Integralrechnung von trigonometrischen Funktionen

27.01.2026, 18:13	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung von trigonometrischen Funktionen Meine Frage: Zu lösen ist über partielle Integration das Integral $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! cos^{2}(t) \, dt \end{eqnarray}$ . Als Lösung wird angegeben: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \left(t + sin(t) cost(t) \right) + c \end{eqnarray}$ . Also die Lösung stimmt, denn wenn ich diese differenziere ("ableite") komme ich auf $\begin{eqnarray} cos^{2} (t) \end{eqnarray}$ , die Lösung ist also die gesuchte Stammfunktion. Aber ich komme nicht auf den Lösungweg zu dieser Lösung. Meine Ideen: Ich habe zwei Ansätze - die Grundformel der partiellen Integration, sprich $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! u'(t) v(t) \, dt = u(t) v(t) - \int_{}^{} \! u(t) v'(t) \, dt \end{eqnarray}$ und die trigonometrischen Identitäten, wobei $\begin{eqnarray} cos^{2}(t) = cos(1t)cos(1t) = \frac{1}{2} \left( cos (2t) + cos (0t)\right) = \frac{1}{2} (cos(2t) + 1) \end{eqnarray}$ Dass $\begin{eqnarray} cos (2t) = cos^{2} (t) - sin^{2}(t) \end{eqnarray}$ und bekanntlich $\begin{eqnarray} sin^{2}(t) + cos^{2} (t) = 1 \end{eqnarray}$ könnte hilfreich sein. Ich setze also ein: $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \frac{1}{2}\left(cos(2t) + 1\right) \, dt = \frac{1}{2} t \left(cos(2t) + 1\right) - \int_{}^{} \! - (2 sin(t)cos(t)) t \, dt \end{eqnarray}$ . Das sieht ein wenig nach der gewünschten Lösung aus, aber es bringt mich absolut nicht weiter, und ich sehe nicht, wie ich mich der gewünschten Lösung nähere.
27.01.2026, 19:40	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Term $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2}(\cos(2t)+1) \end{eqnarray}$ nicht mehr weiter umformen, sondern die Linearität des Integrals anwenden, daraufhin Integration durch Substitution. Weiterhin würde ich noch empfehlen, vorzugsweise mit bestimmten Integralen $\begin{eqnarray} \int_a^x f(t)\,\mathrm dt \end{eqnarray}$ statt unbestimmten zu rechnen; dabei auch immer überprüfen, ob die Voraussetzungen der Regeln erfüllt sind.
27.01.2026, 19:57	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung von trignometrischen Funktionen Hallo, Folgender Weg: Es ist nach der angegebenen Formel: u'= cos(t) v= cos(t) u= sin(t) v'= -sin(t) Das setzt Du in die angegebene Formel ein und ersetzt das Integral sin^2(t)= 1-cos^2(t). dann erhälst Du: $\begin{eqnarray} \int_ \! cos^2(t) \, dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =sin(t) cos(t) +t - \int_ \! cos^2(t) \, dt \end{eqnarray}$ das rechte Integral addierst Du auf beiden Seiten und teilst durch 2 und bekommst das angegebene Ergebnis:
28.01.2026, 10:01	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung von trignometrischen Funktionen Macht Sinn. Dann war das mit den trignometrischen Identitäten ein Irrweg und es geht ganz elegant auf dem direkten Weg. Danke dir.
28.01.2026, 10:03	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich probiere auch diesen Lösungsweg mal in Ruhe aus, Additivität von Integralen, klar. Ich guck mal wie weit ich damit komme. Danke auch Dir.
28.01.2026, 10:05	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
An dieses Integral kann ich mich noch aus dem Studium erinnern. Mit dem Trick ist es sehr leicht, aber ohne rechnet man ewig herum und kommt nicht raus aus der Schleife.
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