Kuriose Primzahlformel
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09.02.2026, 13:13 laila49 Auf diesen Beitrag antworten »
Kuriose Primzahlformel
ich lese gerade das Buch "Die Musik der Primzahlen" von Marcus du Sautoy. Es befasst sich mit der Riemannschen Vermutung

Dort ist auf Seite 248 eine Formel angegeben, die angeblich alle Primzahlem erzeugt.

[attach]58429[/attach]

Diese Formel ist allerdings ein Produkt.

Ich glaube nicht an einen Scherz, höchstens an einen Druckfehler.

Weiß jemand irgend etwas über solche Formeln. Was kann der Autor gemeint haben?
09.02.2026, 15:26 G090226 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kuriose Primzahlformel
Es gibt keine allgemeine Formel zur Generierung von Primzahlen.


Zitat:
Es gibt keine effiziente Formel zur Generierung von Primzahlen. Theoretisch: Es existieren zwar komplexe mathematische Formeln (z. B. auf Basis der Mills-Konstante oder des Satzes von Wilson), diese sind jedoch für die Praxis unbrauchbar, da sie entweder die Kenntnis der Primzahlen voraussetzen oder extrem rechenintensiv sind. Praktisch: In der Kryptographie werden Primzahlen nicht berechnet, sondern durch Zufallszahlen und anschließende Testverfahren (Primzahltests) gefunden.
09.02.2026, 15:30 G090226 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kuriose Primzahlformel
PS:

Zusammenfassend kann man sagen:
Man kann zwar die Dichte der Primzahlen mit dem Primzahlsatz sehr genau bestimmen (sie werden im Durchschnitt seltener, je höher man zählt), aber die exakte Position der n-ten Primzahl lässt sich nicht direkt „ausrechnen“. Man muss sie durch Tests finden.

Auf die Fields-Medaille dafür wird man wohl ewig warten.
09.02.2026, 15:56 laila49 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kuriose Primzahlformel
Zitat:
Original von G090226
Es gibt keine allgemeine Formel zur Generierung von Primzahlen.


der Autor behauptet aber das Gegenteil. Er behaupte nicht, dass es eine Formel für die n-te Primzahl gibt, sondern eine Formel, die als Ergebnis immer eine Primzahl liefert. Die, die er im Buch angibt, ist jedoch offensichtlich falsch. Das Buch ist aber sehr seriös.

Deshalb frage ich mich, wo der Autor diese Info herhat und ob es da andere Quellen gibt.
09.02.2026, 16:13 G090226 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kuriose Primzahlformel
Zitat:
1. Satz von Wilson (Rechenaufwand) Prinzip: Nutzt die Fakultät (n-1)!. Problem: Um zu prüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist, müsste man gigantische Zahlen berechnen. Bei großen Primzahlen (wie für Verschlüsselungen) würde die Berechnung Billiarden Jahre dauern und den Speicher jedes Computers sprengen

2. Mills-Konstante (Zirkelschluss) Prinzip: Eine mathematische Konstante A, die potenziell Primzahlen liefert. Problem: Man kann den Wert von A nur exakt bestimmen, wenn man die Primzahlen vorher schon kennt. Die Formel berechnet also nichts Neues, sondern verpackt bereits bekanntes Wissen nur in ein anderes Format.

3. Jones-Polynom (Ineffizienz) Prinzip: Ein Polynom mit 26 Variablen, dessen positive Ergebnisse Primzahlen sind. Problem: Die Formel liefert fast nur negative Ergebnisse. Die Suche nach den seltenen positiven Treffern ist viel langsamer als jedes andere Testverfahren.Fazit: Diese Formeln sind mathematisch elegant bewiesen, aber für die gezielte Suche nach neuen Primzahlen viel zu langsam oder logisch kreisförmig.
09.02.2026, 16:22 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von laila49
Dort ist auf Seite 248 eine Formel angegeben, die angeblich alle Primzahlen erzeugt.

So formuliert heißt das ja nicht, dass sie nur diese Primzahlen erzeugt, sondern ggfs. zwischendurch auch andere Zahlen.

In der Hinsicht kann ich z.B. Folge nennen: Die enthält alle ungeraden Primzahlen - na sowas. Augenzwinkern


Und außerdem ist das ganz was anderes, als was du dann später formulierst:

Zitat:
Original von laila49
sondern eine Formel, die als Ergebnis immer eine Primzahl liefert.
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09.02.2026, 17:49 laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss fad doch nochmal präzisieren.
diese Formel soll angeblich alle Primzahlen erzeugen, wenn sie ein positives Resultat liefert.
[attach]58430[/attach]


Die Formel, die er angibt, ist aber ein Produkt

[attach]58432[/attach]



Wie kommt der Autor auf diese Formel angeblich 1976 entdeckt wurde??

Da müsste es ja irgendwo Literatur dazu geben?
09.02.2026, 18:58 willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Gehe auf:
https://mathematikalpha.de/wp-content/up...-Primzahlen.pdf
und scrolle zu:
Primzahlgesetz
Jones, Sato, Wada und Wiens ...

Auch sonst viel Interessantes dort.
Author: Steffen Polster (Mathematik Alpha)
09.02.2026, 19:25 Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Auf die schnelle liefert mir KI einen Verweis auf eine englische Literatur.
10.02.2026, 08:20 laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

danke, willyengland und Helferlein.

da hatte ich das mit dem Polynom wohl missverstanden.

