Gruppenhomomorphismus und Eigenschaft

07.01.2026, 19:25	Student07012026	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismus und Eigenschaft Hallo Sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Ring und $\begin{eqnarray} a \in R \end{eqnarray}$ fest ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray} (n \cdot m) \cdot a = n \cdot (m \cdot a) \end{eqnarray}$ gilt, unter Betrachtung des Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{Z} \mapsto n \cdot a \in R \end{eqnarray}$ . Nach Definition ist $\begin{eqnarray} n \cdot a = \underbrace{a + a + \dots + a}_{n \text{ Mal}} \end{eqnarray}$ . Ich würde das über eine Fallunterscheidung machen, der erste Fall wäre $\begin{eqnarray} m,n \geq 0 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} (nm) \cdot a = \underbrace{a + a + \dots + a}_{nm \text{ Mal}} \end{eqnarray}$ Auf der anderen Seite ist $\begin{eqnarray} n \cdot (m \cdot a) = \underbrace{(\underbrace{a + \dots + a}_{m \text{ Mal}}) + (\underbrace{a + \dots + a}_{m \text{ Mal}}) + \dots + (\underbrace{a + \dots + a}_{m \text{ Mal}})}_{n \text{ Blöcke}} \end{eqnarray}$ Das sind $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Blöcke mit jeweis $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Elementen, wir können die Klammern weglassen da die Addition assoziativ ist. Dann ist die Gesamtzahl der Additionen $\begin{eqnarray} nm \end{eqnarray}$ also folgt $\begin{eqnarray} n \cdot (m \cdot a) = \underbrace{a + a + \dots + a}_{nm \text{ Mal}} \end{eqnarray}$ Ist an diesem Beweis etwas falsch? Vielen Dank für eure Hilfe
09.01.2026, 09:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das passt. Damit hier nicht vier Fälle unterschieden werden müssen, würde ich im nächsten Schritt zeigen, dass man wegen -n=(-1)*n die Produkte der Vorzeichen als +1 oder -1 nach links ziehen kann. Dann bleiben nur zwei Fälle übrig. Den zweiten Fall führt man dann auf den ersten Fall zurück.
09.01.2026, 20:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomomorphismus und Eigenschaft Über das Summensymbol kann man etwas sauberer (ohne Pünktchen) argumentieren. Mit $\begin{eqnarray} n \cdot a = \sum_{k=1}^n a \end{eqnarray}$ ist dann nach Definition $\begin{eqnarray} n \cdot (ma) = \sum_{k=1}^n (ma) = \sum_{k=1}^n \left( \sum_{j =1}^m a \right) \end{eqnarray}$ und mit der Assoziativität der Addition dann $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \left( \sum_{j =1}^m a \right) = \sum_{k=1}^n \sum_{j =1}^m a \end{eqnarray}$ . Jetzt brauch ich das Distributitvgesetz $\begin{eqnarray} (n + m)a = n a + m a \end{eqnarray}$ für natürliche Zahlen $\begin{eqnarray} n,m \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} \sum a = a \sum 1 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ der Skalar in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist, zu begründen. Der Rest folgt $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \sum_{j =1}^m a = \sum_{k=1}^n a \sum_{j =1}^m 1 = a \left( \sum_{k=1}^n \sum_{j =1}^m 1 \right) = a \sum_{k=1}^n m = a (nm) \end{eqnarray}$ . Ich frage mich, ob man die Distributivität wirklich benötigt und Student07 implizit über das kombinatorische Argument mitnutzt, oder es eine Schwäche in in meiner Argumentation ist.
14.01.2026, 20:01	Student07012026	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomomorphismus und Eigenschaft Danke Elvis und IfindU, ich habe noch zwei weitere Fragen, meine Definition sagt weiter dass $\begin{eqnarray} na = (-a) + ... + -(a) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} -n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , wenn man das jetzt anwenden möchte, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} (n+m)a = na + ma \end{eqnarray}$ ist, habe ich die Definition dann richtig angewendet, wenn ich schreibe: Fall $\begin{eqnarray} n,m < 0 \end{eqnarray}$ : Setze $\begin{eqnarray} n = -k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m = -l \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k,l > 0 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} (n+m)a = (-k+-l)a = -\underbrace{(k+l)}_{> 0, \in N}a = \underbrace{(-a) + \dots + (-a)}_{k+l \text{ Mal }} \end{eqnarray}$ .
14.01.2026, 20:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das stimmt so, es bleiben aber viele Fälle übrig, die du nicht erwähnt hast. Alle Multiplikationen und Additionen von m und n mit positiven und negativen m und n sind zu untersuchen. Null kann auch noch auftreten. War das mit der Addition nicht sowieso schon klar? Du hast doch in deinem ersten Beitrag vom Gruppenhomomorphismus gesprochen.
14.01.2026, 21:49	Student07012026	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis danke für deine Antwort! JA, der Fall war fast klar, ich wollte nur nochmal prüfen, ob ich die Definition richtig verstanden habe. Zu meiner zweiten Frage bin ich nicht mehr gekommen, das wollte ich noch schnell nachholen. Wie zeigt man denn, dass man wegen -n=(-1)n (das folgte doch wegen na + (-na) = 0 und -(na) = (-n)a, also ist dies das additive Inverse zu na ) die Produkte der Vorzeichen als +1 oder -1 nach links ziehen kann? Meintest du: (1n)(a)(1m)(a) = (1mn)(a) ? Dann bleiben nur zwei Fälle übrig, warum?
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15.01.2026, 11:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismus für jedes a in R heißt (n+m)a=na+ma für alle n,m in Z und alle a in R. Wenn du schon weißt, dass für alle n in Z gilt ((-1)n)a=(-n)a=-(na) für alle n in Z,a in R gilt, bleiben 2 Fälle. (1.) n,m>0 , dann (nm)a=n(ma) hast du schon gezeigt. (2.) Sonst $\begin{eqnarray} (nm)a=\pm_{nm}\pm_n\pm_m(nm)a=\pm_{nm}(\pm_nn\pm_mm)a=\pm_{nm}\pm_nn(\pm_mma) \end{eqnarray}$ wegen (1.) $\begin{eqnarray} =\pm_{nm}\pm_n\pm_m(n(ma))=n(ma) \end{eqnarray}$ Trivial: Wenn n oder m gleich 0 ist, werden die Produkte links und rechts gleich der Null in R. Anmerkung: Mit $\begin{eqnarray} \pm_n \end{eqnarray}$ bezeichne ich das Vorzeichen +1 für n>0 und das Vorzeichen -1 für n<0. Dafür gilt immer $\begin{eqnarray} \pm_{nm}\pm_n\pm_m=1 \end{eqnarray}$ , wie man leicht nachrechnet. $\begin{eqnarray} \pm_nn>0 \end{eqnarray*}$ dürfte klar sein, denn das braucht man, um den 2. auf den 1. Fall zurück zu führen. Notation heute von mir erfunden, standardmäßig schreibt man sgn(n) für das Vorzeichen von n, das ist künstlerische Freiheit.

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