Rechnen mit unendlichen Mengen - Widersprüche |
| 27.01.2026, 18:17 | V2_Jochen | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Rechnen mit unendlichen Mengen - Widersprüche Guten Tag, ich eben folgendes Video auf YouTube gesehen: youtube.com/watch?v=78GtW3GKhOM Nun frage ich mich: wenn ich durch bloßes umsortieren der einzelnen Summenglieder in einer unendlichen Summe jede erdenkliche Zahl erzeugen kann...ist dann die Mathematik überhaupt konsistent? Vor allem, wenn ich Widersprüche wie ln(2)=1/2ln(2) erzeugen kann...(siehe Video) Meine Ideen: Bitte helft mir, ich würde gerne wissen, wo ich die Sache falsch verstanden habe...denn ln(2) kann ja unmöglich gleich 1/2*ln(2) sein. Zudem: wenn ich mit unendlichen Mengen nahezu jede Zahl erzeugen kann, darf ich dann überhaupt damit rechnen? |
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| 27.01.2026, 23:58 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hintergrund dieser Diskussion ist der riemannsche Umordnungssatz, der eindringlich zu verstehen gibt, dass man die Finger vom Umordnen bedingt konvergenter Reihen lassen sollte. Allerdings sind endliche Umordnungen davon nicht betroffen. In der rigorosen Beweisführung sieht es so aus: Man definiert diese Reihenwerte als Grenzwerte von Partialsummenfolgen. Wenn man so eine Folge nun umordnet, kommt im Allgemeinen eine andere Folge bei raus. Es ist mitnichten von vornherein klar, ob die neue Folge denselben Grenzwert besitzt. Dies muss erst gezeigt werden. Für endliche Umordnungen gibt es so einen Beweis, und für absolut konvergente Reihen auch. |
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| 28.01.2026, 08:22 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Mathematik wird nicht inkonsistent, wenn man eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a umordnet und die neue Folge gegen den Grenzwert b konvergiert. Man darf nur nicht den Fehler machen zu glauben, dass immer a=b gilt. Das Video zeigt also nicht, dass die Mathematik ein Problem hat, es zeigt, dass man nicht jede Folge beliebig umordnen darf. |
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| 12.02.2026, 16:08 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Manchmal geht die Umordnung einer nur bedingt konvergenten Reihe auch ziemlich versteckt vonstatten - daher stets Obacht bei derartigen Operationen. 
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