Wie lange muß ich würfeln?

16.12.2025, 19:21

Ulrich Ruhnau

Wie lange muß ich würfeln?

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Ich habe einen polyedrischen Würfel, mit dem ich Zahlen von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n = 10 \end{eqnarray*}$ würfeln kann. Damit würfele ich so lange ( $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mal), bis jede Zahl $\begin{eqnarray*} m = 20 \end{eqnarray*}$ mal vorgekommen ist.

1. Wie lange muss ich im Schnitt dafür würfeln? $\begin{eqnarray*} \bar{k} \end{eqnarray*}$
2. Wie ist die Häufigkeit H(k), also wie oft ich würfeln muss, verteilt? $\begin{eqnarray*} \sum_k {H(n,m,k)}=1 \end{eqnarray*}$
3. Ich hätte auch gerne eine Formel, die mir die Häufigkeit h als Funktion von n und m angibt, wie oft die übrigen Zahlen dabei gewürfelt wurden. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m}^\infty h(n,m,k)=1 \end{eqnarray*}$
Ich könnte jetzt wieder eine Simulation aufstellen, die aber ohne Formeln für mich etwas unbefriedigend wäre. Ich glaube, ich sehe mir zuerst an, was ich bisher hier gepostet habe. Vielleicht kommt mir dann eine Idee.

16.12.2025, 20:15

Steffen Bühler

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RE: Wie lange muß ich würfeln?
Klingt nach einem Sammelbilderproblem.

Viele Grüße
Steffen

17.12.2025, 18:44

Ulrich Ruhnau

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RE: Wie lange muß ich würfeln?
Steffen, nett dass du mir helfen möchtest, aber gegen den Link muss ich protestieren, nicht nur weil die dortige Aufgabe von meiner abweicht, sondern besonders deshalb, weil die dortige Aufgabe unzureichend beschrieben ist. Erstaunt2

Es wird dort nicht klar gemacht, was n eigentlich sein soll. Vor allen Dingen kommt n im Abschnitt "Wahrscheinlichkeitsverteilung der Füllung eines 4er-Albums" gar nicht mehr vor, so als würde die Problembeschreibung nicht ganz zur Lösung passen. Erstaunt1

17.12.2025, 21:06

Steffen Bühler

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RE: Wie lange muß ich würfeln?
Die englische Version scheint besser zu sein, gerade mit dem Hinweis auf die Stirling-Zahlen. Die wollte ich eigentlich auch schicken, dachte dann aber, deutsch ist passender. Es ist oft bei Wiki so, dass man besser die englische Variante verwenden sollte.

PS: die Fragestellung erinnert mich an einen Newsgroup-Thread, den ich vor über zwanzig Jahren mal gestartet habe…

20.12.2025, 00:36

Ulrich Ruhnau

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RE: Wie lange muß ich würfeln?
Ich werde bald eine Simulationsprogramm erstellen, der Weihnachtstress hält mich ein wenig auf. Engel

Aber danke Steffen! Das hilft mir erst mal weiter.

23.12.2025, 00:13

Ulrich Ruhnau

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RE: Wie lange muß ich würfeln?
So, jetzt ist meine Simulation fertig. Zu Frage 1 wie oft man im Schnitt dafür würfeln muß, liefert meine Simulation über eine Million Versuche:

$\begin{eqnarray*} \overline{k}=274{.}1790 \end{eqnarray*}$

Zu Frage 2 nach der Verteilung wie oft man zu würfeln hat, gibt das folgende Balkendiagram wieder.
[attach]58418[/attach]

Zu Frage 3 mit welcher Häufigkeit die übrigen Zahlen gewürfelt werden, wurde mir erst jetzt klar, dass man die Häufigkeiten zu jeder Zahl erst einmal nach Grösse sortieren sollte, bevor man einen Mittelwert daraus bildet.
[attach]58419[/attach]
Folglich ist der Mittelwert für die Zahl mit der kleinsten Häufigkeit genau 20 (Balken 1).Weil sich diese Mittelwerte nicht beliebig genau aus der Grafik herauslesen lassen, gebe ich sie nochmal als Text wieder: 20.0000 22.1663 23.8671 25.2920 26.5993 27.8874 29.2361 30.7546 32.6613 35.7149

Jetzt will ich darüber nachdenken, wie man das alles rechnerisch bestimmt. Wer eine Idee dazu hat, kann sich ja melden.

08.01.2026, 14:12

HAL 9000

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Die exakte Berechnung von $\begin{eqnarray*} H(n,m,k) \end{eqnarray*}$ scheint eine schwierige Angelegenheit zu sein, selbst rekursiv sehe ich keinen brauchbaren Zugang, d.h., der für das hier vorliegende $\begin{eqnarray*} n=10,m=20 \end{eqnarray*}$ in vernünftiger Zeit ein Ergebnis liefert.

Für $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ (darauf beziehen sich Steffens Links) ist alles noch relativ einfach:

Da wissen wir, dass Verteilung $\begin{eqnarray*} H(n,1,\cdot) \end{eqnarray*}$ entsteht als Faltung der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Geometrischen Verteilungen mit den Parametern $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n},\frac{n-1}{n},\ldots,\frac{2}{n},\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , jede davon kennzeichnet die Zahl der Versuche bis zur nächsten neuen (d.h. bisher noch nicht gewürfelten) Augenzahl.

Für $\begin{eqnarray*} m>1 \end{eqnarray*}$ ist ein vergleichbares iteratives Vorgehen ungleich schwieriger:

Denn leider taucht da in einer möglichen Iterationsgleichung als Parameter nicht nur die Anzahl der Augenzahlen auf, die noch nicht die erforderliche Wurfanzahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ erreicht haben - nein, es muss das komplette Tupel dieser Wurfanzahlen als Information mit einbezogen werden. Für große $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$ bläht das den Parameterraum auf unakzeptable Größen auf.

D.h., mir fällt leider auch nichts besseres ein als Simulation. Tränen

20.01.2026, 21:55

Ulrich Ruhnau

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Danke Hal, dass du es wenigstens versucht hast! Dann scheint das Problem also gar nicht so einfach zu lösen zu sein. Auf jeden Fall bist du noch da und lebst noch. Augenzwinkern

Ich hatte schon die Befürchtung ein wertvoller Mathehelfer sei von uns gegangen. geschockt

. Im Moment habe ich das Problem selber aus meinem Fokus verloren. Vielleicht komme ich später noch mal darauf zurück.

21.01.2026, 09:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Auf jeden Fall bist du noch da und lebst noch. Augenzwinkern

Ich hatte schon die Befürchtung ein wertvoller Mathehelfer sei von uns gegangen. geschockt

Danke für diese Anteilnahme. Augenzwinkern

Wenn so viel los ist wie aktuell hier im Forum, kann man getrost auch mal ein paar Wochen abtauchen.

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