Winkelsumme in 3 rechtwinkligen Dreiecken

02.12.2025, 03:39

Dopap

Winkelsumme in 3 rechtwinkligen Dreiecken

Guten Tag zusammen!

In einem Geometrie-Rätsel sind in 3 rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten
(1;1) , (1;2) und (1;3) die Summe der jeweils größeren oder gleichen Kathetenwinkel zu bestimmen,
also $\begin{eqnarray*} x= \arctan(1)+\arctan(2)+\arctan(3) \end{eqnarray*}$

der Taschenrechner gibt gerundet 180° aus, was die Vermutung von $\begin{eqnarray*} x=\frac {\pi}{ 2} \end{eqnarray*}$ nahelegt.

meine Ideen: $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{4} + \end{eqnarray*}$ ...

02.12.2025, 08:44

Leopold

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Das Umschreiben des Tangensadditionstheorems auf den Arcustangens liefert bei entsprechendem Zweig die Formel

$\begin{align*} \arctan(x) + \arctan(y) = \pi + \arctan \frac{x+y}{1-xy} \, ; \ \ x>0, \, xy>1 \end{align*}$ (Formelsammlung)

Mit $\begin{align*} x=2, y=3 \end{align*}$ kommt man ans Ziel.

Jetzt wäre es noch interessant, eine elementargeometrische Lösung über Symmetrie, Kongruenz und Ähnlichkeit zu finden. Diese einfache Aufgabe bleibt dem Leser überlassen. Augenzwinkern

02.12.2025, 09:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
der Taschenrechner gibt gerundet 180° aus, was die Vermutung von $\begin{eqnarray*} x=\frac {\pi}{ 2} \end{eqnarray*}$ nahelegt.

Sagen wir $\begin{eqnarray*} x=\pi \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

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