Beweis/Widerlegung einer Behauptung zu Eigenwerten einer Matrix

18.05.2026, 22:19	Conny_1729	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis/Widerlegung einer Behauptung zu Eigenwerten einer Matrix Im Folgenden habe ich ein Beispiel mit Aussagen über die minimalen Eigenwerte von quadratischen Matrizen mit festen Zeilenmengen und einer starr definierten Hauptdiagonale (= konstante Werte). Das ist ein Themenkomplex, das sicherlich nur versierte Mathematiker beackern können, also absolut nichts für mich(!!!), und das Thema liegt für mich auch in einer weit, weit entfernten Galaxis. – Mir geht es als interessierter Außenseiter mehr darum, ob man diese Vermutung jener „kombinatorischen Optimierung“ überhaupt widerlegen kann, auch wenn man niemals die Wahrheit über den minimalen Eigenwert kennen wird??? Hier das Problem: M ist eine quadratische Matrix vom Typ (n+1,n+1), bei welcher sämtliche Einträge durch reelle Zahlen ausgedrückt werden. Die Diagonalelemente haben alle denselben Wert. $\begin{eqnarray} \\&& a_{ii}=b^n<br /> \\&& n\in \mathbb N, n\geq 1<br /> \\&& b\in \mathbb R, b>1 \end{eqnarray}$ Die restlichen n Elemente je Zeile sind definiert durch: $\begin{eqnarray} \\&& i\neq j:\left\{ a_{ij}\text{ }\|\text{ }j=1,2,...,n+1\right\} =\left\{ \left(b-1\right)\cdot b^{n-k}\text{ }\|\text{ }k=1,2,...,n \right\} \end{eqnarray}$ Für das Beispiel mit n=4 und b=3 hätte man also die Elemente {2,6,18,54}, die beliebig in jeder Zeile verteilt sein können bzw. permutiert sein dürfen, und die Diagonalelemente {}. $\begin{eqnarray} \\&& M=\begin{pmatrix} \color{blue}{81} & 2 & 6 & 54 & 18 \\ 2 & \color{blue}{81} & 6 & 18 & 54 \\ 2 & 6 & \color{blue}{81} & 54 & 18 \\ 6 & 18 & 54 & \color{blue}{81} & 2 \\ 6 & 18 & 54 & 2 & \color{blue}{81} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aus dieser Matrix M können nun die betragsmäßigen Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda(n) \end{eqnarray}$ berechnet werden. Jede Zeile besitzt dieselbe Zeilensumme, die zugleich dem Maximalwert des betragsmäßigen Eigenwerts $\begin{eqnarray} \lambda(n)_{max} \end{eqnarray}$ entspricht. Der dazugehörige Eigenvektor $\begin{eqnarray} v_{max} \end{eqnarray}$ ist ein Einsvektor. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{n+1} a_{ij}=2\cdot b^n-1=const.=\lambda(n)_{max} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{max}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ ... \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ … denn der Perron-Frobenius-Eigenwert genügt der Ungleichung: $\begin{eqnarray} \underset{i}{min}\sum\limits_{j}^{ } a_{ij}\leq r\leq \underset{i}{max}\sum\limits_{j}^{ } a_{ij} \end{eqnarray}$ Andererseits ergibt sich für bestimmte Anordnungen der Zeilenelemente einer (n+1,n+1)-Matrix ein kleinster Wert für den betragsmäßigen Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda(n)_{min} \end{eqnarray}$ . Diese Matrix-Anordnung erhält die Bezeichnung $\begin{eqnarray} M_{min} \end{eqnarray}$ . Es soll nun bewiesen oder widerlegt werden, dass folgende Aussagen für $\begin{eqnarray} M_{min} \end{eqnarray}$ zutreffen, welche sich darin unterscheiden, ob n gerade oder ungerade ist. $\begin{eqnarray} \begin{array}{c}<br /> \\&& \text{__________________________________} <br /> \\&& n\geq 1, b>1, n\in \mathbb N, b\in \mathbb R<br /> \\&& \color{blue}{ \lambda(n)_{min}=2\cdot b^{(n-1)/2} \text{ } -1}<br /> \\&& \color{blue}{n\in \mathbb N _u}<br /> \\&& \color{green}{\lambda(n)_{min}=(b+1)\cdot b^{n/2-1} \text{ } -1}<br /> \\&& \color{green}{n\in \mathbb N _g }<br /> \\&& \text{_________________________________}<br /> \end{array} \end{eqnarray}$ Es würde also je Aussage genügen, nur einen einzigen Fall einer Matrix $\begin{eqnarray} M_{min} \end{eqnarray}$ zu konstruieren, damit die Aussage widerlegt wird. Die vermutete Schranke nach unten ist eine ziemlich harte Grenze, was aber nicht heißt, dass diese nicht doch irgendwie unterschritten werden könnte. Meine Frage: Können diese beiden Aussagen überhaupt bewiesen werden? Bzw. kann umgekehrt für ein bestimmtes n eine Vorschrift zur Anordnung der Zeilenelemente entwickelt werden, die zu einem kleineren betragsmäßigen Eigenwert führt? Wahrscheinlich gehört diese spezielle Vermutung als ein Teilproblem zu einem bekannteren Problem, für das es schon eine passende Antwort gibt (???). Wie gesagt, ich wäre hier nur Zaungast, aber ich fände es ganz interessant, ob man eine solche Vermutung durch einen genialen Kunstgriff womöglich wie eine Seifenblase zum Platzen bringen kann? Gruß Conny

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