Rubik’s cube |
| 26.12.2025, 10:25 | andyrue | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Rubik’s cube nachdem ich mich eine weile mit einer ki rumgeschlagen habe, und mich diese ständig von neuem verwirrt weil sie widersprüchlich ist, hier mal ein paar kurze fragen zur trägermenge der rubiks cube gruppe. aussage 1: diese trägermenge besteht aus etwa 43 trillionen elementen. diese elemente sind alle möglichen permutationen. in der verknüpfungstabelle wären also etwa 43 trillionen zeilen und spalten. nehmen wir eine beliebige transformation aus der 0.-ten spalte. das wäre dann ein eine permutation/ein farbmuster auf dem würfelnetz. die darstellung dieser permutation wäre auch mit einem sogenannten transformationswort möglich (eine abfolge von den erzeugern), also zum beispiel 1. drehe die obere ebene um 90° gegen den uhrzeigersinn 2. drehe die rechte ebene um 180° gegen den uhrzeigersinn 3. drehe die untere ebene um 90° im uhrzeigersinn und so weiter. ich weiß inzwischen dass jede permutation mit maximal 20 solcher grundlegenden erzeuger generiert werden kann, vom gelösten würfel ausgehend. (die permutation des gelösten würfels wäre dann das neutrale element). wäre es also auch möglich, diese verknüpfungstabelle nicht mit dem möglichen permutationen zu füllen, sondern mit gültigen (möglichst kurzen) transformationswörtern? ist das soweit richtig? was mich irritiert: in der Diedergruppe 3 sind die elemente der gruppe nicht die permutationen, sondern die erzeuger selber (im folgenden symmetrien genannt). es wären also einschließlich dem neutralen element 6 elemente (3 spiegelungen, 2 drehungen und das neutrale element), und sind es auch 3!=6 mögliche permutationen der ecken des dreiecks. liegt es daran, dass in der Diedergruppe 3 jede mögliche permutation mit nur einem erzeuger generiert werden kann, und die verknüpfung/komposition von zwei symmentrien immer eine eine (elementare) symmetrie ergibt. wäre die Verknüpfungstabelle der Diedergruppe 3 auch möglich mit den permutationen als inhalt. so wie beim rubiks cube? und die verknüpfung von zwei permutationen wäre dann wie beim rubiks cube das hintereinander ausführen der transformationswörter (normalwort)? nur dass jedes transformationswort nur aus 1 symmetrie besteht? ist das soweit richtig? ich bin, was die gruppentheorie angeht, anfänger. es geht offensichtlich im um erzeuger (also irgendwelche operationen wie drehungen, spiegelungen ect) und den permutationen, die sie erzeugen. kann also jede verknüpfungstabelle entweder die permutationen enthalten, oder die dorhin führenden transformationswörter? welche grundgedanken sind beim lernen der gruppentheorie wichtig, welche vernachlässigbar? danke für evt. antworten: |
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| 26.12.2025, 20:43 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Satz von Cayley: Jede Gruppe mit n Elementen ist (isomorph zu) eine(r) Untergruppe der symmetrischen Gruppe mit Elementen. Das gilt analog auch für unendliche Gruppen. Das ist interessant und zeigt, dass man Gruppen sehr umständlich beschreiben kann. Jede Gruppe ist durch die Angabe von erzeugenden Elementen und der Produkte einer minimalen Anzahl von erzeugenden Elementen (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt. Das ist trivial und zeigt, dass man Gruppen sehr einfach beschreiben kann. |
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| 27.12.2025, 04:33 | tobit09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht missverstehe ich an dieser sprachlichen Formulierung irgendetwas, aber ist durch Folgendes nicht ein Gegenbeispiel gegeben? "Meine" Gruppe habe als erzeugendes Element 1 und es gelte: 1 verknüpft mit 1 ist 2 (mit 2 ungleich 1). Nun behauptet Elvis' Behauptung nach meinem Verständnis, dass es bis auf Isomorphie nur eine solche Gruppe geben kann. Aber jede zyklische Gruppe mit n Elementen für und auch die unendliche zyklische Gruppe (jeweils zusammen mit einem Erzeuger als 1) erfüllen die Bedingungen. |
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| 27.12.2025, 04:35 | tobit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
versehentlicher Doppelpost gelöscht |
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| 27.12.2025, 08:18 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast die "Produkte" der erzeugenden Elemente übersehen. In deinem Beispiel werden sie zu "Summen", und die verschiedenen zyklischen Gruppen der Ordnung n werden durch das Produkt (n+1)*1=1 charakterisiert, wobei n minimal ist. Beispiel zyklische Gruppe der Ordnung 6 ist die Menge {1,2,3,4,5,6} mit Addition, Erzeuger 1 und 7=1. |
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| 27.12.2025, 11:44 | tobit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Unter einem Produkt erzeugender Elemente habe ich ein Gruppenelement der Form mit a und b erzeugende Elemente verstanden. Wenn ich dich jetzt richtig verstehe, meinst du mit einem Produkt erzeugender Elemente ein Gruppenelement der Form mit erzeugende Elemente für ein (oder ?). (Dann ist (wenn es mindestens ein erzeugendes Element gibt) also die Anzahl der anzugebenden Produkte unendlich und ich würde nicht mehr von einer einfachen Darstellung sprechen...) Ich kann mir gut vorstellen, dass deine in diesem Sinne verstandene Behauptung bei geeigneter Formalisierung korrekt ist, tue mich aber mit dem Beweis schwer (insbesondere im Zusammenhang mit inversen Elementen von Erzeugern unendlicher Ordnung und daraus gebildeten Produkten). Kannst du mir den Beweis oder ein passende Quelle liefern? |
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| 27.12.2025, 13:08 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich gebe zu, dass ich in erster Linie an endliche Gruppen gedacht habe, weil wir endliche Gruppen einfach durch Erzeuger und Relationen beschrieben haben. Zum Beispiel Es kann sein, dass meine erste Behauptung falsch und irreführend war. (Konrad Adenauer:"Was interessiert mich mein Geschwätz von gestern?") |
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