Differenzierbarkeit

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Usefull Idiot Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit
Hismile

Ich habe ein Problem.
Ich habe nun seid einer Woche Mathe LK und wir wiederholen zZ den Stoff aus der 11. Klasse nach den langen Feriensmile Leider musste ich bemerken das die Ferien (und der AlkBig Laugh ) einige Lücken verursacht haben.
Wir sollten nun zu Hause eine Aufgabe lösen, mit der ich ein Problem hatte, dieses habe ich bereits in einen anderem non-Mathe Forum reingestellt:

Zitat:
Originally posted by Usefull Idiot
Bin nun in der 12 und hab Mathe LK. Wir sollten nun die 1. Ableitung von f(x) = Wurzel(x) bestimmen per Differenzenquotient.

So, habe damit eigentlich keine Probs, bis ich es soweit vereinfacht habe:

1/(Wurzel(x)+Wurzel(x0))

So, habe nachdem ich bis hierhin vereinfacht hatte nach der Lösung gegoogelt und gesehen das ich richtig gerechnet habe.


Was mich allerdings verwundert hat...

lim x--->xo ergibt bei meinen Term die korrekte 1. Ableitung nämlich 1/2*Wurzel(x)
aber ich dachte der Nenner darf um x x0 anzunähern für keinen x wert 0 ergeben (da Brüche deren Nenner = 0 ist ja nicht definiert sind). Nähere ich x x0 an sieht der Nenner nun so aus:
2*Wurzel(x0)
Wenn man in diesem Fall für x0 0 einsetzt wäre der Nenner = 0, deswegen dürfte man doch eigentlich nicht x x0 annähern oder? :confused:

Warum darf man in diesem Fall hier wohl annähern? Oder hab ich irgendwas falsch verstanden?

Gruss Sven


So, ich bekam darauf diese Antwort:

Zitat:
Originally posted by ColonelWicked
ich geb jetzt mal die korrekte theoretische Lösung:

Eine Funktion die auf dem geschlossenen Intervall [a,b] stetig ist, ist auf dem offenen Intervall ]a,b[ differenzierbar.

Die Funktion Wurzel(x) ist stetig auf dem halboffenen Intervall [0, unendlich[, d.h. sie kannst nur differenzierbar auf dem offenen Intervall ]0,unendlich[ sein.

So einfach isses, bissl Definitionen kennen hilf oft bei solchen Ungereimtheiten smile


Nun kommt das Wort differenzierbar vor, aber ich habe leider völlig vergessen was das heisst. Ich habe nach verschiedenen Definitionen gegoogelt, aber die sind alle sowas von unverständlich für einen 12 Klässler der gerad mal die Hälfte der dort angegebenen Fachwörter und Symbole kenntBig Laugh

Wäre schön wenn man mir eine leicht verständliche Definition geben würde, damit ich die Antwort in dem anderen Forum versteheBig Laugh

Gruss Svensmile

*EDIT*
Huch, ich seh ja gerade das diese Userbeschreibung unter den Usernamen haargenau auf mich zutrifft*lol*Big Laugh
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

Dass eine Funktion schon differenzierbar ist, wenn sie stetig ist, ist mir neu. Ein Gegenbeispiel ist f(x) = |x|, der ist an der Stelle 0 stetig, aber nicht differenzierbar. Auch mit dem Übergang [a,b]->]a,b[ ist das falsch.

"Differenzierbar" heißt dabei nur, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert, also keine komischen Sachen wie "unendlich" oder von links und rechts jeweils andere Ergebnisse rauskommen.

Gruß

MisterSeaman
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die korrekte Definition ist:

Eine Funktion ist differenzierbar in einem Punkt genau dann, wenn der Grenzwert



existiert, d.h. eine Zahl ist.


Alternativ:

Usefull Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal euch beidensmile Bin auf jeden Fall schon aufgeklärter als vorhersmile

Also ist eine Funktion differenzierbar im Punkt x0 wenn ein Grenzwert existiert.
Würde gerne mal ein praktisches Beispiel sehen wo kein Grenzwert existiert, wie in der Funktion die Seaman genannt hat:.

Zitat:
Original von MisterSeaman
Ein Gegenbeispiel ist f(x) = |x|, der ist an der Stelle 0 stetig, aber nicht differenzierbar.


Ich weiss nicht wie ich über dem Differenzenquotienten die Ableitung von f(x)=|x| bilde. Könnte jhemand die für ich herleiten damit ich mir ein Bild davon machen kann?
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

Jo.

Also, ich schau mir den Grenzwert des Differenzenquotienten für f(x) = |x| an der Stelle
x=0 an:





Dieser Grenzwert existiert nicht. Denn ist h<0, so ist

ist h > 0, so ist


Da es also für den Grenzübergang darauf ankommt, ob ich mich der Stelle 0 von links (h<0) oder rechts (h>0) annähere, existiert der Grenzwert nicht. An der Stelle 0 ist |x| deshalb nicht diff'bar.




