Mo 561233

01.02.2026, 11:39	Michael Strönbeck	Auf diesen Beitrag antworten »
Mo 561233 Meine Frage: Guten Tag, ich bearbeite derzeit die folgende Frage aus der Landesrunde der Mathematikolympiade. "Man bestimme die kleinste Primzahl, die sich nicht in der Form $\begin{eqnarray} \|2^a-3^b\| \end{eqnarray}$ mit nichtnegativen ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} a, b \end{eqnarray}$ darstellen lässt." Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe! Meine Ideen: Für alle Primzahlen zwischen 2 und 37 kann man ohne Weiteres eine solche Darstellung finden. Da mir das bei 41 nicht gelingt, nehme ich an, dass das die gesuchte Zahl ist. Wenn wir $\begin{eqnarray} 2^a-3^b=41 \end{eqnarray}$ betrachten, können wir, weil a offensichtlich größer 2 ist, modulo 8 auf beiden Seiten anwenden, was diesen Fall ausschließt. Daher muss $\begin{eqnarray} 3^b-2^a=41 \end{eqnarray}$ gelten. Da stecke ich aber fest. Versuche mit mod 5, mod 6 oder mod 7 haben keine Früchte getragen.
01.02.2026, 12:40	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit so gut. Probiere nun mal mod 3 und wende die 3. Binomische Formel auf die Erkenntnisse an
01.02.2026, 13:12	Michael Strönbeck	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 3^b-2^a=41 \end{eqnarray}$ ist modulo 3 $\begin{eqnarray} -2^a\equiv2 \mod 3 \end{eqnarray}$ . Daher ist $\begin{eqnarray} a \equiv 0 \mod 2 \end{eqnarray}$ . Wir können die Gleichung umstellen zu $\begin{eqnarray} 0\equiv 2+2^a \mod 3 \Leftrightarrow 0 \equiv 2^a-1 \mod 3 \end{eqnarray}$ . Anwendung der dritten binomischen Formel führt zu $\begin{eqnarray} 0 \equiv (2^{(\frac{a}{2})}+1)(2^{(\frac{a}{2})}-1) \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} 2^{(\frac{a}{2})} \end{eqnarray}$ sowohl 1 als auch 2 modulo 3 sein kann, sehe ich nicht ganz den Widerspruch?
01.02.2026, 14:32	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe das so, dass man es so schreibt: $\begin{eqnarray} 3^{\frac{2b}{2}}-2^{\frac{2a}{2}}=41 \end{eqnarray}$ Dann binomische Formel.
01.02.2026, 16:14	Michael Strönbeck	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, das ist dann ja sogar sehr elegant! Danke für eure Hilfe!

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