Konvergente Folge gdw. Cauchy-Folge

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27.02.2026, 00:32	Pippen	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergente Folge gdw. Cauchy-Folge Ich habe hier einen Beweis von Deiser so „dekodiert“, dass ich ihn verstehe. Auf Matheplanet will man nicht mehr richtig, weil ich schonmal so einen Beweis versuchte - aber einen anderen als hier! - der zu einem Monstrum wurde. Ich will das Ding in meine Notizen übertragen und will nichts Falsches oder sonst erheblich Fragwürdiges übernehmen. Kann mal jmd. drüberschauen, ob das so i.O. ist oder wo Sachen im Argen liegen? Satz: Eine Folge reeller Zahlen $\begin{eqnarray} x_0, x_1, usw. \end{eqnarray}$ ist konvergent gdw. sie eine Cauchy-Folge ist. Beweis: $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ Eine Folge $\begin{eqnarray} x_{n(n \in \mathbb N)} \end{eqnarray}$ konvergiere gegen $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Dann gilt nach Definition, für alle reellen $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ > 0 existiert ein $\begin{eqnarray} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_n \in U_\varepsilon(x) = ]x - \varepsilon, x + \varepsilon[ \end{eqnarray}$ für alle n $\begin{eqnarray} \ge n_0 \end{eqnarray}$ . Nun gilt $\begin{eqnarray} x_n \in ]x - \varepsilon, x + \varepsilon[ \end{eqnarray}$ <-> $\begin{eqnarray} x - \varepsilon < x_n < x + \varepsilon \end{eqnarray}$ <-> $\begin{eqnarray} -\varepsilon < x_n - x < +\varepsilon \end{eqnarray}$ <-> $\begin{eqnarray} -\varepsilon < \|x_n - x\| < +\varepsilon \end{eqnarray}$ <-> $\begin{eqnarray} \|x_n - x\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ . Aufgrund der Konvergenz der Folge gibt es für jedes $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ > 0 - und damit auch $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ /2 - einen jeweiligen Index $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ , ab dem für alle n $\begin{eqnarray} \ge n_0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|x_n - x\| < \varepsilon/2 \end{eqnarray}$ , genauso für alle m $\begin{eqnarray} \ge n_0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \|x_m - x\| < \varepsilon/2 \end{eqnarray}$ . Nun betrachten wir $\begin{eqnarray} \|x_n - x_m\| \end{eqnarray}$ . Mithilfe der Dreiecksungleichung, $\begin{eqnarray} \|a+b\| \le \|a\| + \|b\| \end{eqnarray}$ , folgt: $\begin{eqnarray} \|x_n - x_m\| = \|(x_n - x) + (x - x_m)\| \le \|x_n - x\| + \|x - x_m\| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \|x_n - x_m\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ , was der Definition einer Cauchy-Folge entspricht. $\begin{eqnarray} \leftarrow \end{eqnarray}$ Sei X = $\begin{eqnarray} {x_n \| n \in \mathbb N } \end{eqnarray}$ . (1) Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ endlich. Ist $\begin{eqnarray} n = 0 \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ trivial der Grenzwert. Ist $\begin{eqnarray} n > 0 \end{eqnarray}$ , so setzen wir $\begin{eqnarray} \varepsilon = \min \{ \|x_n - x_m\|, x_n \neq x_m\} \end{eqnarray}$ . Aufgrund der Cauchy-Annahme gibt es ein $\begin{eqnarray} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x_n - x_m\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n,m \ge n_0 \end{eqnarray}$ . Dies funktioniert nur, wenn ab einem $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ alle Folgenglieder gleich sind; denn sonst wäre $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ und genau diese Differenz zwischen $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ und 0 würde durch kein $\begin{eqnarray} \|x_n - x_m\| \end{eqnarray}$ unterschritten, im Widerspruch zur Cauchy-Annahme. Wir erhalten dadurch eine Folge, die mit einem unendlich oft gleichen Wert endet, dieser Wert ist trivial der Grenzwert. (2) Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ unendlich. Dann ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ beschränkt, denn für ein beliebiges aber festes $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x_n - x_m\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n,m \ge n_0 \end{eqnarray}$ , also liegen fast alle Folgeglieder $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} ]x_m - \varepsilon, x_m + \varepsilon[ \end{eqnarray}$ , deren Grenzen damit - je nachdem - obere oder untere Schranke sind und der Rest in den endlich vielen Anfangsgliedern, in denen sich - je nachdem - die obere oder untere Schranke findet. Nach dem Satz von Bolzano–Weierstraß existiert daher ein Häufungspunkt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Wir zeigen, dass die Cauchy-Folge gegen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ konvergiert. Sei dazu beliebiges $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0, \varepsilon \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und sei weiter gegeben ein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x_n - x_m\| < \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n,m \ge n_0 \end{eqnarray}$ (was wir annehmenkönnen, weil eine Cauchy-Folge gegeben ist). Da $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ Häufungspunkt von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist, gilt für beliebiges $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} x_n \in U_{\frac{\varepsilon}{2}}(x) \cap (X \setminus {x}) \end{eqnarray}$ . Es läßt sich leicht einsehen, dass $\begin{eqnarray} U_{\frac{\varepsilon}{2}}(x) \cap (X \setminus {x}) \end{eqnarray}$ unendlich sein muss, denn in jeder kleiner oder gleich $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ /2 geschachtelten Umgebung (und davon gibt es unendlich viele) muss ein $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ stecken und weil X unendlich, so müssen es unterschiedliche Werte für $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ sein, die dann natürlich alle erst recht in $\begin{eqnarray} U_{\frac{\varepsilon}{2}}(x) \end{eqnarray}$ liegen. Also existiert auch ein $\begin{eqnarray} m \ge n_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x - x_m\| < \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ . Wieder gilt die Dreiecksungleichung für alle $\begin{eqnarray} n, m \ge n_0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \|x - x_n\| = \|x - x_m + x_m - x_n\| \le \|x - x_m\| + \|x_m - x_n\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \|x - x_n\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ und somit Konvergenz.
27.02.2026, 09:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist im Großen und Ganzen richtig, wenn auch ein bisschen umständlich. Die Benutzung von Bolzano-Weierstrass ist ein zulässiger Trick, der allerdings verschleiert, wie ein Beweis geführt werden kann, der nur die reellen Zahlen, Definitionen für konvergente Folgen und Cauchyfolgen benutzt. Wenn du nur einen Beweis haben möchtest, dann bist du fertig. Wenn du wirklich verstehen willst, was da passiert, solltest du einen direkten Beweis versuchen. Bei einem Beweis kommt es darauf an, wie man die reellen Zahlen definiert, denn für rationale Zahlen ist die Behauptung offensichtlich falsch. Nachtrag: Hier habe ich eine interessante Konstruktion der reellen Zahlen gefunden ( https://mattbaker.blog/2021/12/15/the-eudoxus-reals/ ) Damit müsste der Beweis besonders viel Spaß machen, weil ihn so noch niemand direkt und vollständig ausgeführt hat (jedenfalls kenne ich keinen solchen Beweis). Nachtrag zum Nachtrag: Jetzt kenne ich doch einen solchen Beweis ( https://arxiv.org/abs/math/0405454 ) Wenn du Mut hast, dann mach ihn selbst. Wenn du das nicht willst oder nicht kannst, dann darfst du einfach zur Kenntnis nehmen, dass die Mathematik heute sehr viel elegantere und einfachere Beweise hat als Bolzano 1817 und Weierstraß 1860.
27.02.2026, 23:59	Pippen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin schon froh, dass ich Deisers Beweis so notieren kann, dass ich ihn verstehe und später wiederholen kann. Ich will ihn abschreiben und will natürlich da Sachen haben, wo keine oder nur kleine Fehler drin sind, damit ich nicht mit Fehlern lerne. Ich verstehe dich so, dass das gut genug dafür ist. Wenn du schreibst, dass der Beweis etwas umständlich ist: wieso macht Deiser ihn dann so? (Siehe Link oben) Aus didaktischen Gründen?
