Quadratische Gleichung mit zwei Unbekannten

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07.06.2026, 20:59	Mathegreis	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Gleichung mit zwei Unbekannten Meine Frage: Das nachfolgende Gleichungssystem ist äußerst kompliziert und lässt sich mit den üblichen Lösungsverfahren (Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungverfahren oder Additionsverfahren) nicht lösen. Gleichung 1) x = $\begin{eqnarray} 10\frac{y-1}{y+1} \end{eqnarray}$ Gleichung 2) x = $\begin{eqnarray} \frac{2}{9}\frac{x-1}{x+1} \end{eqnarray}$ Meine Ideen Ich vermute, es muss ein Term gefunden, für den eine Hilfsunbekannte eingesetzt wird, was zur Lösung führen sollte. Hätte jemand eine Idee, wie man hier vorgehen muss?
08.06.2026, 00:30	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Gleichung 2 wirklich kein y enthält, handelt es sich doch nur um einen einfache quadratische Gleichung, die sich mit den gängigen Verfahren lösen lässt. Falls es hingegen $\begin{eqnarray} x=\frac 29 \cdot \frac{y-1}{y+1} \end{eqnarray}$ lautet, sollte die Substitution $\begin{eqnarray} z= \frac{y-1}{y+1} \end{eqnarray}$ zum Ziel führen.
08.06.2026, 09:57	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie soll ein normaler Menschen in diesem Fall auf diese Subsiution kommen? Ich sehe sowas zum ersten Mal.
08.06.2026, 09:58	Mathegreis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, Helferlein! Genau das habe ich gesucht. Ich mache mich auf den Weg, um die Lösung zu finden und melde mich wieder.
08.06.2026, 13:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution ist häufig ein sehr beliebtes Verfahren. Wer das üben möchte, sollte J.Aczel "Vorlesungen über Funktionalgleichungen und ihre Anwendungen" Springer Bassel AG, 1961 studieren. Wenn die beiden Gleichungen wirklich so aussehen, dann ist die Lösung ziemlich trivial.
08.06.2026, 16:39	Mathegreis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst: Das oben angeführte Gleichungssystem ist korrekt! Leider führt dabei die zweite Gleichung nicht zur Lösung, da sie keine reelen Werte ergibt. $\begin{eqnarray} 9x^2 + 9x = 2x +2 \end{eqnarray}$ ergibt: $\begin{eqnarray} 9x^2+7x-2 = 0 \end{eqnarray}$ Diese quadratische Gleichung hat keine reellen Lösungswerte.
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08.06.2026, 16:46	Mathegreis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, da du dieses interessante Buch offensichtlich durchstudiert hast und meinst, die Lösung sei trivial, hilf uns doch bitte auf die Sprünge! Ich weiß nicht, wie lange es dauert, bis ich mir dieses Buch besorgen kann und dann in der Lage sein werde, die triviale Lösung zu finden. Wäre nett, wenn du einen hilfreichen Vorschlag hättest!
08.06.2026, 18:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Buch ist viel zu kompliziert für einen Mathematiker, der sich nicht in das sehr schwierige Thema Funktionalgleichungen einarbeiten kann. Funktionalgleichungen sind schwieriger als Differentialgleichungen, und die sind schon schwierig genug. Ich habe nur deshalb darauf hingewiesen, weil adiutor62 sich wundert, dass und wie man auf eine Substitution kommen kann. Das Buch wimmelt von Substitutionen, deshalb habe ich es erwähnt, weil Substitutionen zum täglichen Handwerkszeug mancher Mathematiker gehört. Nun zu deinem Problem. $\begin{eqnarray} x=10\cdot\frac{y-1}{y+1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=\frac 2 9 \cdot\frac{y-1}{y+1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z=\frac{y-1}{y+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x=10z=\frac 2 9 z \end{eqnarray}$ 1. Fall $\begin{eqnarray} z\ne 0 \end{eqnarray}$ Division von $\begin{eqnarray} 10z=\frac 2 9 z \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 10=\frac 2 9 \end{eqnarray}$ Widerspruch 2. Fall $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow z=\frac{y-1}{y+1}=0\Rightarrow y-1=0\cdot (y+1)=0\Rightarrow y=1\Rightarrow x=0 \end{eqnarray}$ Triviale Lösung, weil einzige Lösung: $\begin{eqnarray} (x,y)=(0,1) \end{eqnarray}$
08.06.2026, 18:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenn Du einen Flüchtigkeitsfehler eingebaut hast (2x-2 ist richtig), stimmt es doch dass die zweite Gleichung keine reelle Lösung besitzt. Im Reellen ist damit auch das System natürlich nicht lösbar. Sofern auch komplexe Lösungen zugelassen sind müsstest Du beide Lösungen in die erste Gleichung einsetzen und nach y auflösen. Die Substitution wäre nur sinnvoll, wenn die zweite Gleichung auch y enthalten würde.
