Wo is die Wurzel hin!? :-)

07.03.2007, 16:01

Carinchen

Wo is die Wurzel hin!? :-)

Hab mal ne Frage:

Hab hier eine kurze Rechnung und versteh einfach nicht, wo die Wurzel geblieben ist:

O´´( \sqrt[3]{V/2\pi} ) = 4(\pi+V:\frac{V}{2\pi} ) = 12\pi > O

warum ist hier die wurzel weg: = 4(\pi+V:\frac{V}{2\pi} ) ???

07.03.2007, 16:02

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Bitte korrigieren dein Latext. smile

Und achte ggf. auf d. richtige Klammersetzung.

07.03.2007, 16:05

Carinchen

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RE: Wo is die Wurzel hin!? :-)
Oh je nochmal die Rechnung^^

O´´( $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{V/2\pi} \end{eqnarray*}$ ) = 4( $\begin{eqnarray*} \pi+V:\frac{V}{2\pi} \end{eqnarray*}$ ) = 12 $\begin{eqnarray*} \p \end{eqnarray*}$ i > O

07.03.2007, 16:06

Carinchen

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07.03.2007, 16:06

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Es gibt eine Vorschaufunktion. (Du darfst sie auch nutzen. Augenzwinkern

)

Edit: Was is'n O?

07.03.2007, 16:10

Angels_Kiss

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Ja mach ich das nächste mal ;-)

O = Oberfläche

07.03.2007, 16:15

tigerbine

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Bleib doch bitte bei einem Benutzer Namen. Was soll das?

07.03.2007, 16:21

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Wonach hast du dort bitte 2 mal differenziert?

Du kannst noch nichteinmal $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableiten und fragst dich, wo die Wurzel geblieben ist? verwirrt

07.03.2007, 16:23

Angels_Kiss

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Das mit dem anderne Benutzername war ja kei Absicht..meine Güte...

Und natürlich kann ich x² ableiten!!

Und ja..ich muss wissen, was des mit der Wurzel da auf sich hat. Kannst es mir denn erklären??

07.03.2007, 16:31

Angels_Kiss

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ich muss das relative Minimum ausrechnen.

Der Extremwert ist r= $\begin{eqnarray*} \pi+V:\frac{V}{2\pi} \end{eqnarray*}$
hab den jetzt in eine zweite Ableitung eingesetzt:

O´´= 4( $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{V}{2\pi} \end{eqnarray*}$

dann hab ich das hier erhalten

O´´( $\begin{eqnarray*} \pi+V:\frac{V}{2\pi} \end{eqnarray*}$ ) = 4( $\begin{eqnarray*} \pi+V:\frac{V}{2\pi} \end{eqnarray*}$ ) = 12 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

So... aber wo ist die Wurzel???

07.03.2007, 16:34

Angels_Kiss

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ne das war falsch...

das muss so heißen:

O´´( $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{V/2\pi} \end{eqnarray*}$ ) =4( $\begin{eqnarray*} \pi+V:\frac{V}{2\pi} \end{eqnarray*}$ ) = 12 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

07.03.2007, 16:38

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Melde dich an, dann kannst du auch deine Beiträge editieren!

Es wäre recht geil, wenn du uns mehr Informationen geben könntest.

Zum Beispiel: Was ist bitte O''? Klar, die 2. Ableitung.. Aber willst du uns nicht erstmal die Ableitung zeigen? Wie wissen doch garnicht, wo du deine Werte einsetzt.

Achja, es ist nicht die 3. Wurzel, sondern die 2. W.

07.03.2007, 17:04

Angels_Kiss

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Ja das mit dem Anmelden mach ich noch!

Ok, also zuerst O= Oberfläche!

$\begin{eqnarray*} O = 2r^{2}\pi + 2r\pi \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V = r^{2}\pi \cdot h \Rightarrow h = \frac{V}{r^{2}\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow O(r) = 2r^{2}\pi + 2r\pi \cdot \frac{V}{r^{2}\pi} \end{eqnarray*}$

O(r) = $\begin{eqnarray*} 2r^{2} + 2r\pi \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{V}{r^{2}\pi} \end{eqnarray*}$ = 2( $\begin{eqnarray*} r^{2}\pi + \frac{V}{r} \end{eqnarray*}$ )

O´(r)= $\begin{eqnarray*} 2(2r\pi \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{V}{r^{2}} \end{eqnarray*}$ )

O´´(r)= 4( $\begin{eqnarray*} \pi+\frac{V}{r^{3}} \end{eqnarray*}$

die erste Ableitung =0 setzen, dann kommt eben das hier raus:
r= $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \end{eqnarray*}$

das setzt man nun in die zweite Ableitung ein und erhält das hier:

O´´( $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \end{eqnarray*}$ ) = 4( $\begin{eqnarray*} \pi+V:\frac{V}{2\pi}[\latex] = 12[latex]\pi \end{eqnarray*}$ > 0

So und jetzt nochmal zu meiner frage...was hat man da mit der Wurzel gemacht??

