Cantor, Abzählbarkeit |
| 05.12.2025, 20:27 | voessli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Cantor, Abzählbarkeit Man könnte nach außen zählen: 1.1 | 1.2 | 2.2 | 2.1 | 3.1 | 3.2 | 3.3. | 2.3 | 1.3 Gleichfalls könnte man die reellen Zahlen über die 2 Indizes abbilden (vor und nach dem Komma). Und somit wäre die Abzählbarkeit der reellen Zahlen bewiesen 
Das Problem mit Cantor ist, daß er beim Abzählen eine Operation einbringt - die Erhöhung der Nachkommastellen um z.B. 1. Aber das konterkariert ja das Kalkül des Sortierens. Genauso könnte ich rechnen Unendlich + 1 = ? Zudem ist seine Tabelle a priori unsortiert .. |
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| 06.12.2025, 08:06 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schreib bitte die ersten 9 nichtrationalen reellen Zahlen auf (vor und nach dem Komma). 
Zu sagen, man könnte, genügt nicht, wenn man es nicht kann. Dazu sagt Cantors Wohlordnungssatz auch, dass man die reellen Zahlen sortieren kann; man weiß nur noch nicht, wie das geht.Übrigens hat Cantor mit unendlichen Ordinalzahlen und Kardinalzahlen gerechnet. Für jede Ordinalzahl ist der Nachfolger von . Wenn mir beim unendlich langen Zählen langweilig wird, nehme ich flugs die nächste Limesordinalzahl, das ist die Vereinigung aller kleineren Ordinalzahlen, und dann wird wieder weiter gezählt. |
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| 06.12.2025, 12:52 | voessli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So würde ich die reellen Zahlen von 0 bis 1 abzählen 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,01 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,02 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 ... . . 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 0,001 0,101 0,102 0,103 0,104 0,105 0,106 0,107 0,108 0,109 0,011 . . 0,991 0,992 0,993 0,994 0,995 0,996 0,997 0,998 0,999 0,0001 0,1001 0,1002 .. . . 0,9998 0,9999 0,00001 0,10001 0,10002 |
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| 06.12.2025, 13:51 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Egal wie viele Nachkommastellen du aufschreibst, das sind immer nur endlich viele, also rationale Zahlen. Du erreichst auf diese Art nicht eine einzige irrationale Zahl und schon gar nicht alle. |
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| 06.12.2025, 21:22 | voessli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deshalb läuft der Algorithmus unendlich oft. Entsprechend der Länge von reellen Zahlen Es ist in meiner Welt eine mathematische Gauklerei. Z.B. ob es eine Zahlenmenge gäbe, die zwischen Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit liege. Das hat keinen objektiven Nutzen |
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| 07.12.2025, 08:10 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie läuft ein Algorithmus? Ein Algorithmus ist ein Rechenverfahren, das muss man sich nicht so vorstellen, als ob ein Programm auf einem Computer läuft. Dein Algorithmus hat auch dann, wenn er am Ende der Ewigkeit mit seiner unendlich großen Liste fertig ist, nur rationale Zahlen und nicht eine einzige irrationale Zahl erzeugt. Er kommt niemals bei an. Also ist deine abenteuerliche Behauptung falsch, dass du damit eine abzählbare Liste aller reellen Zahlen erzeugen könntest. Cantor hat bewiesen, dass es keine solche Liste gibt, also gibt es erst recht keinen Algorithmus, der eine solche Liste erstellen kann. Der objektive Nutzen der Kontinuumshypothese liegt darin, dass Cohen das Forcing erfunden hat, um die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese von ZFC zu beweisen. Damit erhält man viele weitere Unabhängigkeitsbeweise und versteht besser, was man beweisen kann und was nicht. Der objektive Nutzen der Mathematik, die nicht jeder verstehen kann, besteht darin, dass man sehr viel Spaß damit haben kann und nicht ganz so dumm bleibt wie manch einer, der sich ohne Grund für oberschlau hält. |
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| 07.12.2025, 08:21 | laila49 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
