben und daraus kann

B_y = AB_x * tangens (alpha) bestimmt werden, weiter über

D_y = B_y + (D_x - B_x) * tangens (alpha - epsylon / 2) der Winkel epsylon, durch

C_y = B_y + (C_x - B_x) * tangens (alpha + epsylon / 2) die Koordinate B und B_x, und schließlich muss gelten

epsylon / 2 = arcustangens ( (C_y - B_y) / (C_x - B_x) ) - alpha = alpha - arcustangens( (D_y - B_y) / (D_x - B_x) )

womit die Vorgabe bestätigt wird.

Wäre das nun ineinander eingesetzt eine Funktion oder doch ein Zirkelschluss?? Es sind oft lange Abfolgen die zu der Frage führen. Es gibt innerhalb von 0 bis Pi/2 eine eindeutige Lösung und diese ist so berechenbar.

10.11.2025, 13:11

HAL 9000

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Deine Beschreibung ist fahrlässig ungenau.

Zitat:

Original von Flynnsel
AB ist die Winkelhalbierende der beiden anderen Strecken (1).
Das Lot von A-B (2) und die Punkte A, C, und die Höhe von D (3) sind festgelegt

(1) Welche beiden anderen Strecken?

(2) Was verstehst du unter dem Lot einer Strecke?

(3) Was verstehst du unter der Höhe eines Punktes?

Im Zusammenhang mit der Skizze kann man zwar noch einiges mutmaßen, aber so richtige Klarheit stellt sich bei mir nicht ein, was denn nun wirklich fest gegeben und was gesucht ist.

Auch deine Formel lassen einen rätseln: $\begin{eqnarray*} B_y \end{eqnarray*}$ soll wohl die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Koordinate des Punktes $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sein, aber was bedeutet dann $\begin{eqnarray*} AB_x \end{eqnarray*}$ ?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Meine (durch die Skizze inspirierte) Vermutung:

Gegeben sind die Punktkoordinaten von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} A_y=0 \end{eqnarray*}$ weil auf der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse liegend) und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , und von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ zumindest noch die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Koordimate $\begin{eqnarray*} D_y \end{eqnarray*}$ , sowie auch noch Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse.

Gesucht: $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$

Deine Gleichungen sollen wohl lauten

$\begin{eqnarray*} B_y = \left(B_x - A_x\right)\tan(\alpha) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_y = B_y + \left(D_x - B_x\right)\tan\left(\alpha-\frac{\varepsilon}{2}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_y = B_y + \left(C_x - B_x\right)\tan\left(\alpha+\frac{\varepsilon}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Das sind drei Gleichungen für die vier Unbekannten $\begin{eqnarray*} \varepsilon,B_x,B_y,D_x \end{eqnarray*}$ , d.h., es verbleibt ein Freiheitsgrad, was auch anschaulich geometrisch klar ist: Wenn man $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auf der vorgegebenen Geraden hin- und herschiebt, wandert $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ auf der Parallelen zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse.

P.S.: Mit $\begin{eqnarray*} t = \tan(\alpha) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z = \tan\left(\frac{\varepsilon}{2}\right) \end{eqnarray*}$ wird daraus das trigonometriefreie GLS

$\begin{eqnarray*} D_y = \left(B_x - A_x\right)t + \left(D_x - B_x\right)\frac{t-z}{1+tz} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_y = \left(B_x - A_x\right)t + \left(C_x - B_x\right)\frac{t+z}{1-tz} \end{eqnarray*}$

für die drei Variablen $\begin{eqnarray*} B_x,D_x,z \end{eqnarray*}$ .

11.11.2025, 08:24

Flynnsel

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Sehr richtig,

glaube ich zumindest, und die Frage ist damit; wenn ich aus $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} B_{y} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} B_{x} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ das Ergebnis bekommen kann, ist das, wenn auch umständlich, immer als Funktionszusammenhang darstellbar? Es gibt bspw. auch sequenzielles Vorgehen wie die Briggsche Logarithmenbestimmung und andere für das ich noch keine einzelne Funktion gesehen habe. Und die Frage was das alles ist und wie zusammanhängt, ob dies eine Entsprechung oder Kategorie oder keines davon ist.

