Steinitz mit vollständiger Induktion

15.03.2026, 21:50

Studi15032026

Steinitz mit vollständiger Induktion

Hallo

Kann man folgenden Satz durch vollständige Induktion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ beweisen:

Satz: Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ definierter Vektorraum, $\begin{eqnarray*} v_1, ... , v_n \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_1 , ... , w_m \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$ , wobei alle Elemente linear unabhängig sind. Dann existieren Indizes $\begin{eqnarray*} i_1 , ... , i_{m-n} \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} v_1 , ... , v_n , w_{i_1} , ... , w_{i_{m-n}} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Mein Ansatz zum Induktionsanfang: Sei $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$ , dann sind die $\begin{eqnarray*} w_{i_1} , ... , w_{i_m} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig und wir können $\begin{eqnarray*} i_k = k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k=1,...,m \end{eqnarray*}$ frei wählen, da die $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ 's bereits linear unabhängig sind.

Für den Induktionsschritt würde ich dann, insofern Induktion möglich ist, annehmen, dass der Satz für $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Vektoren gilt und dann zeigen, das er auch für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Vektoren gilt. Das muss ich noch ausformulieren, aber vorher wollte ich "nur" fragen, ob Induktion überhaupt möglich ist.

Danke! smile

17.03.2026, 19:27

HAL 9000

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Ich würde die Aussage erweitern:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ definierter Vektorraum, $\begin{eqnarray*} v_1,\ldots, v_n \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_1 , \ldots , w_m \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$ , wobei alle Elemente linear unabhängig sind. Dann existieren Indizes $\begin{eqnarray*} i_1 < \ldots < i_{m-n} \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} v_1 , \ldots , v_n , w_{i_1} , \ldots , w_{i_{m-n}} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind und zudem alle $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq i\leq i_{m-n} \end{eqnarray*}$ in der linearen Hülle $\begin{eqnarray*} \left\langle \left\{ v_1 , \ldots , v_n , w_{i_1} , \ldots , w_{i_{m-n}} \right\} \right\rangle =: V_m \end{eqnarray*}$ liegen.

Diese erweiterte Aussage kann schön bewiesen werden per Induktion über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ mit Start $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ , wobei man (aus technischen Gründen) $\begin{eqnarray*} i_0=0 \end{eqnarray*}$ setzt.

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