Standortoptimierung Bahnhof |
| 21.04.2026, 15:55 | laila49 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Standortoptimierung Bahnhof [attach]58447[/attach] geht das wirklich ohne weitere Angaben? |
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| 21.04.2026, 17:02 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Standortoptimierung Bahn hof Im Grunde genommen ist das eine Problemstellung für das Reflexionsgesetz. Wenn man z.B. den Punkt B an der Bahnlinie spiegelt und B' erhält, dann verbindet die Strecke zwischen A und B' den kürzesten Weg. Dort, wo die Strecke die Bahnlinie schneidet, ist der Reflexionspunkt (=Bahnhof). Man könnte aber theoretisch auch eine Extremwertaufgabe daraus machen und die Bahnlinie/Ortspunkte als Funktion untersuchen. In diesem Fall fehlen dann die notwendigen Angaben! Gruß Conny |
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| 21.04.2026, 17:08 | laila49 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich! Danke, Conny. An das Reflexionsgesetz habe ich nicht gedacht. Aber warum einfach, wenn es auch noch viel komplizierter geht. Man könnte ja auch versuchen, eine Extremwertaufgabe mit den Koordinaten von A und B und der Gleichung der Bahnlinie als Parameter aufzustellen.. |
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| 24.04.2026, 22:49 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehr einfach wird es auch mit dem Reflexionsgesetz nicht, wenn man alles manuell durchrechnen will. Jedenfalls ist dabei die Hilfe eines CAS willkommen. Damit kann durchaus auch die Methode der Minimierung der beiden Teilwege zum Bahnhof angegangen werden. [attach]58449[/attach] A(2/4), B(9/8); Bahnlinie: ; Bahnhof(x/y) w = w1 + w2 ... Minimum Die Radikanden noch vereinfachen, Abbleiten und Nullsetzen ist der weitere Weg, wobei die manuelle Auflösung der Wurzelgleichung ziemlich mühsam sein würde. CAS liefert die (rationale) Lösung und damit die Lage des Bahnhofes. Der minimale Gesamtweg w = w1 + w2 = 9.186 mY+ |
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| 25.04.2026, 08:45 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gibt auch noch einen weiteren geometrischen Weg, wenn man die beiden Punkte A und B als Brennpunkte einer Ellipse ansieht, die um den Abstand 2e voneinander entfernt sind. Der Bahnhof ist dann der Tangentenpunkt einer dort anliegenden Ellipse mit jenen Brennpunkten. Der Parameter a (die große Halbachse der Ellipse) ist hier dann die zu variierende Größe bis es zur Berührung der Bahnlinie kommt. Die Koordinaten x und y sind dann natürlich auf die Achsen der Ellipse bezogen. Gruß Conny |
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| 25.04.2026, 09:39 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da wir ja in Geometrie sind: ist nicht einfach gemeint, mit Zirkel und Lineal die Mittelsenkrechte zwischen A und B zu errichten? An deren Schnittpunkt mit der Bahnlinie liegt der Bahnhof. |
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| 25.04.2026, 09:52 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die Verbindungslinie zwischen A und B parallel zur Bahnlinie liegt, nur dann wäre in diesem Fall das Minimalkriterium der Entfernungssumme erfüllt. Gruß Conny |
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| 25.04.2026, 21:03 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In meiner ersten Grafik hat es fast so ausgesehen, aber auch dort waren die beiden Distanzen w1 und w2 NICHT gleich. In diesem Szenario - ebenfalls mit minimaler Summe der beiden Distanzen - sieht man besser, dass es mit der Mittensenkrechten nicht funktionieren kann. [attach]58450[/attach] Übrigens: Die Wurzelgleichung, die beim Nullsetzen der Ableitung entsteht, dürfte letztendlich zu einer kubischen Gleichung mit einer reellen Lösung führen. Diese Lösung ist rational, wenn die Koordinaten der Punkte A, B ganzzahlig sind. Ohne CAS ist es ein ziemlich mühevolles Unterfangen. mY+ |
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