Grenzwert bestimmen

20.02.2026, 13:34

Flynnsel

Grenzwert bestimmen

Meine Frage:

Was, wenn es einen Grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^{2} +x}-x\right) \end{eqnarray*}$

gibt? Durch Einsetzen sieht man mal es gibt wahrscheinlich
einen festen Grenzwert. Wie wird das mathematisch bewiesen und nicht nur beurteilt?

Meine Ideen:
ich löse es mit $\begin{eqnarray*} h = x + 0,5 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x = h - 0,5 \end{eqnarray*}$
und setze dann $\begin{eqnarray*} i = h^{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \pm h = \sqrt{i} \end{eqnarray*}$

und das Limes Unendlich bleibt unverändert.

Dann steht $\begin{eqnarray*} =\ lim_{x \to \infty}\sqrt{i- 0,25}-\sqrt{i}+0,5 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} =\infty -\infty +0,5 \end{eqnarray*}$ würde folgen.

Aber ich kann doch begründen, dass die Terme gleich sind und sehr groß, und daher zu Null
werden müssen!? Damit hätte es den Grenzwert 0,5 .

20.02.2026, 15:46

adiutor62

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RE: unendlich rechnen
Erweitere zur 3. binom. Formel und klammere x dann im Nenner aus und kürze!

21.02.2026, 09:41

Flynnsel

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RE: unendlich rechnen

Zitat:

Original von adiutor62
Erweitere zur 3. binom. Formel und klammere x dann im Nenner aus und kürze!

ist das gemeint

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\sqrt{i}-0,5)*(\sqrt{i}+0,5)} -\sqrt{i} +0,5 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+x} -\sqrt{x^{2}+x} -\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ (falsch!?)

Also ich hatte das x durch x=h-0,5 ersetzt und dann das h durch h=i² erst.

Passt die Frage nicht zu der Aufgabe oder wieso das sehe ich hier nicht.

21.02.2026, 12:22

adiutor62

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RE: unendlich rechnen
Ich meine die Erweiterung mit demselben Term, aber mit einem Plus vor x statt dem Minus.

vgl:
(a-b)*(a+b)

21.02.2026, 13:06

Leopold

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Ich möchte den Hinweis von adiutor62 ein wenig ausführlicher darstellen. Betrachte den Bruch

$\begin{align*} \frac{\sqrt{x^2+x}-x}{1} \end{align*}$

Und diesen Bruch erweiterst du so, daß im Zähler der Produktterm einer 3. binomischen Formel entsteht. Durch Anwenden der 3. binomischen Formel verschwindet die Wurzel im Zähler. Der Zähler wird nach Vereinfachen sehr übersichtlich.
Es sieht nun so aus, als wäre die Schwierigkeit vom Zähler nur in den Nenner gewandert. Vielleicht kommst du nun selber auf die Umformungen, die du durchführen mußt, um im Nenner $\begin{align*} x \end{align*}$ ausklammern und mit dem Zähler kürzen zu können.

21.02.2026, 22:02

Flynnsel

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RE: Grenzwert bestimmen
Wurzel (1 + 1/x) im Nenner soll ein eindeutiges vielsagendes Ergebnis sein wie? Wink

Oder geht es dann noch weiter.

Das wären wohl neue Fragen! Die ich aber nicht stelle. Tschüss

22.02.2026, 07:31

Finn_

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Via Subst. $\begin{eqnarray*} x = \tfrac{1}{h} \end{eqnarray*}$ ginge alternativ auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+x} - x) = \lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h} = \frac{\mathrm d\sqrt{x}}{\mathrm dx}\Big|_{x=1}. \end{eqnarray*}$

U. U. mag man aber von dort kommen.

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