Spiegelzahlen

27.12.2025, 17:07

Terrance

Spiegelzahlen

Meine Frage:
Jede 37n Zahl a, n=1,2,... kann in eine (zu modifizierende) Spiegelzahl b gewandelt werden, so daß b wieder kongruent 0 mod 37 ist. Dabei sollen in der Spiegelzahl
a) zwischen den Ziffern Nullen eingefügt werden (sinnvollerweise nicht vor der ersten, oder nach der letzten), bzw.
b) falls Nullen schon gegeben sind, diese entfernt werden.

Meine Ideen:
Ich nehme an, daß dieser Zusammenhang etwas mit dem Dezimalsystem, den Primzahlen 19 und 37, und speziell der Repunit 111=3·37 - wegen der Faktorisierungsregeln der R(n) -, zu tun hat. Die a,b können keinen kleineren Differenzbetrag als 333 besitzen.
Der eigentliche Grund für diese Betrachtung und mein Interesse daran, liegt am Primmodul p=19, für das die, jeweils gliedweise zu quadrierenden, je 6 kleinsten primitiven Wurzeln a und dazu kleinsten quadratischen Resten b, mit jeweils a+b=19, summiert GLEICHSAM 703=19·37 liefern (wobei 37, 703 offensichtlich erste 'Spiegelzahlen' im obig definierten Sinne sind).

05.01.2026, 10:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Terrance
Jede 37n Zahl a, n=1,2,... kann in eine (zu modifizierende) Spiegelzahl b gewandelt werden

Vielleicht führst du mal näher aus, was du unter "Wandlung" hier verstehst - offenkundig ist es nicht nur das Einfügen/Wegstreichen von Nullen in der Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ :

Z.B. wird $\begin{eqnarray*} a=37 \end{eqnarray*}$ niemals durch bloßes Einfügen von Nullziffern zur Spiegelzahl: 307, 3007, 30007, ...

Womöglich haben wir auch ein unterschiedliches Verständnis des Begriffs Spiegelzahl: Ich kenne den Begriff so, dass damit Zahlen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gemeint sind, wo sich nach Umkehrung der Reihenfolge ihrer Dezimalziffern wieder dieselbe Zahl ergibt.

Oder meinst du das so, dass initial aus $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Spiegelzahl gemacht wird, indem man die Ziffern von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in umgekehrter Reihenfolge hinten dran klebt, d.h., aus $\begin{eqnarray*} a=37 \end{eqnarray*}$ wird zunächst Spiegelzahl 3773, und anschließend erfolgt dann das Nullen-Einfügen? verwirrt

05.01.2026, 12:45

willyengland

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Ich habe das so verstanden:

1*37 = 37 --> 73 --> 703, 7003, ...

2*37 = 74 --> 47 --> 407, 4007, ...

05.01.2026, 12:59

HAL 9000

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Ah Ok, dann habe ich das wohl missverstanden - ich hatte fälschlicherweise an Zahlenpalindrome gedacht.

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Der Nachweis ist nicht schwer - vor allem kann er "konstruktiv" erfolgen:

Die Ausgangszahl $\begin{eqnarray*} a = \sum_{k=0}^d a_k 10^k \end{eqnarray*}$ wird transformiert in folgende Spiegelzahl mit Nullen

$\begin{eqnarray*} b = \sum_{k=0}^d a_k 10^{2d-2k} \end{eqnarray*}$ ,

in Worten: Zwischen alle Ziffern der Spiegelzahl von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wird jeweils eine Nullziffer eingefügt.

Beweis der Teilbarkeit:

$\begin{eqnarray*} 10^d b-a = \sum_{k=0}^d a_k \left( 10^{3d-2k} - 10^k\right) = \sum_{k=0}^d a_k 10^k \left( 1000^{d-k} - 1\right) \end{eqnarray*}$ ist durch 37 teilbar, weil sämtliche Faktoren $\begin{eqnarray*} 1000^{d-k} - 1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 999 = 27\cdot 37 \end{eqnarray*}$ teilbar sind. Da nach Voraussetzung auch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ durch 37 teilbar ist, folgt die Teilbarkeit von $\begin{eqnarray*} 10^d b \end{eqnarray*}$ durch 37. Da die beiden Zahlen $\begin{eqnarray*} 10^d \end{eqnarray*}$ und 37 teilerfremd sind, folgt unmittelbar auch die Teilbarkeit von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ durch 37.

05.01.2026, 13:33

Conny_1729

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RE: Spiegelzahlen
Ich hatte auch den Eindruck, dass hier der Begriff "Spiegelzahl" als Umkehrung der Ziffernfolge aufgefasst werden sollte, also nicht zwingend als Zahlenpalindrom zu sehen ist.
$\begin{eqnarray*} <br /> rev(37\cdot 18919)=rev(700003)=300007 \Rightarrow 37 \text{ ???}<br /> \end{eqnarray*}$

Aber ganz so klar ist das nicht zu erkennen. Scheint mir das Sahnehäubchen zur "Sheldon Conjecture" zu werden. Dann funktioniert das auch evtl. mit 73*n (?).