28.02.2026, 09:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deiser schreibt in seinem Buch über Mengenlehre, also stehen Mengen und ihre Eigenschaften im Vordergrund. Punktmengen gehören zu den ältesten Beispielen, die mit Hilfe der Mengenlehre untersucht wurden, von besonderem Interesse waren dabei auch reelle Zahlen, die man als Punkte auf einer Geraden auffassen kann. Weierstrass hat die ganze Analysis auf diese Art aufgezogen, und auch heute noch wird Analysis für Studienanfänger so gelehrt. Es hat durchaus Vorteile, mit der Mengenlehre als Grundlage moderner Mathematik zu beginnen und dann mit klassischer Analysis weiter zu machen, weil man so einiges lernt und auch alte Bücher lesen und verstehen kann. Wer sich heute für reelle Zahlen interesssiert, darf nicht bei dieser alten Anschauung stehen bleiben sondern muss verstehen, was reelle Zahlen wirklich sind. Im Gegensatz zu rationalen Zahlen sind die reellen Zahlen vollständig, also muss jede Theorie der reellen Zahlen genau das beweisen. Als erster Mathematiker hat das Dedekind im 19.Jahrhundert geschafft. Ich finde es faszinierend, dass in den 1980er Jahren ein klassischer Zugang des griechischen Mathematikers Eudoxus zu einer Theorie der reellen Zahlen ausgebaut werden konnte. Daran sieht man, dass die alten Griechen in der Mathematik ganz ohne Mengenlehre und mühsame Epsilontik fast so weit waren wie die heutige Mathematik. Anmerkung: Bei Deiser "Reelle Zahlen" kannst du das auch alles und viel mehr nachlesen. Er stellt u.a. die Konstruktionen von Dedekind, Cantor und Schanuel vor. Die Konstruktion von Weierstraß wurde nur in seinen Vorlesungen verwendet, nicht von Weierstraß veröffentlicht (war irgendwas mit Mengen rationaler Zahlen, die er sich als formale unendliche Summen dachte). Gemini behauptet, dass in Ebbinghaus et al "Zahlen" Klaus Mainzer die Konstruktion von Weierstraß bespricht (in der 3. Auflage stimmt das nicht, da halluziniert die KI mal wieder, und sie redet sich damit heraus, dass Intervallschachtelungen im Prinzip dasselbe sei wie Aggregate). Ohne genau zu wissen, wie und was Weierstraß gemacht hat, muss man sich nicht ausschließlich auf ihn beschränken und alle anderen Ansätze ignorieren. Zusatzbemerkung: Wenn man bedenkt, dass Deiser die Kettenbrüche auf wenigen Seiten behandelt und Oskar Perron diesem Thema allein ein schönes Buch mit 544 Seiten gewidmet hat, lässt sich erahnen, dass reelle Zahlen nicht ganz so einfach zu verstehen sind wie mancher Mensch glauben mag. Ich vermute, dass zu jedem Kapitel bei Deiser mindestens zehn dicke Bücher die angerissenen Themen vertiefen. Mathematik enthält mehr als man denkt, auch wenn man schon weiß, dass Mathematik mehr enthält als man denkt.
12.03.2026, 09:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Lektüre von Oliver Deiser "Reelle Zahlen" komme ich gelegentlich ans Nachdenken und Zweifeln. Dann diskutiere ich mit Gemini und stelle fest, dass die KI immer besser wird und manchmal mehr weiß als ich.