Mit Strecken sind Linien gemeint. Das Lot davon ist die affine Projezierung im kartesischen Koordinatensystem hier bspw. auf der x-Achse. Die Höhe ist der y-Wert der Koordinate. (Verzeihung das gamma dort sollte ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ werden aber wurde nicht).
Also kann man getrost ineinander einsetzen zum Aufbau eines gls nutzen, vielen Dank das ist am Anfang oft nicht so leicht erkennbar. Genug der Fragen.

11.11.2025, 09:13

HAL 9000

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Ok, nochmal zusammengefasst: In

Zitat:

$\begin{eqnarray*} D_y = \left(B_x - A_x\right)t + \left(D_x - B_x\right)\frac{t-z}{1+tz} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_y = \left(B_x - A_x\right)t + \left(C_x - B_x\right)\frac{t+z}{1-tz} \end{eqnarray*}$

sind die Werte $\begin{eqnarray*} A_x,C_x,C_y,D_y,t \end{eqnarray*}$ bekannt, und $\begin{eqnarray*} B_x,D_x,z \end{eqnarray*}$ gesucht. Legt man einen der drei fest (i.d.R. mit gewissen Beschränkungen), kann man die anderen beiden dann berechnen:

1) $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gegeben: Dann liegt ein lineares GLS für $\begin{eqnarray*} B_x,D_x \end{eqnarray*}$ vor (wobei man zunächst $\begin{eqnarray*} B_x \end{eqnarray*}$ direkt aus der zweiten Gleichung bestimmen kann).

2) $\begin{eqnarray*} B_x \end{eqnarray*}$ gegeben: Dann ist die zweite Gleichung zu einer linearen Gleichung für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ umformbar, und mit deren Ergebnis kann man dann $\begin{eqnarray*} D_x \end{eqnarray*}$ aus der ersten Gleichung bestimmen.

3) $\begin{eqnarray*} D_x \end{eqnarray*}$ gegeben: Dann kann man eine der beiden Gleichungen nach $\begin{eqnarray*} B_x \end{eqnarray*}$ umstellen und das Ergebnis in die andere einsetzen, es entsteht eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

14.11.2025, 12:40

Flynnsel

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Es gibt aber noch eine Bedingung

nämlich dass die Länge von CB und BD zusammen konstant sein müssen. Diese Bedingung habe ich aber gar nicht gebraucht,
was eben erstaunlich ist. Von den drei Möglichkeiten trifft dann 3) zu, womit sich also was, eine quadratische Funktion in $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ergibt??

(ich erhalte so etwas wie

$\begin{eqnarray*} D_{x} = \frac{(C_{x} -B_{x} )(D_{y} -(B_{x} -A_{x} )t)}{C_{y} -(B_{x} -A_{x} )t} + B_{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t= \frac{C_{y} (D_{x} -B_{x} )-(C_{x} -B_{y} )D_{x} }{(D_{x} -B_{x} )(B_{x} -A_{x} )-(C_{x} -B_{x} )(B_{x} -A_{x} )} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z=\frac{t-(Term)}{(Term)t+1} \end{eqnarray*}$

vorbehaltlich mancher Fehler)

Kann ich z.B. das Ergebnis einer quadratischen Lösung als Funktionszusammenhang verstehen, interessante Frage wenn verständlich wird was ich damit meine.

Außerdem, angenommen es wird doch die CB+BD Bedingung der Längen gebraucht, dann kann etwa ein unbekanntes D_x nicht daraus abgeleitet werden?

Wie Sie schon geahnt haben, stammt die Aufgabe aus einer räumlichen Frage und darin ist D_x ein Zwischenergebnis
und die CB+BD-Bedingung wird verwendet. Es geht doch letztlich um so etwas wie eine Beweisführung;
angenommen die CB+BD Bedingung kann nicht funktional aufgelöst werden, was ist dann die Vorgabe alpha. Eine mehr oder weniger
konstante Variable?? Eine Aussage wie in einer Induktion?? Was soll man mit einer Aussage in einer Gleichung anfangen.

Viele Grüße und trotzdem Vielen Dank

14.11.2025, 12:50

Flynnsel

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RE: Mittelwinkelsequenz
Das eigentliche Ergebnis (zum Glück vorhanden).

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