Gaußsches Eliminationsverfahren

11.09.2004, 12:19

Memoli

Gaußsches Eliminationsverfahren

Hallo,

wir haben jetzt neues Thema undzwar Gaußsches Elimiminationsverfahren, und ich check da gar nichts! Ich weiß nicht wie ich vorangehen muss ich weiss nicht wie die regeln sind echt keine ahnung ich muss das unbedingt schnallen bitte um hilfe.

z.B. die Aufgabe

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	x y z I 4 7 12 : -5 II -2 3 -4 : -4 III 2 1 9 : 0

ich habs zwar die Lösung dafür aber ich verstehs trotzdem nicht, wieso das so ist und ob es so sein muss oder ob man es auch anders machen könnte...echt bitte um hilfe um erklärung.

Hilfe

Mit freundlichen Grüßen
Memoli

11.09.2004, 13:22

Tobias

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Mit dem Gauß-Eleminationsverfahren löst man lineare Gleichungssysteme. Hierfür vereinfacht man sich die Gleichungen, indem man nur die Koeffizienten vor den Unbekannten in eine Matrix schreibt. Erweitert man die Matrix um die Lösung, so erhält man die erweiterte Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 7 & 12 & -5 \\ -2 & 3 & -4 & -4 \\ 2 & 1 & 9 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ziel ist es, die Matrix auf obere Dreiecksform zu bringen. Das sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} * & * & * & * \\ 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um die obere Dreiecksform zu erreichen, darf man sog. elementare Zeilenoperationen anwenden. Elementare Zeilenoperationen sind:

1.) Multiplizieren einer ganzen Zeile mit einer Zahl (nur nicht mit 0!)

Ich könnte z.B. die Zeile III mit 2 multiplizieren und würde erhalten:
4 2 18 : 0

2.) Zeilenvertauschungen. Z.b. darf man Zeile I mit II vertauschen.
3.) Addieren oder Subtrahieren von Zeilen

Addiert man Zeile II zu Zeile III erhält man die Zeile:
0 4 5 : -4
Diese Zeile übernehmen wir dann als neue Zeile II.

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:

      x     y    z
I     4     7   12  : -5
II   -2     3   -4  : -4
III   2     1    9  :  0 

* Addiere III und II: III = 0   4   5  : -4
* Multipliziere II mit 2 und addiere zu I: II = 0  13   4 : -13

Das neue System schaut nun so aus:

      x     y    z
I     4     7   12  : -5
II    0     4    5  : -4
III   0    13    4  : -13

So fährst du fort, bis du deine obere Dreiecksform erreicht hast.

Dann kannst du die Lösung für z aus der Zeile III ablesen und in die Zeile II einsetzen. Du erhälst y aus II, setzt y und z in I ein und schon hast du x.

12.09.2004, 14:32

Memoli

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puha danke für deine erklärung wenn ich auch nicht alles verstanden habe. mit 3 gleichungen kann ich das jetzt halbwegs. Aber wie geht das mit 4 Gleichungen??

die aufgabe:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:	a b c d I 2 -12 2 1 : 1 II 3 -14 2 -1 : -7 III -2 13 -4 3 : 9 IV 1 -6 1 -1 : -4

wie macht man das hier? bitte um erklärung lösungsweg und lösung

mit freundlichen grüßen
Memoli

12.09.2004, 18:05

Mazze

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Wenn Du es mit 3 Gleichungen "halbwegs" kannst sollten 4, 5 , 6 .... garkein Problem sein da es immer Schema-f ist. Du bringst das System bei 4 Gleichungen halt auf folgende form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 &a_4 \\ 0 & b_1 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & 0 & d_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.09.2004, 18:13

Memoli

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danke aber ich checkd as ned komm ned auf das Ergebniss, wäre super wenn mir das einer mal so mit allen schritten drum und dran schreiben würde. Hilfe

23.09.2004, 19:31

Memoli

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niemand schreibt? Hilfe

23.09.2004, 23:47

koRn

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Mach es doch einfach nach Schema F :]

Hier schonmal die Lösungen zum Überprüfen :

a=-2
b=0
c=1
d=3

Ansonsten schreib einfach mal deinen Lösungsweg auf und man kann halt nach Fehlern usw. suchen.

koRn

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