18.03.2026, 09:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass Karl Weierstraß ein genialer Analytiker war, weiß man spätestens dann, wenn man seine Theorie der elliptischen Funktionen $\begin{eqnarray} \mathbb C(p,p') \end{eqnarray}$ studiert hat. Er hat in hervorragender Weise den Konvergenzbegriff von dem diffusen Begriff der unendlich kleinen Größe befreit, indem er mit festen reellen $\begin{eqnarray} \epsilon, \delta \end{eqnarray}$ argumentiert. Jetzt weiß ich auch, wie er sich die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen erschaffen hat, und auch da erkennt man seine den normalen Menschen weit übertreffende Genialität. Ein Aggregat $\begin{eqnarray} a=\{a_1,a_2,...\} \end{eqnarray}$ ist eine endliche oder abzählbare Menge rationaler Zahlen, so dass jede endliche Teilsumme $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^na_{k_i}<K_a \end{eqnarray}$ durch eine rationale Zahl beschränkt ist. Reelle Zahlen sind Aggregate, Gleichheit und Ordnung reeller Zahlen zu definieren ist nicht ganz trivial. Addition . $\begin{eqnarray} a+b=\{a_1,a_2,...\}+\{b_1,b_2,...\}:=\{a_1,b_1,a_2,b_2,...\}=a\cup b \end{eqnarray}$ Multiplikation . $\begin{eqnarray} a\cdot b=\{a_1,a_2,...\}\cdot \{b_1,b_2,...\}:=\{a_i\cdot b_j\} \end{eqnarray}$ Division . Nicht ganz trivial. So hat Weierstraß auch die reellen Zahlen ohne jeden Rückgriff auf unendliche Folgen definiert, seine reellen Zahlen sind genau wie seine gesamte Analysis durch endliche Begriffe begründet. Nachdem ich das verstanden habe, sehe ich diesen Ansatz in Analogie zu den p-adischen Zahlen, die Hensel später erschaffen hat, denn auch diese entstehen zunächst rein formal als Folgen von Partialsummen, die man genau wie Weierstraß als Aggregate bezüglich des p-Betrags definieren kann. Ob Hensel durch Weierstraß Ansatz in der Entwicklung seiner Ideen inspiriert war, weiß ich nicht, ich halte es für möglich aber eher für unwahrscheinlich, denn jedes großes Genie findet seinen eigenen Weg zu seinem eigenen Ziel. (Was sagen Mathematikhistoriker dazu?) Anmerkung: Ganz verstanden habe ich Weierstraß auch noch nicht, vielleicht muss man eher von Multimengen als von Mengen reden, damit $\begin{eqnarray} \{\frac 1 2,\frac 1 2\}=\{1\} \end{eqnarray}$ wird. Dann sind Aggregate doch eher Tupel und Folgen, deren Teilsummen beschränkt sind, und nicht Mengen, deren Teilsummen beschränkt sind. Weil Weierstraß einer der besten Funktionentheoretiker war, kann ich mir vorstellen, dass er eine Folge nicht als Prozess sondern ganz modern als Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb N\to \mathbb Q, n\mapsto a_n \end{eqnarray}$ aufgefasst hat, in diesem Sinne also doch wieder als Menge. Mit Intervallschachtelungen hat das nur auf dem Umweg der Eindeutigkeit der reellen Zahlen zu tun, man wird Weierstraß sicher nicht gerecht, wenn man ihm der eigenen Bequemlichkeit zuliebe ein solches Denken unterstellt.
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19.03.2026, 10:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die unübertreffliche Eleganz der Paarbildung war den alten Mathematikern in Zahlentheorie und Funktionentheorie noch bewusst, und so findet man bei Weierstraß die negativen reellen Zahlen selbstverständlich als Paare von Aggregaten, genau wie Edmund Landau die ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen konstruiert hat. Damit haben wir die vier Grundrechenarten für reelle Zahlen bei Weierstraß, und es ist nicht die stumpfsinnige Art, wie heute in der Schule die Null und das Vorzeichen ohne Sinn und Verstand und ohne Begründung vom Himmel fällt. Auch die Vorstellung von Brüchen als Paare ganzer Zahlen wird bei Weierstraß ganz selbstverständlich benutzt, um meromorphe Funktionen als Paare holomorpher Funktionen anzusehen, so wie wir es noch bei Hermann Weyl "Die Idee der Riemannschen Fläche" finden. Jetzt habe ich genug geschwärmt, es kann auch sein, dass das alles niemanden mehr interessiert. Im Matheboard ist nicht mehr viel los, anscheinend fragt man lieber die "KI".