Pomerance_Spicer_Proof

Gruß Conny

05.01.2026, 13:45

HAL 9000

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Es funktioniert mit jeder Primzahl $\begin{eqnarray*} p\geq 7 \end{eqnarray*}$ , also auch mit $\begin{eqnarray*} p=73 \end{eqnarray*}$ - nur werden es ein paar mehr Nullen sein, die einzufügen sind:

Es sei $\begin{eqnarray*} o_p(10) \end{eqnarray*}$ die Ordnung der 10 modulo $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , d.h., die kleinste positive Zahl $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 10^j\equiv 1\bmod p \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ irgendein positives Vielfaches dieses $\begin{eqnarray*} o_p(10) \end{eqnarray*}$ (beispielsweise klappt gemäß Kleinem Fermat immer $\begin{eqnarray*} r=p-1 \end{eqnarray*}$ ). Dann kann man wählen

$\begin{eqnarray*} b = \sum_{k=0}^d a_k 10^{(r-1)(d-k)} \end{eqnarray*}$ ,

der Beweis der Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ verläuft völlig analog zu oben:

$\begin{eqnarray*} 10^d b - a = \sum_{k=0}^d a_k \left( 10^{(r-1)(d-k)+d} - 10^k\right) = \sum_{k=0}^d a_k 10^k \left( \left( 10^r \right)^{d-k}- 1\right) \equiv 0\bmod p \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} a\equiv 0\bmod p \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 10^d b\equiv 0\bmod p \end{eqnarray*}$ , und mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}\left(10^d,p\right)=1 \end{eqnarray*}$ dann auch $\begin{eqnarray*} b\equiv 0\bmod p \end{eqnarray*}$ .

Beispiele: Für $\begin{eqnarray*} p=37 \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} o_{37}(10)=3 \end{eqnarray*}$ (siehe oben). Für $\begin{eqnarray*} p=73 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} o_{73}(10)=8 \end{eqnarray*}$ - letzteres heißt dann, jeweils 6 Nullen zwischen benachbarte Ziffern der Spiegelzahl einfügen.

$\begin{eqnarray*} a=73 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=30\,000\,007 = 73\cdot 410\,959 \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} a=146 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=600\,000\,040\,000\,001 = 73\cdot 8\,219\,178\,630\,137 \end{eqnarray*}$ .

EDIT (14.1): Der Threadersteller hat wohl das Interesse am Thema verloren.

06.02.2026, 13:32

Terrance1

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Hallo.

Ich habe meinen Nick in Terrance1 geändert.

Kann man die Anzahl einzugebender Nullen bei dem modifizierten Spiegelzahlvorgang bei zunächst nur ung. Primzahlen p ( Primzahl p soll zunächst keine Ziffer 0 besitzen und nicht palindromisch sein, außer 11), also bspw. im Intervall [11,97], mit den respektiven reziproken Periodenlängen L(p) verknüpfen, wobei die Anzahl einzufügender Nullen L(p)-2 lautet?

Da etwa für p=37 --> L(p)=3 gilt, muß die Anzahl einzusetztender Nullen 1 lauten, oder für
das Palindrom p=11--> L=2 muß die Anzahl einzusetztender Nullen 0 lauten, für
p=13 --> L=6 muß die Anzahl einzusetztender Nullen 4 lauten, 300001=13·23077
...

12.02.2026, 12:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Terrance1
Kann man die Anzahl einzugebender Nullen bei dem modifizierten Spiegelzahlvorgang bei zunächst nur ung. Primzahlen p ( Primzahl p soll zunächst keine Ziffer 0 besitzen und nicht palindromisch sein, außer 11), also bspw. im Intervall [11,97], mit den respektiven reziproken Periodenlängen L(p) verknüpfen, wobei die Anzahl einzufügender Nullen L(p)-2 lautet?

Ich gehe davon aus, dass du mit $\begin{eqnarray*} L(p) \end{eqnarray*}$ die minimale Periodenlänge der Dezimalbruchentwicklung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ meinst. In dem Fall ist $\begin{eqnarray*} L(p)=o_p(10) \end{eqnarray*}$ für alle Primzahlen $\begin{eqnarray*} p>5 \end{eqnarray*}$ unmittelbar klar, und damit stimmt deine Vermutung (steht in Übereinstimmung mit den Erkenntnissen aus meinem Beitrag oben).

27.02.2026, 13:18

Terrance1

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Hallo.
Sorry, dass ich mich erst jetzt zur Antwort melden kann.
Erstmal danke für die Antwort.

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