Substitutionsmethode bei der Integralrechnung

18.03.2026, 11:22

Kognitivist

Substitutionsmethode bei der Integralrechnung

Meine Frage:
Ich sitze über der Integralrechnung und komme nicht ganz klar mit einigen Beispielen für die sog. Substitutionsmethode. Deren Prinzip ist mir klar - wenn eine Funktion zu integrieren ist, die sich nach dem Prinzip $\begin{eqnarray*} \frac{g(x)'}{g(x)} \end{eqnarray*}$ gestaltet, substituiere ich z.B. meine Funktion g(x) mit t, die Ableitung g(x)' mit dt, bilde von dem dadurch vereinfachten Term, dem "neuen Integral" quasi, die Stammfunktion und re-substituiere,indem ich in t wieder g(x) einsetze.

Nun sitze ich über dem Integral $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{x^{2} }{\sqrt{1-x^{6} } } \, dx \end{eqnarray*}$ , und ich sehe nicht dass $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ irgendwas mit der Ableitung des Nennerterms zu tun haben könnte. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sqrt{1-x^{6} } (6x^{5}) = \sqrt{- x^{6} } \end{eqnarray*}$ , im Nenner, im Zähler= 3. Ich kann diesen Term zwar umformen in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x^{4} }\sqrt{x^{6} -1 } } \end{eqnarray*}$ , aber auch das sieht nicht nach $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ im Zähler aus.

Meine Ideen:
Na ja, ein Rechenprogramm im Computer rechnet mir folgende Substitution vor: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3\sqrt{1-t^{2} } } dt \end{eqnarray*}$ . Ich sehe durchaus, dass das stark an meine Lösung oben denken lässt, wenngleich ich +1 statt -1 habe. Ich könnte nämlich den Zähler mit meinem Nennerterm "kürzen" und käme tatsächlich darauf.
Der Rest wäre dann einfach, dass er wie vorgeschlagen substituierte Term dem arcsin entspricht weiß ich auch, und die vom Computerprogramm ausgespuckte Lösung 1/3 arcsin (x³) + C ist mir dann schon klar. Nur - der Zwischenschritt nicht ganz. Wer kann mir den erklären?

18.03.2026, 11:34

Kognitivist

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RE: Substitutionsmethode bei der Integralrechnung
Sorry, ich glaube ich habe mich oben verrechnet und muss nochmal korrigieren.
An meiner Frage ändert das aber nicht viel.
Mir fehlt nach wie vor der Zwischenschritt.....

18.03.2026, 11:39

Kognitivist

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RE: Substitutionsmethode bei der Integralrechnung
So, jetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{\sqrt{x^{10} }\sqrt{1-x^{6} } } = \frac{3}{\sqrt{x^{10} -x^{4} } } = \frac{3}{\sqrt{x^{4} } \sqrt{x^{6} - 1 } } \end{eqnarray*}$

18.03.2026, 18:38

IfindU

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RE: Substitutionsmethode bei der Integralrechnung
Ich denke es ist einfacher eine doppelte Substitution vorzunehmen.

Wenn du zuerst $\begin{eqnarray*} t = x^3 \end{eqnarray*}$ substituierst, hast du ein "Standard"-Integral, das sich über trigonometrische Funktions-Substitutionen lösen lässt.

Edit: Um es klarer in deiner gewollten Darstellung zu haben, ist es
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{x^{2} }{\sqrt{1-x^{6} } } \, dx = \frac 1 3 \int_{}^{} \! \frac{(x^{3})' }{\sqrt{1-(x^{3})² } } \, dx \end{eqnarray*}$

18.03.2026, 22:56

Finn_

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Also ich "sehe" das auch nicht direkt, insofern nicht genügend Muße und Lebenszeit verbleibt, sämtliche Integrationsbienen, Schachturniere usw. usf. aktiv mitzuverfolgen, konnte das Integral aber dennoch unverzüglich und ohne brachiale Mittel bestimmen. Mein eigener Gedankengang ging dabei so:

Der Wurzelterm sieht so aus, als wollte er via trigonometrischem Pythagoras vereinfacht werden. Mal schauen, wohin das führt. Sei also $\begin{eqnarray*} x^3 = \sin u, \end{eqnarray*}$ das macht dann

$\begin{eqnarray*} 3x^2\frac{\mathrm dx}{\mathrm du} = \frac{\mathrm d}{\mathrm du}x^3 = \frac{\mathrm d}{\mathrm du}\sin u = \cos u, \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \mathrm dx = \frac{\cos u}{3x^2}\mathrm du. \end{eqnarray*}$

Oh, eine glückliche Fügung, das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ kürzt sich. Dann haben wir

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\mathrm dx = \int \frac{x^2}{\cos u}\frac{\cos u}{3x^2}du = \frac{1}{3}\int \mathrm du = \frac{1}{3}u. \end{eqnarray*}$

Ist das nicht zu banal, hab ich mich verrechnet? Aber wenn man rücksubstituiert, wird's wieder komplizierter. Also $\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{3}\arcsin(x^3) \end{eqnarray*}$ soll's sein. Mal in den Plotter eintippen (Plotter kann numerisch ableiten). Ja, stimmt.

19.03.2026, 08:42

Kognitivist

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RE: Substitutionsmethode bei der Integralrechnung
Danke euch,
gestern Abend kam ich dann doch selber drauf - die gesuchte neue Funktion u ist x³, dann ergibt alles Sinn:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} }{\sqrt{1-x^{6} } } bei ( u = x^{3} ) \wedge u' (=du) = 3x^{2} \Rightarrow \frac{1}{3\sqrt{1-{(x^{3})}^{2} } } 3x^{2} = \frac{x^{2} }{\sqrt{1-x^{6} } } \end{eqnarray*}$ , und arcsin ist die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1-u^{2} } } \end{eqnarray*}$ , das war's dann schon.

Ich habe halt ständig die falsche Funktion ausgesucht und versucht diese erfolglos abzuleiten(differenzieren). Das ist mein Grundproblem bei diesem Aufgabentyp: woher "weiß" ich, welche Funktion ich wie substitutieren muss? Instinkt, Intuition, Probieren, Talent....?

19.03.2026, 17:29

IfindU

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RE: Substitutionsmethode bei der Integralrechnung

Zitat:

Original von Kognitivist
Das ist mein Grundproblem bei diesem Aufgabentyp: woher "weiß" ich, welche Funktion ich wie substitutieren muss? Instinkt, Intuition, Probieren, Talent....?

Und Erfahrung sowie Glück. Es gibt keine Regel, welche immer funktioniert und nicht jede Funktion besitzt überhaupt eine "schicke" Stammfunktion. Ich hab im Kopf "einfache" Sachen probiert, wo sich der Zähler wegkürzte und wusste, dass das restliche Integral mit einer anderen Substitution lösbar ist. Sonst hätte ich potentiell anderes versucht. Mit $\begin{eqnarray*} 1- x^6 = (1 + x^3)(1- x^3) \end{eqnarray*}$ hätte ich wohl $\begin{eqnarray*} t = 1 \pm x^3 \end{eqnarray*}$ probiert, was unnötig kompliziert gewesen wäre.

24.03.2026, 18:29

Toffy

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Das ist tatsächlich weniger Talent als vielmehr Mustererkennung durch Übung. Typisch ist, dass man bei Wurzeln der Form &#8730 traurig

1-…²) gezielt versucht, den inneren Ausdruck als "u" zu wählen, damit man auf das Standardintegral von arcsin kommt. Hier springt x³ ins Auge, weil dessen Ableitung bis auf den konstanten Faktor genau den x²-Term liefert, den man im Zähler "braucht". Wenn man sich angewöhnt, bei solchen Aufgaben zuerst nach inneren Funktionen zu schauen, deren Ableitung fast im Integranden auftaucht, wird die Wahl der Substitution mit der Zeit deutlich systematischer.

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