Geometrische Eleganz mit vier Halbkreisen |
| 04.04.2026, 09:59 | hakii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Geometrische Eleganz mit vier Halbkreisen Die Abb. ist maßstabsgerecht, sodass man sie tatsächlich aufgrund der Zeichnung analysieren kann. Folgende Info reicht dann dazu aus: alle Halbkreise liegen mit ihren Mittelpunkten auf einer Geraden. Der größte und der kleinste Halbkreis haben den MP gemeinsam. Wer erkennt hier eine Struktur um im Kopf die rote Fläche zu bestimmen? (Wer will, kann Pi als Faktor stehen lassen) |
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| 04.04.2026, 21:02 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Geometrische Eleganz mit vier Halbkreisen Also Fläche . Ich habe zwar erstmal schriftlich angefangen, aber dann leuchtet natürlich schnell ein, dass man es mit besserer Konzentration auch früher hätte erkennen und im Kopf rechnen können. |
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| 05.04.2026, 02:17 | hakii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun ja, das Ergebnis ist zwar stimmig, aber der eigentliche Sinn liegt hauptsächlich in der Beantwortung der Frage nach der Struktur bzw. der Erkenntnis. Welchen Lösungsvorschlag bietest du an oder besser gesagt, mit welcher Idee kam bei dir die "Erleuchtung?" Ich "fahnde" sozusagen nach der Schönheit, die dieses Rätsel in sich birgt. Meine Lösung werde ich dann offenbaren, wenn nach einiger Zeit nichts Vergleichbares dabei war. |
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| 05.04.2026, 09:56 | nichteuerernst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich würde mal anfangen mit dem Satz des Thales, der mir die Anwendung des Höhensatzes erlaubt: 4²=x*(2x), wobei x der Radius des mittelgroßen Halbkreises ist. |
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| 05.04.2026, 14:00 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun, der kleine untere (weiße) und der große obere Halbkreis sind gleich groß. Somit müssen wir von der Fläche des großen unteren Halbkreises nur die Fläche des kleinen oberen (weißen) Halbkreises abziehen. Den Radius des letzteren habe ich mir aus der Funktionsgleichung des Halbkreises beschafft. Das geht natürlich schon im Kopf. |
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| 05.04.2026, 14:57 | hakii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Guter Ansatz, die Flächengleichheit in Betracht zu ziehen. In dieser Richtung solltest du weiterdenken. |
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| 05.04.2026, 18:53 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß nicht genau, worauf du hinauswillst. Es erscheint offensichtlich, daß eine Punktspiegelung an (siehe die erste und letzte Figur der Graphik) auf eine Subtraktion zweier Halbkreise führt. Über den Satz des Pythagoras findet man einen Zusammenhang zwischen den Radien dieser Halbkreise und der Strecke . Aber deine Worte klingen so, als ob es noch einen weiteren Trick gäbe. [attach]58445[/attach] (Im Anhang eine dynamische Zeichnung mit Euklid für Windows. Auf "Download" gehen und mit dem gelben Button "Download starten" das zip-Archiv herunterladen und entpacken. Mit "dynageo.exe" kann die dynamische Zeichnung geöffnet werden.) |
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| 05.04.2026, 22:24 | hakii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also gut. Ich wollte zwar bis nach den Feiertagen warten, weil ich auf mehr Beteiligung hoffte, aber deinethalben löse ich's auf: Zwei Halbkreise voneinander abziehen ist umständlicher als folgende Lösung: Ausgehend davon, dass man den kleinen und großen Halbkreis zu Vollkreisen macht, was aber nicht zwingend ist habe ich erkannt. dass sich die Form der beiden Halbkreise zu einem halben Kreisring bilden. Wie du ja sagtest, passt das obere rote Flächenstück in das untere linke. Die LE 4 ist dann Tangente an den inneren und auch die halbe Sekante des großen Kreises. Der Trick: Egal, welche Kreisringfläche man berechnen will, man kann sie als Kreisfläche ansehen-hat man doch nur die Sekante, lässt man sie zum Radius werden. Der volle Kreisring hat 16 pi. Danke für's mitmachen. 
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| 06.04.2026, 09:07 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, damit meinst vermutlich, daß man den Schnabel oben rechts durch Punktspiegelung an (siehe meine Graphik) nach unten bringt, so daß sich ein halber Kreisring ergibt. Und statt Sekante meinst du wahrscheinlich Sehne.
