Berechnung einer Kreissehne

14.01.2026, 22:41

LouisE26

Berechnung einer Kreissehne

Hallo miteinander

In einem Kreis von 8 cm Radius werden die Sehnen PQ und PR gezeichnet. Die Sehnen sind 11 cm und 13 cm lang. Wie lang ist die Sehne QR?

Ich habe dafür mal beide Zentriwinkel berechnet:
- für PQ: 86.87°
- für PR: 108.68°

Mein Ziel ist, den Zentriwinkel für QR rauszukriegen - wie kann ich das machen?

15.01.2026, 14:09

Leopold

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Ist dir klar, daß die Aufgabe keine eindeutige Lösung besitzt? In beiden Fällen kannst du den fehlenden Zentriwinkel aus den berechneten Zentriwinkeln durch elementare Winkelsummen bestimmen.

Ich würde aber einen Weg ganz ohne Trigonometrie wählen. Hat ein Dreieck die Seiten $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ , den Umkreisradius $\begin{align*} r \end{align*}$ und den Flächeninhalt $\begin{align*} F \end{align*}$ , so gilt bekanntlich

$\begin{align*} F = \frac{abc}{4r} \end{align*}$

Wenn man jetzt noch für $\begin{align*} F \end{align*}$ die bekannte Formel von Heron verwendet, kann man aus zwei Dreiecksseiten und dem Umkreisradius die dritte Dreiecksseite berechnen.

15.01.2026, 16:32

HAL 9000

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Letzteres konkret ausgeführt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2b^2c^2}{r^2} = (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) = ((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c^4 - \left(2a^2+2b^2-\frac{a^2b^2}{r^2}\right) c^2 + \left(a^2-b^2\right)^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist eine quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray*} c^2 \end{eqnarray*}$ mit den dann gesuchten Seitenlängen

$\begin{eqnarray*} c = \sqrt{t \pm \sqrt{t^2 - \left(a^2-b^2\right)^2}} \end{eqnarray*}$ mit Hilfsgröße $\begin{eqnarray*} t = a^2+b^2-\frac{a^2b^2}{2r^2} \end{eqnarray*}$ .

Ist nicht kürzer als der Winkelweg, dafür aber trigonometriefrei - falls man z.B. verschachtelte Wurzeln in der Ergebnisangabe haben will. Augenzwinkern

15.01.2026, 19:43

nichteuerernst

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RE: Berechnung einer Kreissehne
"Ich würde aber einen Weg ganz ohne Trigonometrie wählen"
@ Leopold: Woher kommt deine Abneigung gegen den Kosinussatz und Additionstheoreme?

16.01.2026, 07:29

HAL 9000

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Für Leopold kann ich nicht sprechen, aber ich mag ebenfalls solche Alternativwege, ohne dass es gleich mit einer Abneigung Trigonometrie-Lösungen verbunden ist. Übrigens: Den Term oben kann man noch von der verschachtelten Wurzel befreien: $\begin{eqnarray*} c = \frac{1}{2r}\, \left| \,a\sqrt{4r^2-b^2} \pm b\sqrt{4r^2-a^2} \,\right| \end{eqnarray*}$

Das sieht doch nun wirklich ganz angenehm aus. Augenzwinkern

Überhaupt: Bei der Aufgabe sehe ich jetzt gar nicht, wo man beim Weg über die Winkel Kosinussatz bzw. Additionstheoreme benötigt.

Zitat:

Original von Leopold
In beiden Fällen kannst du den fehlenden Zentriwinkel aus den berechneten Zentriwinkeln durch elementare Winkelsummen bestimmen.

So ist es. Bei gegebenen $\begin{eqnarray*} a,b,r \end{eqnarray*}$ mit o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} a\geq b \end{eqnarray*}$ bekommt man über $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) = \frac{a}{2r} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sin(\beta) = \frac{b}{2r} \end{eqnarray*}$ diese beiden Dreiecksinnenwinkel

$\begin{eqnarray*} \alpha = \arcsin\left(\frac{a}{2r}\right) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \alpha = 180^{\circ}-\arcsin\left(\frac{a}{2r}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta = \arcsin\left(\frac{b}{2r}\right) \end{eqnarray*}$

heraus. Die Variante $\begin{eqnarray*} \beta = 180^{\circ}-\arcsin\left(\frac{b}{2r}\right) \end{eqnarray*}$ scheidet dabei aus, weil wegen $\begin{eqnarray*} a\geq b \end{eqnarray*}$ dann bereits $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta\geq 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ gelten würde.

In beiden nun verbleibenden Fällen (bei $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ ist es allerdings nur einer) bekommt man dann via $\begin{eqnarray*} \gamma=180^{\circ}-\alpha-\beta \end{eqnarray*}$ die dritte Seite $\begin{eqnarray*} c = 2r\sin(\gamma) \end{eqnarray*}$ .

16.01.2026, 17:22

nichteuerernst

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Warum Additionstheoreme?
Nach der Länge der Sehne QR war gefragt, und der Fragesteller wollte den zugehörigen Zentriwinkel, der hier die Größe $\begin{eqnarray*} \beta - \alpha \end{eqnarray*}$ hat. Nach dem Kosinussatz gilt
(QR)²=8²+8²-2*8*8*cos( $\begin{eqnarray*} \beta - \alpha \end{eqnarray*}$ ).
Für cos( $\begin{eqnarray*} \beta - \alpha \end{eqnarray*}$ ) braucht man Additionstheoreme.
cos( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) und cos( $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ) bekommt man dabei wieder mit dem Kosinussatz aus entsprechenden Dreiecken, die zugehörigen Sinuswerte sind auch über den trigonometrischen Pythagoras oder mit der Doppelwinkelformel aus $\begin{eqnarray*} \alpha/2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta /2 \end{eqnarray*}$ berechenbar.
[attach]58421[/attach]

16.01.2026, 21:48

HAL 9000

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Zur Erinnerung: Die primäre Frage war

Zitat:

Original von LouisE26
In einem Kreis von 8 cm Radius werden die Sehnen PQ und PR gezeichnet. Die Sehnen sind 11 cm und 13 cm lang. Wie lang ist die Sehne QR?

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