Mo 521236

17.01.2026, 18:24

Juan Forlan

Mo 521236

Meine Frage:
Hallo.
Ich beschäftige mich derzeit mit der folgenden Aufgabe aus der Landesrunde der Mathematikolympiade:
Man bestimme alle Tripel reeller Zahlen, die das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} 3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z}) \end{eqnarray*}$ sowie
$\begin{eqnarray*} xy+yz+zy=1 \end{eqnarray*}$ lösen.
Dabei komme ich leider nicht weiter.
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus.

Meine Ideen:
Meine Ansätze sind folgende:
(1) $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3},\frac{1}{2},1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-1) \end{eqnarray*}$ sind Lösungen.
(2) Die zweite Gleichung nach einer Variablen auflösen und in die anderen einsetzen artet ins Unübersichtliche aus.
(3) Wenn alle drei Unbekannte größer als 1 sind, dann kann man nachweisen, dass keine Lsg. existieren.

Latex-Code korrigiert.
klauss

17.01.2026, 18:38

G170126

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RE: Mo 521236
Hast du schon KI gefragt? Gemini? ChatGPT ?

18.01.2026, 12:47

willyengland

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Ist in der zweiten Gleichung ein Fehler?

19.01.2026, 08:31

HAL 9000

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Ich gehe davon aus, dass dort $\begin{eqnarray*} xy+yz+z{\color{red}x}=1 \end{eqnarray*}$ stehen sollte, denn die in (1) angegebenen Tripel erfüllen die andere Gleichung $\begin{eqnarray*} xy+yz+zy=1 \end{eqnarray*}$ nicht.

Meine bisherigen Gedanken zur Lösung:

(4) Aus der ersten Eigenschaft folgt, dass $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ dasselbe Vorzeichen aufweisen, d.h., es sind entweder alle drei positiv oder alle drei negativ.

(5) Ist $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ Lösung, dann auch $\begin{eqnarray*} (-x,-y,-z) \end{eqnarray*}$ . Daher kann man sich von nun an bei der Lösungssuche auf die Tripel mit positiven $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ konzentrieren.

(6) Höchstens einer der drei Werte darf $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ sein: Sind es nämlich zwei oder mehr, so gilt $\begin{eqnarray*} xy+yz+zx > 1 \end{eqnarray*}$ im Widerspruch zur zweiten Eigenschaft.

(7) Aus $\begin{eqnarray*} 3\left(x+\frac{1}{x}\right) = 4\left(y+\frac{1}{y}\right) = 5\left(z+\frac{1}{z}\right) =: t \end{eqnarray*}$ für gegebenes positives $\begin{eqnarray*} t\geq 10 \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} x = \frac{t}{6}\pm \sqrt{\frac{t^2}{36}-1},~y = \frac{t}{8}\pm \sqrt{\frac{t^2}{64}-1},~z = \frac{t}{10}\pm \sqrt{\frac{t^2}{100}-1} \end{eqnarray*}$

"+" bedeutet dabei jeweils ein Wert $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ , daher muss bei mindestens zwei der drei der Zweig "-" gelten.

1.Fall: Bei allen drei gilt der Minuszweig.

Dann sind die drei Werte $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ als Funktion von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ betrachtet jeweils streng monoton fallend, was sich dann auch auf die Funkion $\begin{eqnarray*} t\mapsto xy+yz+zx \end{eqnarray*}$ überträgt. Für $\begin{eqnarray*} t=10 \end{eqnarray*}$ erhalten wir $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2},z=1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} xy+yz+zx=1 \end{eqnarray*}$ . Für alle $\begin{eqnarray*} t>10 \end{eqnarray*}$ gilt wegen der strengen Monotonie somit $\begin{eqnarray*} xy+yz+zx<1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right) \end{eqnarray*}$ die einzige Lösung in diesem Fall.

2.Fall: Bei genau einer Gleichung gilt der Pluszweig.

Über den habe ich noch nicht tiefer nachgedacht, der scheint aber der härtere Brocken zu sein.

19.01.2026, 21:57

Luftikus

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Zitat:

Original von HAL 9000

2.Fall: Bei genau einer Gleichung gilt der Pluszweig.

Über den habe ich noch nicht tiefer nachgedacht, der scheint aber der härtere Brocken zu sein.

Dann Gleichung in t?