Ich habe das als einen Term in 26 Variablen betrachtet und der ist ja wohl ein Produkt von zwei natürlichen Zahlen und somit eben keine Primzahl..

Was genau gemeint ist, muss ich noch länger durchdenken.

Ich habe jedenfalls noch einige Arbeit vor mir, da durchzublicken.
10.02.2026, 09:15 Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Im genannten Dokument steht als Fußnote

Zitat:
Note the apparent paradox. The polynomial P factors! However, the factors are improper, P = P * 1.

Ich verstehe das so, dass dieses Produkt aus einer ganzen Zahl und einem unechten Bruch gebildet wird, also z.B. .

Viele Grüße
Steffen
10.02.2026, 10:13 laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich verstehe das so, dass dieses Produkt aus einer ganzen Zahl und einem unechten Bruch gebildet wird, also z.B. .

Viele Grüße
Steffen


das habe ich auch schon überlegt.
aber wenn ich für die Variablen nur integers einsetzen kann, kann aus dem Ungetüm der zweiten Faktors auch nur eine ganze Zahl entstehen.




Ich wollte ja schon ein Programm schreiben, mit dem ich die nächsten 5 Jahre Primzahlen erzeuge - in der Hoffnung, auch auf eine bisher noch nicht bekannte zu treffen....
10.02.2026, 10:52 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bei diesem Polynom von hohem Grad in vielen Variablen handelt es sich tatsächlich um ein Primzahlpolynom. In den 1970er Jahren nannten wir solche Polynome "Geisterpolynome", weil wir davon gehört hatten aber noch keines gesehen oder gefunden hatten. Als dann die ersten Polynome dieser Art gefunden und veröffentlicht wurden, zusammen mit einem Verfahren, wie man sie erzeugen kann, bekamen sie den Namen "Primzahlpolynome", und wir haben uns an der Suche nach weiteren Primzahlpolynomen mit möglichst wenig Variablen und möglichst kleinem Grad beteiligt.
Diese Polynome werden als Polynome mit ganzzahligen Variablen aufgefasst. Da sie ganzzahlige Koeffizienten haben, sind alle Werte ganze Zahlen. Der Witz bei Primzahlpolynomen besteht darin, dass sie alle Primzahlen annehmen, wenn man geeignete ganze Zahlen für die Variablen einsetzt, und alle positiven Werte sind Primzahlen.
Dafür gibt es einen Beweis, also haben wir in diesem Sinne Primzahlformeln gefunden. Das nützt aber in der Praxis nichts, weil man nicht weiß, welche Zahlen man einsetzen soll um einen positiven Wert und damit eine Primzahl zu erhalten.
(https://thatsmaths.com/2016/06/09/prime-generating-formulae/)
10.02.2026, 11:54 laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, Elvis.

Was ich aber immer noch nicht verstehe: wenn ich in diese Formel für A bis Z irgendwelche ganzen Zahlen einsetze, erhalte ich ein Produkt aus K+2 und einer ganzen Zahl. Das kann doch höchstens für K = -1 und K = -3 eine Primzahl sein???

Wo ist da mein Denkfehler?
10.02.2026, 12:43 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Quadrate in dem zweiten Faktor (1-a²-b²-...-c²) alle Null sind, dann kann auch k+2 eine Primzahl sein.
10.02.2026, 15:21 laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

man sollte diese Formel jedenfalls von Abiturienten fernhalten. Eine solche Formel könnte sie von der Absicht, Mathematik zu studieren, abbringen.

Für mich ist sie ein heißer Medaillenkandidat im Wettbewerb "nutzloseste Formel der Mathematik"
10.02.2026, 19:28 Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie es ja auch auf der folgenden Seite (auf Deinem Foto nur halb drauf) zu lesen ist:

Zitat:
In Wahrheit ist diese Gleichung praktisch wertlos. Die meisten Werte dieses Polynoms sind negativ. Selbst aus theoretischer Sicht fehlt ihr die besondere Bedeutung. Robinson und Matijasevich hatten gezeigt, dass es zu jeder von einer Turing-Maschine erzeugbaren Folge von Zahlen eine solche Gleichung gibt. Im Vergleich zu irgendeiner anderen Zahlenfolge sind die Primzahlen also in dieser Hinsicht nichts Besonderes.

Diese Einstellung hatten damals viele Mathematiker. Als man dem russischen Mathematiker Yu. V. Linnick von Matijasevichs Resultaten über die Primzahlen berichtete, antwortete er: «O, wunderbar. Wir werden vermutlich viel Neues über die Primzahlen lernen.» Doch als man ihm daraufhin erklärte, wie dieses Ergebnis bewiesen worden war und dass es für viele Zahlenfolgen zuträfe, wurde sein anfänglicher Enthusiasmus deutlich gedämpft: «Das ist schade. Vermutlich werden wir über die Primzahlen nichts Neues lernen.»
10.02.2026, 22:39 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wussten damals sofort, dass damit ein Zusammenhang zwischen Primzahlen und Polynomen gefunden war, der keine praktische Bedeutung für Primzahlen hat. Theoretisch interessant und für die Beweistheorie sehr wichtig war die Entscheidung des 10. Hilbertschen Problems. Deshalb haben wir uns im Arbeitskreis Zahlentheorie ein ganzes Semester mit diesem Beweis beschäftigt.
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