Was kann man wie ansehen? Hinter der Flächenberechnung des Kreisrings steckt eine Differenz zweier Kreisflächen. Und die Hälfte einer Sehne des größeren Kreises, die den kleineren Kreis berührt, kann über Pythagoras mit den Kreisradien in Zusammenhang gebracht werden. Das übergehst du mit einem hingeworfenen "kann man als Kreisfläche ansehen". Oder es steckt noch etwas anderes dahinter. Das müßtest du uns aber noch erläutern. Andernfalls kann ich keinen Unterschied zwischen deiner Lösung und denen von klauss oder mir erkennen. |
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| 07.04.2026, 11:13 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Geometrische Eleganz mit vier Halbkreisen
Die Ästhetik dieses Problems sehe ich vor Allem in der Tatsache bestätigt, dass sich die Gesamtfläche der Figur nicht ändert, wenn man die Längenvorgabe 4 LE innerhalb des großen Halbkreises horizontal verschieben würde. Die Position der Längenvorgabe ist also frei. Und hier beginnt dann die Eleganz, wie man zu einer Lösung des Flächeninhaltes gelangen könnte. Ich bin da mal zwei Spielarten durchgegangen, die sich auf die beiden „Ränder“ der Längenvorgabe beziehen. A) Wenn die Längenvorgabe 4 LE in die Vertikalachse des großen Halbkreises mit Radius R verschoben wird, dann verschwindet der kleinste (weiße) Halbkreis mit r=0. Es bleibt also nur die Halbkreisfläche mit R=4 LE zu berechnen und das kann man in der Tat ohne Weiteres im Kopf rechnen. B) Wenn die Längenvorgabe 4 LE dagegen in die andere Richtung verschoben wird, sodass , dann geht die Figur in eine sich letztendlich schließende Sichel über, die dann quasi aus zwei Vollkreisen (=Kreisringfläche) errechnet werden könnte. mit: … wobei ich bzgl. B) gestehen muss, dass dieser Weg schon „sehr konstruiert“ ist und sich weit hinter der Eleganz von A) einreiht, wo man den kleinsten Halbkreis einfach verschwinden lassen kann und das Auge sofort die Lösung sieht. Der Weg über B) ist also nicht ganz sauber!!!!! 
Am besten sofort aus dem Gedächtnis streichen!Gruß Conny |
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| 08.04.2026, 09:33 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Aufgabenstellung legt diese Unabhängigkeit von der speziellen Konfiguration der Radien der beiden Kreise des Kreisrings natürlich nahe. Das ist meiner Ansicht nach aber keine offensichtliche Selbstverständlichkeit, sondern beweisbedürftig. Und um diesen Beweis zu führen, braucht man den Satz des Pythagoras oder etwas Äquivalentes.
Der Spezialfall in A) löst das Problem durch einen Grenzfall. Aber letztlich ist das nicht erforderlich, da nach Anwendung des Pythagoras die Lösung sowieso schon da steht. |
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| 08.04.2026, 11:23 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke Leopold für diesen wichtigen Einwurf! Für den Nachweis der Flächenkonstanz ist die Anwendung des Pythagoras natürlich sehr zentral, ohne Frage!!! Aber diese Art von Fragestellungen/Problemstellungen lese ich vielleicht auf andere unkonventionelle Art (womöglich falsch?), weil ich aus der gewollten Nichtangabe der genauen Position der besagten Längenvorgabe (4 LE) einfach schließen muss, dass diese keine Relevanz hat. Da dann auch nach der Fläche gefragt wurde, impliziere ich schließlich eine Unveränderlichkeit dieser Fläche. Und wenn die Position wie im Fall A) in die Vertikalachse fällt, dann geschieht das Schrumpfen des kleinen Kreises auf r=0 zwangsläufig durch die geometrische Vorgabe, ohne Bezug auf den Pythagoras nehmen zu müssen, weil es bei diesem Grenzfall kein Dreieck mehr gibt. Das ist natürlich eine freche Vorgehensweise von mir, gebe ich zu. Aber der Fragesteller hätte ja zumindest eine exakte Radien-Relation ergänzen können, um eine Eindeutigkeit des Problems vorzugeben. Dann hätte ich die Grenzfallbetrachtung A) nicht machen dürfen, ohne es zumindest zu beweisen. Kurz gesagt, da die Position der Längenvorgabe nicht explizit angegeben wurde, habe ich direkt auf eine Flächenkonstanz geschlossen. Die Frage ist nun, ob ich das so einfach darf? Wenn das beispielsweise eine Aufgabe in einer Klassenarbeit gewesen wäre, hätte ein Schüler ähnlich wie ich argumentieren dürfen? - Ein Glück, dass ich heute kein Schüler mehr sein muss.
Gruß Conny |
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