Unendlich mal null

10.09.2004, 15:50

André

Unendlich mal null

Hallo!

Kann mir (Abiturient) jemand erklären warum unendlich mal null nicht null ist? Das wäre nett.

Vielen Dank

André

10.09.2004, 15:55

Mathespezialschüler

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RE: Unendlich mal null
Unendlich mal null ist 0!!

Aber wahrscheinlich geht es um Grenzwerte. Da gilt das nicht, wenn der Grenzwert 0 ist. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} n^2 = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} n^2\cdot \frac{1}{n} =\lim_{n\to \infty} n=\infty \end{eqnarray*}$

, also nicht null!!

Ich hoffe, du meintest sowas verwirrt

10.09.2004, 15:59

MisterSeaman

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Hi,

"unendlich" ist keine Zahl, mit der man im normalen Sinne rechnen kann. was bei "unendlich mal Null" rauskommt, kann man nicht so allgemein sagen.

zwei Beispiele:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot n = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} \cdot n = 2 \end{eqnarray*}$

Bei beiden steht da "0 mal unendlich" trotzdem kommt nicht 0 raus.

Gruß

MisterSeaman

10.09.2004, 16:09

Mathespezialschüler

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@MisterSeamen
Das ist bei diesen Grenzwerten zwar wirklich so, aber du machst da einen gröberen Fehler:
Der Satz

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to a} (a_n\cdot b_n) = \lim_{n\to a} a_n \cdot \lim_{n\to a} b_n \end{eqnarray*}$

gilt nur, wenn a_n und b_n konvergent sind, also einen Grenzwert haben. Man schreibt zwar oft

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} n=\infty \end{eqnarray*}$

, das ist aber eigentlich unkorrekt, da die Folge/Funktion nicht konvergiert!! Denn sie hat keinen Grenzwert (unendlich ist ja keine eindeutige Zahl und somit kann es auch kein Grenzwert sein).

Deswegen gilt dieser Satz gar nicht z.B. für alle drei Folgen, die wir zusammen aufgeschrieben haben.
Du darfst ihn also auf nicht konvergente Folgen/Funktionen, also auch auf welche, die gegen unendlich oder -unendlich gehen, nicht anwenden!! Deswegen kommt auch kein Widerspruch zustande.
Denn es gilt trotzdem, dass $\begin{eqnarray*} 0\cdot \infty = 0 \end{eqnarray*}$ , auch wenn das natürlich sogut wie nie gebraucht wird außerhalb der Grenzwertfrage, wo es ja nunmal nicht gilt. Es is also fast sinnlos, das überhaupt festzulegen. Augenzwinkern

10.09.2004, 16:17

MisterSeaman

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Ich möchte darauf hinweisen, dass ich die beiden Limiti nicht auseinandergezogen habe. Was ich meinte war, das dort im "intuitiven Sinn" unendlich mal 0 steht, anders macht die Frage als Abiturfrage (für mich zumindest) keinen Sinn.

@MSS
$\begin{eqnarray*} \infty \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

bedeutet ja nichts weiter, als dass jede beliebig große Zahl multipliziert mit 0 gleich 0 ist. Das finde ich persönlich eine sehr verwirrende Schreibweise für einen sehr trivialen Sachverhalt.

Natürlich hast Du insofern recht, dass man die Rechenregel nicht bei allen Grenzwerten anwenden darf - aber ich denke das war gerade die Frage.

Gruß

MisterSeaman

10.09.2004, 16:20

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von MisterSeaman
Ich möchte darauf hinweisen, dass ich die beiden Limiti nicht auseinandergezogen habe. Was ich meinte war, das dort im "intuitiven Sinn" unendlich mal 0 steht

Wie man darauf ohne auseinanderziehen kommen soll, ist mir unklar!
Dass es so in der Schule gemacht wird, ist mir auch klar, aber es ist nunmal leider falsch und genau deswegen kommen solche Missverständnisse. Augenzwinkern

10.09.2004, 16:24

kurellajunior

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@MSS:

Zitat:

Original von MisterSeaman
"unendlich" ist keine Zahl, mit der man im normalen Sinne rechnen kann.

