Trigonometrische Umformungen

27.01.2026, 17:33	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Umformungen Meine Frage: Bei meinen Bemühungen um Integralrechnung (Meyberg & Vachenauer, Höhere Mathematik, S. 173) stieß ich auf folgenden Zusammenhang bei der Vereinfachung einer trigonometrischen Ableitung: $\begin{eqnarray} \frac{dt}{cos^{2}(t) \left(1 + \frac{sin^{2}(t) }{cos^{2}(t) } \right) ^{2} } = cos^{2}(t) dt \end{eqnarray}$ , das heißt also: $\begin{eqnarray} cos^{2}(t) \left(1 + tan^{2}(t) \right) ^{2} = \frac{1}{cos^{2}(t) } \end{eqnarray}$ . Warum ist das so, das heißt wer kann mir mit den fehlenden Zwischenschritten zu dieser Umformung weiterhelfen? Ich möchte das gerne verstehen. Meine Ideen: Mehrfaches Rechnen, z.B. mit Ausmultiplizieren des Nenners sowie Ausmultiplizieren des quadrierten Terms im Nenner und Versuchen, den Zusammenhang $\begin{eqnarray} sin^{2}(t) + cos^{2}(t) = 1 \end{eqnarray}$ zu nutzen, bringt mich der einfach scheinenden Lösung leider nicht näher.
27.01.2026, 17:42	micha108	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Umformungen Hallo zusammen, meines Erachtens hat die Infinitesimalrechnung hiermit nur am Rande zu tun. Es gilt: $\begin{eqnarray} 1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \frac{1}{\cos^2(x)\cdot\left(1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\right)^2}=\frac{1}{\cos^2(x)\cdot\left(\frac{1}{\cos^2(x)}\right)^2}=\cos^2(x) \end{eqnarray}$ Mfg Michael
27.01.2026, 17:45	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Umformungen Hallo, Es gilt allgemein: $\begin{eqnarray} 1 +tan^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)} \end{eqnarray}$ ---->steht in fast jedem Tabellenbuch. Damit kommst Du auf das gesuchte Ergebnis.
28.01.2026, 08:49	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Umformungen Super, es ist so einfach, und dennoch war ich ohne Ende blockiert und habe immer "ausmultipliziert" und endlos unübersichtliche Terme vorgefunden. Und ich wusste doch irgendwie dass ich $\begin{eqnarray} cos^{2}(t) + sin^{2}(t) = 1 \end{eqnarray}$ gebrauchen könnte, aber nicht genau wann ich es einsetzen kann. Danke, super. auf bald!
28.01.2026, 08:50	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Umformungen Danke für den Hinweis mit dem Tabellebuch, aber ich möchte ja irgendwie die Rechenwege nachvollziehen können. War aber einfacher als ich dachte, war irgendwie völlig blockiert mit dem "Ausmulitplizieren"...

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