07.03.2007, 17:06

Angels_Kiss

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so jetzt nochmal, hoffentlich hats geklappt^^

Ok, also zuerst O= Oberfläche!

O= $\begin{eqnarray*} 2r^{2}\pi + 2r\pi \end{eqnarray*}$ *h
V= $\begin{eqnarray*} r^{2}\pi \end{eqnarray*}$ *h => h= $\begin{eqnarray*} \frac{V}{r^{2}\pi} \end{eqnarray*}$

O(r) = $\begin{eqnarray*} 2r^{2} + 2r\pi \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{V}{r^{2}\pi} \end{eqnarray*}$ = 2( $\begin{eqnarray*} r^{2}\pi + \frac{V}{r} \end{eqnarray*}$ )

O´(r)= $\begin{eqnarray*} 2(2r\pi \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{V}{r^{2}} \end{eqnarray*}$ )

O´´(r)= 4( $\begin{eqnarray*} \pi+\frac{V}{r^{3}} \end{eqnarray*}$ )

die erste Ableitung =0 setzen, dann kommt eben das hier raus:
r= $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \end{eqnarray*}$

das setzt man nun in die zweite Ableitung ein und erhält das hier:

O´´( $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \end{eqnarray*}$ ) = 4( $\begin{eqnarray*} \pi+V:\frac{V}{2\pi} \end{eqnarray*}$ = 12 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ > 0

So und jetzt nochmal zu meiner frage...was hat man da mit der Wurzel gemacht??

07.03.2007, 17:07

Angels_Kiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Und das mit der 3. Wurzel stimmt! So steht es zumindest in meinem Buch drin!

07.03.2007, 17:08

tigerbine

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@ Angels_kiss: schreib die Formeln bitte komplett im Editor. Habe die ersten 1mal editiert. Danke.

07.03.2007, 17:16

Angels_Kiss

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Ja ok, werd ich in Zukunft machen ;-)

07.03.2007, 17:19

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Ja, ist die 3. Wurzel. Hatte es nicht gerechnet. Nur vermutet.

Naja, wo genau liegt jetzt dein Problem?

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt[3]{\text{bla}}\right)^{3}=\left((\text{bla})^\frac{1}{3}\right)^3=(\text{bla})^{3\cdot\frac{1}{3}}=\text{bla} \end{eqnarray*}$

verwirrt

07.03.2007, 17:27

Angels_Kiss

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Ja wie kommst du jetzt auf hoch 3??? Und 1/3 ???
verwirrt

07.03.2007, 17:31

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Hast du Tomaten auf (oder in) den Augen?

07.03.2007, 17:38

Angels_Kiss

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Nein, eigentlich nicht.
Bin nur a weng nervös, weil ich des morgen als Referat meinen Mitschülern vortragen muss geschockt

Komm jetzt aber echt nicht drauf.. unglücklich

07.03.2007, 17:48

Angels_Kiss

Auf diesen Beitrag antworten »

ach ich glaub ich bin doch draufgekommen...

die zweite Ableitung heißt ja:

O´´(r)= 4( $\begin{eqnarray*} \pi + V:\frac{V}{r^{3}} \end{eqnarray*}$ )

wegen dem $\begin{eqnarray*} r^{3} \end{eqnarray*}$ oder??

07.03.2007, 17:50

Calvin

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Zitat:

Original von Angels_Kiss
Ja wie kommst du jetzt auf hoch 3??? Und 1/3 ???
verwirrt

Ganz allgemein ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[a]{x^b}=x^{\frac{b}{a}} \end{eqnarray*}$

Und die "hoch 3" kommt vom Einsetzen. In deiner zweiten Ableitung steht $\begin{eqnarray*} r^3 \end{eqnarray*}$

Du hättest es allen übrigens viel einfacher machen können, wenn du die komplette Aufgabenstellung gepostet hättest anstatt Bruchstücken der Lösung. Augenzwinkern

07.03.2007, 17:50

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} O''\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)=4\left(\pi+\frac{v}{\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^3}\right) = 4\left(\pi+\frac{V}{\left(\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^3}\right)= 4\left(\pi+\frac{V}{\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{3\cdot\frac{1}{3}}}\right) = 4\left(\pi+\frac{V}{\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{1}}\right) = 4\left(\pi+\frac{V}{\frac{V}{2\pi}}\right) = 4\left(\pi+\frac{2\pi{V}}{V}\right) = 12\cdot{\pi}>0 \end{eqnarray*}$

Big Laugh

07.03.2007, 17:53

Angels_Kiss

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Ok hier noch die Aufgabenstellung..die Lösung hab ich ja schon geschrieben Augenzwinkern

Minimale Oberfläche eines Zylinders
Ein Produzent für Konservengemüse möchte verschiedene Gemüsesorten in Weißblechdosen abfüllen. Unabhängig vom Volumen soll dabei möglichst wenig Blech verwendet werden, d.h., die Oberfläche soll minimal sein. Wie müssen die Dosen dimensioniert werden?