08.06.2026, 19:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Heiteres Aufgabenraten $\begin{align} \text{(1)} \ \ x = 10 \cdot \frac{y-1}{y+1} \end{align}$ $\begin{align} \text{(2)} \ \ y = \frac{2}{9} \cdot \frac{x-1}{x+1} \end{align}$ Und warum ist das das richtige Gleichungssystem? Na klar! Weil es schöne Lösungen hat: $\begin{align} x = -5 \, , \ y = \frac{1}{3} \ \ \text{oder} \ \ x = -2 \, , \ y = \frac{2}{3} \end{align}$ Zur Lösung kann man zum Beispiel den Term in $\begin{align} x \end{align}$ aus $\begin{align} \text{(2)} \end{align}$ für $\begin{align} y \end{align}$ in $\begin{align} \text{(1)} \end{align}$ einsetzen. Die Bruchgleichung kann in eine quadratische Gleichung überführt werden, die zwei Lösungen $\begin{align} x \end{align}$ besitzt. Für jedes der beiden $\begin{align} x \end{align}$ erhält man über $\begin{align} \text{(2)} \end{align}$ das zugehörige $\begin{align} y \end{align}$ .
08.06.2026, 20:51	Mathegreis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, Elvis und Helferlein! Diese seltsame Aufgabe habe ich in einem alten Mathematikbuch gefunden: "Lehr- und Übungsbuch Mathematik, Band 1, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt Main, 1971", Seite366, Nr. 1013. Die Aufgabe ist in der zuerst gestellten Form gegeben, nicht wie von Leopold verändert. Ich habe von Beginn an die Vermutung gehabt, dass sich in der Aufgabe oder bei der Lösung ein Fehler eingeschlichen hat. Die Herausgeber haben freundlicherweise die Lösungen angeführt: x1 = 5; y1 = 3 und x2 = 2; y2 = 1,5 Diese Lösungen erfüllen zwar die Gleichung 1, aber nicht die Gleichung 2. Ich dachte, beide Gleichungen müssten durch die Lösungen erfüllt werden. Leider ist der Lösungsweg nicht mitgeteilt worden.
08.06.2026, 21:36	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann muss es wohl $\begin{eqnarray} (2)~y=\frac 92 \cdot \frac {x-1}{x+1} \end{eqnarray}$ heißen.
09.06.2026, 08:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@Helferlein Mist! Jetzt hast du mich im Heiteren Aufgabenraten geschlagen! Du mußt aber zugeben, daß du mit mehr Informationen als ich versorgt warst. Das ist unfair!
09.06.2026, 09:47	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie löst man es dann? Auch Einsetzen und dann Fleißarbeit? Oder gibt es eine geschicktere Methode?
09.06.2026, 13:10	Mathegreis	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Lösungshinweis für derartige Gleichungen findet man in dem o. a. Buch folgendes: "Das Einsetzungsverfahren ist unter anderem sofort anwendbar, wenn a) eine der beiden Gleichungen linear ist; b) in beiden Gleichungen die beiden Unbekannten nur im Quadrat vorkommen." Wenn mich nicht alles täuscht, müsste hier Lösungshinweis a) gelten.

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