Genau hier liegt der Hase im Pfeffer, jede beliebig große Zahl mal 0 ist und bleibt 0! Unendlich ist keine Zahl sondern eine Idee, damit wir über etwas reden können, das wir weder begreifen (im Wortsinne) noch erfassen können. Daher ist der Versuch Rechenregeln für Zahlen auf Ideen ( $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) anzuwenden zum Scheitern verurteilt. Lediglich wenn wir uns auf gemeinsame Ideen, wie bei den Grenzwertsätzen, einigen, können wir solche Dinge festlegen, nicht jedoch zwingend logisch herleiten.

Mit philosophischen Grüßen, Jan

10.09.2004, 17:47

Philipp-ER

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RE: Unendlich mal null

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Unendlich mal null ist 0!!
...

Von welcher mit einer Multiplikation versehenen Menge ist denn unendlich ein Element?

10.09.2004, 18:26

Leopold

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@ MSS

$\begin{eqnarray*} \infty \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist falsch.
Dieser Ausdruck zählt zu den sogenannten unbestimmten Ausdrücken. Er ist nicht definiert (etwa im Unterschied zu $\begin{eqnarray*} \infty + \infty = \infty \end{eqnarray*}$ ). Weitere häufig vorkommende unbestimmte Ausdrücke sind

$\begin{eqnarray*} \infty - \infty \, , \ \frac{0}{0} \, , \ 0^0 \end{eqnarray*}$

10.09.2004, 22:02

Gustav

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Ist $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ nicht per definitionem 1? Oder ist hier die Null ausgeschlossen?

10.09.2004, 22:35

PSM

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Hallo!
Ist Unendlich mal 0 nicht die Menge Q?
Mein Ansatz: $\begin{eqnarray*} \infty*0=x \end{eqnarray*}$ |:0
=> $\begin{eqnarray*} \infty=\frac{x}{0} \end{eqnarray*}$
Und wenn man durch 0 dividiert, wird der Quotient immer unendlich, egal was im Zähler steht. Folglich müsste x=Q sein, oder!?

MfG
Patrick

10.09.2004, 22:38

Thomas

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Nein, wie Leopold schon sagte, sind manche Ausdrücke einfach nicht definiert.

Gruß,
Thomas

10.09.2004, 22:39

Poff

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vergiss das, du kannst mit Unendlich nicht rechnen wie mit Zahlen

unendlich ist keine Zahl des normalen Zahlenraums ...

Augenzwinkern

wenn du mal SCHARF drüber nachdenkst wirst du feststellen,
dass du dir NICHTMAL die 'simple' Unendlich der natürlichen Zahlen
vorstellen kannst, denn das ist unendlich viel mehr als alle Atome
des Universums zusammen genommen, mehr als alle
erdenkbare Materie ...

10.09.2004, 23:16

BraiNFrosT

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Zitat:

Original von PSM
Und wenn man durch 0 dividiert, wird der Quotient immer unendlich, egal was im Zähler steht.

Egal, was im Zähler steht ?

also 5 * 0 = 0

=> 0/0 = 5

aber

6 * 0 = 0

0/0 = 6

Also ist 6 = 5 ? Neee : )

Deswegen dividiert man auch nicht durch 0.

11.09.2004, 11:02

Mathespezialschüler

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RE: Unendlich mal null
Ok, da hab ich mich wohl in was verrannt, sorry! Gott

Ich hatte auch schon so eine Ahnung, dass das falsch sein könnte ...

Zitat:

Original von Philipp-ER

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Unendlich mal null ist 0!!
...

Von welcher mit einer Multiplikation versehenen Menge ist denn unendlich ein Element?

Aber dann sag mir doch mal bitte, wie unendlich definiert ist!? verwirrt

Zitat:

Original von Leopold
Weitere häufig vorkommende unbestimmte Ausdrücke sind

$\begin{eqnarray*} \infty - \infty \, , \ \frac{0}{0} \, , \ 0^0 \end{eqnarray*}$

Wenn du bei 0^0 mal Philipp-ER fragst, dann sagt er dir, es sei als 1 definiert verwirrt

Erst hör ich, das sei nicht definiert, dann es sei 1 und jetz wieder es sei unbestimmt, also auch nicht definiert. Was stimmt denn nun? Philipps Begründung, warum die meisten es doch als 1 definieren, war eigentlich ganz schlüssig...

