Eine seltsame Kugel

17.06.2026, 12:38	hakii	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine seltsame Kugel ...lautet der Titel aus meinem Buch "Kopfnüsse" dessen Originaltext ich euch nicht vorenthalten möchte: Am 8. Juli 1963 ging es in der Anzeige von Litton Industries in der Aviation Week um eine ungewöhnliche Kugel. Die Oberfläche und das Volumen einer Kugel sind ganzzahlige, vierstellige Vielfache der Kreiszahl pi in Quadrat- bzw. Kubikmetern. Welchen Radius hat diese Kugel?
17.06.2026, 20:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} A,V,r \end{align}$ seien Oberflächeninhalt, Volumen und Radius der Kugel. Dann gelten: $\begin{align} \frac{A}{\pi} = 4r^2 \, , \ \ \frac{V}{\pi} = \frac{4}{3} r^3 \end{align}$ Der letzte Term ist nur dann ganzzahlig, wenn $\begin{align} r \end{align}$ durch 3 teilbar ist, also $\begin{align} r = 3s \end{align}$ mit ganzzahligem $\begin{align} s \end{align}$ Man erhält damit $\begin{align} \frac{A}{\pi} = 36s^2 \, , \ \ \frac{V}{\pi} = 36 s^3 \end{align}$ Die Ungleichungen $\begin{align} 1000 \leq \frac{A}{\pi} < 10000 \, , \ \ 1000 \leq \frac{V}{\pi} < 10000 \end{align}$ schreiben sich nun als $\begin{align} 1000 \leq 36s^2 < 10000 \, , \ \ 1000 \leq 36s^3 < 10000 \end{align}$ und sind, weil $\begin{align} s \end{align}$ eine positive ganze Zahl ist, äquivalent zu $\begin{align} 6 \leq s \leq 16 \, , \ \ 3 \leq s \leq 6 \end{align}$ Und nur $\begin{align} s=6 \end{align}$ erfüllt beide Ungleichungen, womit man $\begin{align} r = 18 \end{align}$ erhält.

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