(-10/6+sqrt(10^2/36-1), -10/8+sqrt(10^2/64-1),-10/10+sqrt(10^2/100-1))

20.01.2026, 08:34

HAL 9000

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Man kann noch ziemlich einfach zeigen, dass der Pluszweig weder bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ noch bei $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ vorliegen kann, da in diesen Fällen $\begin{eqnarray*} xz>1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} yz>1 \end{eqnarray*}$ gilt. Bleibt der Fall "Pluszweig bei $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ", d.h., wenn man für

$\begin{eqnarray*} x(t) = \frac{t}{6} - \sqrt{\frac{t^2}{36}-1},~y(t) = \frac{t}{8} - \sqrt{\frac{t^2}{64}-1},~z(t) = \frac{t}{10} + \sqrt{\frac{t^2}{100}-1} \end{eqnarray*}$

nachweisen kann, dass

$\begin{eqnarray*} x(t)y(t) + \left(x(t)+y(t)\right)z(t) > 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t>10 \end{eqnarray*}$

gilt, ist man fertig.

Vermutlich gibt es aber einen eleganteren Weg.

23.01.2026, 20:03

Leopold

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Es sind alle reellen Zahlen $\begin{align*} x,y,z \end{align*}$ zu bestimmen, die die Gleichungen

$\begin{align*} \text{(A)} \ \ xy + yz + zx=1 \quad \text{(B)} \ \ 3 \left( x + \frac{1}{x} \right) = 4 \left( y + \frac{1}{y} \right) \quad \text{(C)} \ \ 3 \left( x + \frac{1}{x} \right) = 5 \left( z + \frac{1}{z} \right) \end{align*}$

lösen. Ich biete dazu die folgende Lösung an.

Wie HAL bereits bemerkt hat, müssen $\begin{align*} x,y,z \end{align*}$ dasselbe Vorzeichen besitzen, und mit $\begin{align*} (x,y,z) \end{align*}$ ist auch $\begin{align*} (-x,-y,-z) \end{align*}$ Lösung von $\begin{align*} \text{(A),(B),(C)} \end{align*}$ . Ich setze daher von jetzt ab $\begin{align*} x,y,z>0 \end{align*}$ voraus.

Ich führe die folgende Substitution ein:

$\begin{align*} u = xy \, , \ \ v = yz \, , \ \ w = zx \end{align*}$

Mit $\begin{align*} x,y,z > 0 \end{align*}$ ist auch $\begin{align*} u,v,w > 0 \end{align*}$ . Die Auflösung nach $\begin{align*} x,y,z \end{align*}$ ergibt:

$\begin{align*} \text{(S)} \ \ x = \sqrt{\frac{uw}{v}} \, , \ \ y = \sqrt{\frac{uv}{w}} \, , \ \ z = \sqrt{\frac{vw}{u}} \end{align*}$

Mit Hilfe von $\begin{align*} \text{(S)} \end{align*}$ werden aus $\begin{align*} \text{(A),(B),(C)} \end{align*}$ nach Vereinfachung die Gleichungen

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ u + v + w = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(D)} \ \ 3(uw + v) = 4(uv+ w) \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(E)} \ \ 3(uw + v) = 5(vw + u) \end{align*}$

Mit Hilfe von $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ wird $\begin{align*} v \end{align*}$ aus $\begin{align*} \text{(D),(E)} \end{align*}$ eliminiert. Es wird ausmultipliziert und alles auf eine Seite gebracht:

$\begin{align*} \text{(D')} \ \ 4u^2 + 7uw - 7u - 7w + 3 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ (u - 1)(4u + 7w -3) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(E')} \ \ 5w^2 + 8uw - 8u - 8w + 3 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ (w - 1)(8u + 5w - 3) = 0 \end{align*}$

Der Fall $\begin{align*} u = 1 \end{align*}$ ist nicht möglich, denn aus $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ würde $\begin{align*} v+w=0 \end{align*}$ folgen, womit eine der Größen $\begin{align*} v,w \end{align*}$ negativ wäre, was nicht geht. Ebensowenig ist $\begin{align*} w=1 \end{align*}$ möglich. Also kann man die Gleichungen in $\begin{align*} \text{(D'),(E')} \end{align*}$ noch vereinfachen:

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ 4u + 7w = 3 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(3)} \ \ 8u + 5w = 3 \end{align*}$

Das lineare Gleichungssystem $\begin{align*} \text{(1),(2),(3)} \end{align*}$ ist schnell gelöst: $\begin{align*} u = \frac{1}{6} \, , \ v = \frac{1}{2} \, , \ w = \frac{1}{3} \end{align*}$

Und mit $\begin{align*} \text{(S)} \end{align*}$ erhält man daraus: $\begin{align*} x = \frac{1}{3} \, , \ y = \frac{1}{2} \, , \ z = 1 \end{align*}$ .

24.01.2026, 12:29

willyengland

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@Leopold: Das konnte sogar ich verstehen! Freude

26.01.2026, 06:41

Juan Forlan

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Danke für die große Hilfe und eure Zeit!

26.01.2026, 09:22

HAL 9000

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Obwohl diese Substitution angesichts $\begin{eqnarray*} xz+yz+zx=1 \end{eqnarray*}$ nicht so fern liegt, ist sie mir nicht in den Sinn gekommen - Chapeau!

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Mo 521236

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