07.03.2007, 17:58

Angels_Kiss

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danke zt

07.03.2007, 18:18

Angels_Kiss

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Hab jetzt noch ne Frage Big Laugh

Zuletzt in meiner Lösung steht noch folgendes:

Wegen r= $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \end{eqnarray*}$ und h= $\begin{eqnarray*} \frac{V}{r^{2}\pi} \end{eqnarray*}$ folgt

h= V : ( $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \end{eqnarray*}$ )² $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{V\cdot (2\pi )^\frac{2}{3}}{V^\frac{2}{3}\pi } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{2^\frac{2}{3}V^\frac{1}{3}}{\pi^\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{2V^\frac{1}{3} }{2^\frac{1}{3}\cdot\pi^\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$ = 2 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ r

Kannst mir des auch so gut erklären??? *gg*

07.03.2007, 18:54

Angels_Kiss

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na??? kann mir das denn wirklich keiner erklären??? geschockt

07.03.2007, 19:13

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Was du in der letzten Zeile geschrieben hast, .. das macht für mich keinen Sinn..

07.03.2007, 19:15

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

@zt

doch, das macht Sinn. Es ist nur einmal ein =pi zu viel am Anfang

Welchen der Schritte verstehst du denn nicht? Es wurden nur Potenzgesetze angewendet.

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt[3]{x}\right)^2=x^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{bc}\right)^d=\frac{a^d}{b^d\cdot c^d} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^b}{a^c}=a^{b-c} \end{eqnarray*}$

07.03.2007, 19:24

Angels_Kiss

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warum macht das für dich keinen Sinn? Ich will ja keine Lösung von dir, sondern nur eine ERKLÄRUNG!!

Danke Calvin!

Ich versteh zum Beispiel nicht, woher die brüche als hochzahlen kommen...

07.03.2007, 19:27

Angels_Kiss

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Und wohin verschwindet das zweite Volumen??

07.03.2007, 19:49

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst dafür die von mir geposteten Potenzgesetze:

$\begin{eqnarray*} h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt im Nenner die Wurzel mit dem Gesetz $\begin{eqnarray*} \sqrt[b]{x^a}=x^{\frac{a}{b}} \end{eqnarray*}$ auflösen

$\begin{eqnarray*} \frac{V}{\pi \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2}=\frac{V}{\pi\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{\frac{2}{3}}} \end{eqnarray*}$

Jetzt das Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} \left(ab\right)^c=a^c\cdot b^c \end{eqnarray*}$ anwenden.

$\begin{eqnarray*} \frac{V}{\pi\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{\frac{2}{3}}} = \frac{V}{\frac{\pi V^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}\pi^{\frac{2}{3}}}} \end{eqnarray*}$
Jetzt erstmal den Doppelbruch auflösen:

$\begin{eqnarray*} \frac{V}{\frac{\pi V^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}\pi^{\frac{2}{3}}}}=\frac{V\cdot 2^{\frac{2}{3}}\cdot \pi^\frac{2}{3}}{\pi\cdot V^{\frac{2}{3}}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt noch Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} \frac{a^b}{a^c}=a^{b-c} \end{eqnarray*}$ anwenden: (*)

$\begin{eqnarray*} \frac{V\cdot 2^{\frac{2}{3}}\cdot \pi^\frac{2}{3}}{\pi\cdot V^{\frac{2}{3}}} = V^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}\cdot\pi^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch das Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} a^{-b}=\frac{1}{a^b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}\cdot\pi^{-\frac{1}{3}}=\frac{V^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}}{\pi^{\frac{1}{3}}} \end{eqnarray*}$

Jetzt nochmal die Potenz bei der 2 auseinanderziehen mit dem Gesetz von oben (*)

$\begin{eqnarray*} \frac{V^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}}{\pi^{\frac{1}{3}}}=\frac{V^{\frac{1}{3}}\cdot 2}{2^{\frac{1}{3}}\cdot \pi^{\frac{1}{3}}} \end{eqnarray*}$

Und alles bis auf die 2 im Zähler entspricht genau dem Ausdruck von r.

07.03.2007, 20:49

Angels_Kiss

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Dankeschön! Du hast es echt sehr verständlich erklärt!! thx Freude

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Wo is die Wurzel hin!? :-)

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