Gruß

MisterSeaman
Usefull Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

thx, also ist die Funktion f(x)=|x| differenzierbar in R\0?
Könnte das auch noch jemand vorrechnen beim Beispiel x= 2

Srx das ich damit so nerve, aber wenn ich was in Mathe nicht verstehe ist es bei mir so das ich solange danach suche, bis ichs von vorn bis hinten verstanden habBig Laugh
 
 
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

versuch es doch einmal selbst. z.B. für x=2 (oder auch alle anderen x außer vllt 0) ist nichts dabei, wenn Du den Differenzenquotienten (und den Betrag) verstanden hast. Richtig, die Funktion ist auf IR\{0} differenzierbar. :]

Gruß

MisterSeaman
Usefull Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich versuchs malsmile Ist zwar schonlange her mit den Beträgen, aber ich habl was bei google mit Fallunterscheidungen gefunden. Hoffe das ist richtig so.

1. Fall x>0:




Was richtig ist, wie man am Graphen sieht.

2. Fall x<0

Hmm, das weiss ich nicht weiter:/ Anschaulich müsste das -1sein, ich weiss aber nicht wie ich dahin komme
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ergebnis im ersten Fall stimmt.

Im zweiten Fall hilft vielleicht ein Beispiel weiter: Wie wird
aus -2 die Zahl |-2| ?
Usefull Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, -|-2|

Wenn ich so versuche zu rechnen dann:

f(x) = |x| =

f´(x) = lim x-->x0 (|x|-|x0|)/(-(|x|-|x0|)) = -1smile
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt zwar so auch verwirrt , aber Du hast jetzt ja nicht in die Definition eingesetzt... Eigentlich sollte oben nur die Differenz der Funktionswerte und unten nur x-x0 stehen...

Was nicht heißt, dass Du falsch gerechnet hast, allerdings überrascht mich Deine Schreibweise etwas. Versuch es doch nochmal nur mit (f(x)-f(x0))/(x-x0) hinzubekommen und die Betragstriche rauszuschmeißen.
Usefull Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das ginge mit Wurzeln:

f´(x) = lim x-->x0 (f(x)-f(x0))/(-Wurzel(x²)+Wurzel(x0²)))
Wurzel(a²) ergibt immer den Betrag von a, somit ist Wurzel(x² bzw. x0²)=f(x bzw. x0).

damit ergibt sich:

= lim x-->x0 (f(x)-f(x0))/(-f(x)+f(x0))
= lim x-->x0 (f(x)-f(x0))/(-(f(x)-f(x0)))

Gekürzt ergibt das -1
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

Kein f(x) im Nenner, bitte! einfach nur x-x0. Ich würde es auch nicht unbedingt mit Wurzeln machen. Definitionsgemäß ist

|x| = {x für x>0, -x für x<0}.
Usefull Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

kk, neuer Versuch^^

lim x-->x0 (-x-(-x0))/(x-x0)
lim x-->x0 (-(x-x0))/(x-x0) = -1

Meintest du das so?
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

Jupp. Nu isses okay. smile
Usefull Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

thx, ist korrigiertsmile

Und warum kann es hier keine 2 grenzwerte geben wie bei der f(0)?

Wenn ich mal rechne mit h (glaube das ist zum verstehen für mich einfacher):

f(2) = |2|

lim h--->0 ( |2+h| - 2 ) / h
lim h--->0 h / h <-- warum kann hier nicht h<0sein?Bei f´(0) kam da ja auch h / h raus, das versteh ich noch nicht wirklich.

*EDIT* hmm, kriege ich nicht hin wenn ich x-x0 durch h ersetze
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

Das liegt daran, dass 2+h immer eine postive Zahl ist, wenn h klein genug ist, egal ob h jetzt größer oder kleiner 0 ist. Deswegen gilt immer

|2+h| = 2+h.

0+h aber wird für h<0 kleiner als 0 und für h>0 größer als null - man muss einmal die eine, mal die andere Definition des Betrages benutzen.

|0+h| = 0+h für h>0
|0+h| = -0-h für h<0

Hier kam auch nicht h/h, sondern |h|/h raus.
Usefull Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, so langsam wirs mir klar, was ich mich nun frage was ist in folgendem Fall z.B:
x=2
x+h=-1
h=-3

-->
lim h-->0 1-2 / -3
lim h-->0 -1 / -3 = 1 / 3

Ach, moment, ich seh das ja vällig falsch, h näherst sich ja 0 an, dadurch ist schliesslich auch in diesem Beispiel x+h positiv, das was ich da jetzt berechnet habe war die arithmetische Steigung innerhalb des Intervalls [-1,2] oder? *lichtaufgeh*

Ich glaub das hab ich jetzt verstandensmile

Könntest du mir noch eine korrekte Antwort geben zu der Frage die ich im ersten Quote in meinem ersten Post gegeben habe?smile
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

h nähert sich der Null beliebig nah an, genau.

Meinst Du das:

Zitat:

Wenn man in diesem Fall für x0 0 einsetzt wäre der Nenner = 0, deswegen dürfte man doch eigentlich nicht x x0 annähern oder? :confused:


Das ist schon richtig, man darf auch für x nicht 0 einsetzen in der Ableitung. Hier existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht, er geht gegen "unendlich". (Wird beliebig groß). D.h., die Wurzel ist nur auf IR+ (ohne Null) differenzierbar.

Gruß

MisterSeaman
Usefull Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, vielen dank, du hast mir seh geholfen :] Wusst ichs doch das man in der Definitionsmenge der Ableitung die 0 ausschliessen musssmile

Hätte ich dieses Forum mal früher entdeckt^^

Gruss Svensmile

*EDIT* Hehe, und passend mit meiner Erkenntnis steige ich von der Definitionslücke zur natürlichen Zahl auf^^ Das Forum denkt mit ^^
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte. smile
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