Integrierbarkeit

25.02.2026, 10:41	springer	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrierbarkeit Guten Tag Ist es tatsächlich so, dass die Funktion im Anhang wegen ihrer Sprungstelle nicht integrierbar ist ? Ich hätte gedacht das spielt hier eher keine Rolle.
25.02.2026, 14:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht, das mit der Nicht-Integrierbarkeit ist schlicht falsch. Die Sprungstelle bei $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ bewirkt lediglich, dass die Integralfunktion $\begin{eqnarray} F(x) = \int\limits_0^x f(t) ~ \dd t \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ nicht differenzierbar ist - was sie aber auch nicht sein muss. P.S.: Vielleicht verwechselt der Aufgabenautor Integrierbarkeit mit "Existenz von Stammfunktion". Plot der o.g. Integralfunktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ .
05.03.2026, 10:47	Toffy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, wegen einer Sprungstelle ist so eine Funktion trotzdem integrierbar. Auf [0,2] ist f beschränkt und hat nur an x=1 eine Unstetigkeitsstelle, damit ist das Riemann Integral ganz normal definiert und existiert. Was durch den Sprung kaputtgeht, ist höchstens die Aussage "F ist überall differenzierbar und F’=f", also eine Stammfunktion im strengen Sinn über das ganze Intervall. Die Integralfunktion F(x)=∫0x f(t) dt gibt es aber, nur ist sie an x=1 nicht differenzierbar.
05.03.2026, 12:12	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sieht auch, dass man die Flächen unter den Teilfunktionen berechnen könnte.
24.03.2026, 15:58	Toffy	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, und das ist auch im Prinzip schon die richtige Intuition Wenn man das Intervall bei x=1 aufteilt, kann man die beiden Teilflächen ganz normal berechnen und addieren. Eine einzelne Sprungstelle macht für die Riemann-Integrierbarkeit eben keinen Ärger, solange die Funktion beschränkt ist. Das Problem liegt wirklich nur bei der Differenzierbarkeit der Integralfunktion an der Sprungstelle, nicht bei der Existenz des Integrals selbst.
04.04.2026, 08:28	yogibär	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein hilfreiches Theorem, das man selbst Erstsemestern vor enthält. Zunächst mal schicke ich voraus: zur Konkurrenz für Riemann Integrierbarkeit sind alle Fkt. zugelassen, die auf einem kompakten Intervall beschränkt sind. Das ist bei dir der Fall. Eine zulässige Fkt. ist R_integrierbar genau dann, wenn sie ===> FAST ÜBERALL ( f.ü. ) stetig ist. Dabei ist f.ü. ein Begriff aus der Lebesgue Maßtheorie. Es bedeutet: Überfall mit Ausnahme einer ====> Nullmenge. Nullmengen sind definirt als Mengen vom Maß Null. Schau dir ruhig mal in Wiki an, wie das genau geht. Wohl das Wichtigste: Jede ( höchstens abzählbare ) Menge ist eine Nullmenge. Damit dürfte also eine Fkt. mit nur einer Sprungstelle TRIVIAL integrierbar sein. Das Standardbeispiel, mit dem die Profs ja die unwissenden Erstsemester veraaschen, ist die Fkt. f ( x ) := sin ( 1 / x ) ( 1a ) definiert auf M := [ - 1 ; + 1 ] ( 1b ) ( 1a ) ist stetig bis auf den Nullpunkt. Siehst du; die Singularität bei x = 0 ist hier nicht mal eine Sprungstelle. Denk mal drüber nach; ( 1a ) erweist sich in x = 0 schlicht nicht ===> sttetig ergänzbar. Doch das kümmert keine Sau. Eine Menge, die nur einen Ausnahmepunkt enthält, ist eine Nullmenge. Und so kommen wir denn zu dem ersrtaunlichen Ergebnis: Für die Integrierbarkeit spielt es schlicht keine Rille, ob Fkt. ( 1a ) IN DEM AUSNAHMEPKT: ÜNERHAUPT DEFINIERT IST ODER NICHT:
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04.04.2026, 09:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleine Ergänzung zum yogibär: Hier muss man sehr auf die Definition von fast-überall stetig achten. So könnte man naiv denken, dass die Dirichlet-Funktion fast überall stetig ist, weil $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray}$ (weglassen einer Nullmenge) die konstante Nullfunktion ist und damit stetig ist. Das meint aber fast-überall stetig ist.

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