Formel für logistisches Wachstum

19.01.2026, 18:30

Logitech-bla

Formel für logistisches Wachstum

Ich habe zwei verschiedene Formeln für das logistische Wachstum gefunden.

Ich vermute mal dass beide stimmen, aber ich würde gerne wissen wie man die eine aus der anderen erhalten kann.
Zudem würde ich gerne noch einen Parameter erklärt bekommenn, wenn das möglich ist.

1. Formel: N(t)= a/(1+be^-(kt)) a ist der Grenzbestand, k die Proportionalitätskonstante,

2. Formel N(t)= a/ (1+ (a/N(0) -1))* e^-(kGt)

Normalerweise hätte ich ja gesagt b = a/N(0) - 1 aber das im e-Teil in der 2. Formel auch nochmal das G vorkommt, bin ich verwirrt.

19.01.2026, 18:32

Logitech-bla1

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Was genau ist der Parameter b und wie kann ich ihn ermitteln

19.01.2026, 18:48

logitech-bla2

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Überlegung dazu:

Oder ist der Grenzbestand der in der 2. FOrmel im Expnenten nochmals auftaucht einfach in der 1. Formel mit in das k einberechnet?

Die Frage würde sich dann allerdings stellen, woher weiß ich das, wenn in einer Aufgaben k angegeben ist, welche Formel bzw. welches k ich nehmen muss.

19.01.2026, 19:07

logitech-bla3

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Sorry, mir ist noch eine Frage entsanden:

Jetzt habe ich noch eine dritte Formel

N(t)= aS / a+ (s-a)*e^-(kt)

a ist in dieser Formel der y-Achsenabschnitt. S der Grenzbestand

Dies macht auch halbwegs Sinn , denn kürze ich mit a bleibt im Zähler nur der Grenzbestand, aber im Nenner ergibt sich dann im vorderen Teil ebenfalls 1 wie bei den anderen Formeln aber im 2. Summand steht nur (s-a) vorher hatte ich da den Quotient (G/N(0) - 1)

Jetzt bin ich sehr verwirrt, weil ich nicht weiß, welche der Formel am besten zu verwenden ist und ob alle stimmen und wie die Formelnn ausenander erzeugt werden können.

20.01.2026, 08:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Logitech-bla
1. Formel: N(t)= a/(1+be^-(kt)) a ist der Grenzbestand, k die Proportionalitätskonstante,

2. Formel N(t)= a/ (1+ (a/N(0) -1))* e^-(kGt)

Falsche Klammersetzung in 2: So wie du es geschrieben hast, gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} N(t) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Vermutlich meinst du stattdessen N(t)= a/ (1+ (a/N(0) -1)* e^-(kGt)), bzw. angenehm lesbar $\begin{eqnarray*} N(t) = \frac{a}{\displaystyle 1 + \left(\frac{a}{N(0)}-1\right)\cdot e^{-k_Gt}} \end{eqnarray*}$ .

Ist dasselbe wie die erste Formel $\begin{eqnarray*} N(t) = \frac{a}{\displaystyle 1 + b e^{-kt}} \end{eqnarray*}$ wobei im Zusammenhang zur zweiten Formel $\begin{eqnarray*} k = k_G \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b= \frac{a}{N(0)}-1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Und auch deine dritte Formel $\begin{eqnarray*} N(t)= \frac{a_3S}{a_3+ (S-a_3)\cdot e^{-kt}} \end{eqnarray*}$ beschreibt denselben Sachverhalt, nur besteht diesmal der Zusammenhang zur zweiten Formel $\begin{eqnarray*} S=a \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a_3=N(0) \end{eqnarray*}$ . Deine Symbolwahl hat also großes Potential Verwirrung zu stiften: Während in den ersten beiden Formeln $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ für den Grenzbestand steht, ist es in deiner dritten Formel dann $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und dort plötzlich dann $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (von mir zur besseren Unterscheidung dann $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ genannt)der Startbestand. Schönes Beispiel, wenn viele Formeln das ganze eher noch unübersichtlicher machen!

Parameter $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ beeinflusst die Geschwindigkeit der Annäherung an den Grenzbestand. Je höher $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ umso schneller passiert dies Annäherung, also desto eher ist man nahe dem Grenzbestand.

Ob man das nun $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k_G \end{eqnarray*}$ nennt, ist egal. Vielleicht meinst du auch ein Produkt $\begin{eqnarray*} kG \end{eqnarray*}$ , wobei dann wieder unklar ist, wofür $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ steht - jedenfalls nicht für den Grenzbestand, denn der ist bei deiner Formel ja $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

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