der objektive Nutzen der Beschäftigung mit solchen Überlegungen besteht darin, dass man das Denken lernt. ich halte die NI (natürliche Intelligenz) noch immer für wertvoller als die KI (konfuse Idiotie). |
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| 07.12.2025, 12:03 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Cantorsche_Paarungsfunktion |
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| 07.12.2025, 16:19 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
s.a. Edmund Weitz: https://youtu.be/H8ZBjsYU4JE?t=4915 (bei t = 1:22 h) |
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| 22.12.2025, 23:37 | voessli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben hier zwei verschiedene Kategorien von Unendlichkeit. Die des Kalküls und die der (hypotetischen) Ziffernanzahl. Rationale Zahlen sind wie natürliche Zahlen anhand des Operators +1 unendlich abzählbar. Bei den Rationalen gibt es noch einen (!) Bruch. Bei den reellen Zahlen wird a priori die Unendlichkeit der Ziffern vorrausgesetzt und es wird versucht diese in einem unendlichen Kalkül zu ordnen. Das scheitert, wie der Diagonalbeweis zeigt. Ich wunder mich, inwiefern solche mathematischen Gedankenspiele irgendeine fruchtbringende Erkenntnis liefern. |
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| 23.12.2025, 08:06 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Newton und Leibniz haben nicht mit unendlichen Dezimalzahlen gerechnet, das geht nämlich nicht. Diese Monster, mit denen man nichts anfangen kann, interessieren auch heute nur Menschen, die nichts von Mathematik verstehen. Newton hat kontinuierliche Bewegungen im physikalischen Raum untersucht, Leibniz hat mathematische Algorithmen für die Differential- und Integralrechnung entwickelt und damit Funktionen, Folgen und Reihen berechnet. MathematikerInnen wissen heute, was für Zahlen gedacht werden können, welche Eigenschaften sie haben und wie man damit rechnet. Physik und Mathematik bieten heute allen Wissenschaftlern, Ingenieuren und Technikern tiefe Einsichten in die Welt, in der wir leben und die wir mitgestalten können. Vor Cantor wusste kein Mensch, dass es mehr als eine Art Unendlichkeit in der Mathematik gibt. Cantor hat bewiesen, dass es unendlich viele verschiedene Unendlichkeiten gibt. Sein Diagonalbeweis hat gezeigt, dass es mehr reelle als natürliche Zahlen gibt, das war der allererste Beweis, dass es verschiedene Unendlichkeiten gibt. Später bewies Cantor, dass die Potenzmenge jeder Menge M größer als die Menge M ist. Weil die Potenzmenge der natürlichen Zahlen genau so groß wie die Menge der reellen Zahlen ist, folgt daraus auch, dass die reellen Zahlen nicht abzählbar sind. Auf den Diagonalbeweis für die Dezimalzahlen können wir daher verzichten. Die Größe oder Mächtigkeit von Mengen wird durch die Kardinalzahlen ausgedrückt. Wem diese unendlich vielen verschiedenen Unendlichkeiten noch nicht genug sind, der kann sich die noch größere Klasse der unendlich vielen unendlich großen Ordinalzahlen ansehen. |
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| 23.12.2025, 12:33 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube für die meisten ist dieses Abzählbarkeitsargument das problematischste. Dass es z.B. genausoviele gerade wie ganze Zahlen geben soll. Das erscheint jedem erst mal widersinnig. Es ist etwas, auf das sich die Mathematiker geeinigt haben. Man kann es aber auch anders sehen. Man könnte auch sagen, es gibt halb so viele gerade wie ganze Zahlen. Würde sich damit irgendein Widerspruch ergeben? |
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| 23.12.2025, 13:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Mengenlehre würde zusammenbrechen, wenn man keine Kardinalzahlen mehr hätte. Der gesamte Aufbau der Mathematik im 20. Jahrhundert beruht auf dem Fundament der Mengenlehre. Es ergäbe sich kein Widerspruch, aber wir hätten den Zustand der Mathematik vor der Grundlagenkrise um 1900. Da halte ich es lieber mit David Hilbert : "Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können." Nachtrag: Soeben habe ich gelesen, dass John Conway um 1970 surreale Zahlen erfunden hat, dazu gehört auch , aber damit kenne ich mich nicht aus. |
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