11.09.2004, 11:57

Leopold

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RE: Unendlich mal null

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn du bei 0^0 mal Philipp-ER fragst, dann sagt er dir, es sei als 1 definiert verwirrt

Tja, so ist das im Leben. Da hast du eine Allergie gegen Birkenpollen. Dann gehst du zum Arzt. Der rät dir, öfter an die frische Luft zu gehen, damit dein Immunsystem mehr trainiert und gegen die Pollen richtig eingestellt wird. Zur Sicherheit suchst du einen anderen Arzt auf. Der hinwieder sagt, du sollst dich in der Zeit des Pollenfluges möglichst wenig im Freien bewegen, um deinen Körper zu schonen. Und was machst du nun?

Um dich noch mehr zu verwirren, bekommst du von mir einmal ein Übungsblatt. Hier ist es:

Fülle die Lücken aus und ergänze sinngemäß um eine Zeile!

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 4^0 = ...... & \qquad & 0^4 = ...... \\ 3^0 = ...... & \qquad & 0^3 = ...... \\ 2^0 = ...... & \qquad & 0^2 = ...... \\ 1^0 = ...... & \qquad & 0^1 = ...... \\ ............ & \qquad & ............ \end{matrix} \end{eqnarray*}$

11.09.2004, 12:06

Philipp-ER

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RE: Unendlich mal null

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
...
Aber dann sag mir doch mal bitte, wie unendlich definiert ist!? verwirrt

Bei Grenzwerten usw ist unendlich keine "Zahl", mit der man rechnen könnte, sondern lediglich ein Zeichen, um einen bestimmten Sachverhalt auszudrücken.
So bedeutet die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \lim a_n=\infty \end{eqnarray*}$ nicht, dass der Grenzwert der Folge (a_n) die Zahl unendlich ist, sondern lediglich, dass eine beliebig vorgegebene Zahl ab einem gewissen Index von allen Folgengliedern übertroffen wird.
Um die ganze Sache zu vereinheitlichen, betrachtet man dann aber manchmal auch die Menge
$\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty,\infty\} \end{eqnarray*}$
definiert in nahe liegender Weise Umgebungen dieser beiden neuen Elemente und kann dann alle Grenzwertaussagen für Funktionen in einem einzigen Satz zusammenfassen.
Die Grenzwertsätze überträgt man dabei, soweit ich weiß, aber nicht, so dass auch kein "Rechnen" mit unendlich nötig wird.

Gerade habe ich noch gelesen, dass man wohl in der Maßtheorie tatsächlich eine Arithmetik mit "unendlich" einführt, in der zweckmäßig ist, dass gilt
$\begin{eqnarray*} 0\cdot \infty=0 \end{eqnarray*}$
Meine Kenntnisse der Maßtheorie sind mehr als beschränkt und deshalb weiß ich nicht, wo man denn ein Produkt zweier "Maße" braucht (da wird wohl irgendwas mit einer Nullmenge und einer nicht messbaren Menge gemacht, doch weiß ich eben nicht, wie man auf das Produkt der Maße kommt (Vereinigung etc liefern ja immer die Summe der Maße,oder?)).

Zitat:

Wenn du bei 0^0 mal Philipp-ER fragst, dann sagt er dir, es sei als 1 definiert verwirrt

Wie gesagt, es ist nicht einheitlich geregelt, manche sind der Meinung, 0^0 sei 1, andere nennen es undefiniert, doch bei Potenzreihen, dem binomischen Satz usw rechnet sowieso jeder mit 0^0=1, auch, wenn er zuvor behauptet hat, es sei undefiniert.

11.09.2004, 12:13

Leopold

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RE: Unendlich mal null

Zitat:

Original von Philipp-ER
Wie gesagt, es ist nicht einheitlich geregelt, manche sind der Meinung, 0^0 sei 1, andere nennen es undefiniert, doch bei Potenzreihen, dem binomischen Satz usw rechnet sowieso jeder mit 0^0=1, auch, wenn er zuvor behauptet hat, es sei undefiniert.

Genau so handhabe ich das auch. Im allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ undefiniert. In gewissen Kontexten ist es jedoch praktisch, $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ als 1 zu interpretieren. So wird man natürlich bei der Funktion

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \ , \ \ x \mapsto x^0 \end{eqnarray*}$

unausgesprochen die stetige Ergänzung 1 für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ vornehmen.

21.10.2012, 14:58

Orangina

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und wenn ich dann 0 als zahl mit dem grenzwert unendlich multipliziere?

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Unendlich mal null

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