22.03.2026, 09:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Oliver Deiser sagt: "Weierstraß verwendete in seinen Vorlesungen Suprema von Reihen zur Konstruktion [der reellen Zahlen.]" Er lässt damit die entscheidende Frage offen, wie Weierstraß die Existenz der Suprema und damit die Vollständigkeit der reellen Zahlen bewiesen hat. Deiser verweist auf [Weierstraß, Karl 1880/81 Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen. Nachschrift einer Vorlesung von 1880/81 durch A. Kneser]. Wenn darin die oben definierten Aggregate auftreten, dann passt alles zusammen. Die Mitschrift gibt es im Göttinger Digitalisierungszentrum GDZ, ist aber für uns nicht leicht zu lesen, weil sie in in der damals üblichen Kurrentschrift handschriftlich verfasst wurde. Sütterlinschrift könnte ich lesen, weil meine Großeltern diese noch verwendet haben und sie auch im Deutschunterricht in den 1960er Jahren gelehrt wurde. Auch an der Universität war sie in den 1970er Jahren noch in Gebrauch, man musste das lateinische, griechische und deutsche Alphabet mit großen und kleinen Buchstaben beherrschen, wenn man Mathematik studiert hat. Als in einer Informatikvorlesung alle diese Alphabete aufgebraucht waren und jeder Buchstabe eine eigene Bedeutung hatte, verwendete der Professor zusätzlich ein paar kyrillische Symbole.
28.03.2026, 09:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachdem ich mich nun einigermaßen durch die Vorlesungsmitschrift von Adolf Kneser gearbeitet habe, kann ich bestätigen, dass Karl Weierstraß sehr wohl einen eigenständigen Begriff der reellen Zahlen in seinen Vorlesungen entwickelt und für die reelle und komplexe Analysis verwendet hat. Weierstraß hat analytische Funktionen immer sehr konsequent als Potenzreihen behandelt hat damit große Leistungen erbracht, wie man in seinen gesammelten Werken sehen kann. Er musste daher nicht wesentlich zwischen reellen und komplexen analytischen Funktionen unterscheiden sondern hat die analytische Fortsetzung reeller Funktionen ganz einfach in C=R+Ri benutzt. Besonders lobenswert ist Weierstraß konsequente Arbeitsweise, mit der er alle analytischen Begriffe durch endliche arithmetische Begriffe darstellen konnte und immer geometrische Begriffe ebenso vermeiden konnte wie unendlich kleine oder unendlich große Zahlen. Leider hat er nie selbst seine Konstruktion der reellen Zahlen veröffentlicht, weshalb heute die Konstruktionen von Dedekind und Cantor im allgemeinen Bewusstsein weiter verbreitet sind. Nachträglich habe ich Bücher gefunden, die den Zugang zu diesem Thema erleichtern und vertiefen. Da ist einerseits eine transkribierte Vorlesungsmitschrift von Paul Ullrich ( Dokumente zur Geschichte der Mathematik, Bd.4: Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen. Vorlesung Berlin 1878 : Adolf Hurwitz, Karl Weierstraß, Peter Ullrich: Amazon.de: Bücher https://share.google/0paIOT7MXsFd5mJCI ), andererseits Bücher von Detlef D.Spalt ( Eine elementare Konstruktion der reellen Zahlen: nach Karl Weierstraß (essentials) : Spalt, Detlef D.: Amazon.de: Bücher https://share.google/JtDRIg6JOx4TnXqnS ) und ( Die Grundlegung der Analysis durch Karl Weierstraß: Eine bislang unbekannte Konstruktion der natürlichen und der reellen Zahlen eBook : Spalt, Detlef D.: Amazon.de: Kindle-Shop https://share.google/DMTPmFDfIxolECE7z ) zum Thema.

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