Ableitung von Funktionen

11.09.2004, 20:20

nyx

Ableitung von Funktionen

Könnte bitte jemand folgende Ergebnisse posten, damit ich meine Aufgaben überprüfen kann.

Ableitungsfunktion mithilfe der Formel = nx^(n-1)
Potenzrechnung spielt auch eine wichtige rolle.

a) g(f) = Wurzel[2] * f²
b) h(u) = a * u²
c) f(x) = c * Wurzel[2] * x³
d) f(x) = Wurzel[5x]
e) f(x) = - (Wurzel[2] / x)

f) f(x) = x³ + 5x² -6
g) f(x) = 3/4x³ - 1/2x² - Wurzel[2]
h) f(x) = 7/10x^5 + 5/6x³ - 2/3x

Die letzten drei konnte ich irgendwie nicht. Wäre nett, wenn ihr da noch kurze Denkanstöße gebt.

PS// Ich würde das ja in der Mathestunde vergleichen, aber es ist gut möglich, das ein Hausaufgabentest geschrieben wird. Also besser zu früh als zu spät.

Danke!

11.09.2004, 20:32

Mathespezialschüler

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RE: Ableitung von Funktionen
Verschoben

Poste du mal deine Lösungen! Dann können wir vergleichen und möglicherweise verbessern. Augenzwinkern

12.09.2004, 11:33

nyx

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a) g(f) = Wurzel[2] * f²
b) h(u) = a * u²
c) f(x) = c * Wurzel[2] * x³
d) f(x) = Wurzel[5x]
e) f(x) = - (Wurzel[2] / x)

Lösungen:

a) g'(f) = Wurzel[2] * 2f
b) h'(u) = a * 2u
c) f'(x) = c * Wurzel[2] * 3x²
d) f'(x) = Wurzel[5] * Wurzel[x] = Wurzel[5] * x^1/2
e) f(x) = - (2/x)^1/2 = 1/2 * -2/x ^-1/2 = - 2/2x ^ -1/2 = ?

Die letzten drei habe ich wie gesagt nicht.

12.09.2004, 14:19

mYthos

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Hi,

bei a fehlt noch *f ' (als innere Ableitung nach der Kettenregel)
b richtig
c richtig
d Umformung zwar richtig, aber noch nicht abgeleitet!
e x ist NICHT unter der Wurzel, daher falsch umgeformt!

Für die weiteren Beispiele gilt: Man kann gliedweise differenzieren, also jeden Summand einzeln ...

Gr
mYthos

12.09.2004, 15:24

nyx

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Mhmm.. verstehe nicht was bei a) falsch ist.

d) f'(x) = Wurzel[5] * Wurzel[x] = Wurzel[5] * x^1/2 = Wurzel[5] * 1/2x^-1/2

so besser?

e) komm irgendwie nicht weiter...

####

f) f(x) = x³ + 5x² -6
g) f(x) = 3/4x³ - 1/2x² - Wurzel[2]
h) f(x) = 7/10x^5 + 5/6x³ - 2/3x

f) f(x) = 3x² + 10x - 6
g) f(x) = 9/4x² - x - 2^1/2 = 9/4x² - x - 1^-1/2
h) f(x) = 35/10x^4 + 15/6x² - ?

Bei h wusste ich nicht genau weiter. Bei den restlichen bin ich mir auch nicht genau sicher, ob ich das richtig gemacht habe. Hoffe auf weitere Hilfe smile

12.09.2004, 15:47

mYthos

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Bei a) hast du eine verkettete Funktion vorliegen

g = g(f(x)) und deren Ableitung wird deswegen nach der Kettenregel gebildet:

g ' = g '(f) * f '

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} g = sin^{2}x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g = (sin(x))^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g ' = 2 \cdot sin(x) \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$

d) etwas unsauber, du musst f und f ' trennen, nicht in einer Wurst f und f ' mit '= - Zeichen' hintereinander verbinden und auch Klammern setzen!

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt5 \cdot \sqrt{x} = \sqrt5 \cdot x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f '(x) = \sqrt5 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

so wär's richtig, und $\begin{eqnarray*} x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ist wiederum $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ ....

Bei e) $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt2}{x} \end{eqnarray*}$

kann man $\begin{eqnarray*} -\sqrt2 \end{eqnarray*}$ als konst. Faktor vorziehen und nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ableiten ....

12.09.2004, 16:10

nyx

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Vielen Dank für die Erklärung. Ich habe schon mehr verstanden als vorher.
Trotzdem muss ich ein bisschen weiter nachhaken.

g(f) = Wurzel[2] * f²
Könnte man auch so schreiben:
f(x) = Wurzel[2] * x²

Das würde bedeuten:

f'(x) = Wurzel[2] * (2*1x)^2-1
f'(x) = Wurzel[2] * (2x)^1
f'(x) = Wurzel[2] * 2x

Ich verstehe nicht, wo oder bzw. warum ich hier eine verkettung haben soll traurig

Bin ich die anderen Aufgaben richtig angegangen?
(f,g,h)

12.09.2004, 19:18

mYthos

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Diese Frage beantworte ich noch, dann komme ich erst wieder, bis der Server in Ordnung ist, bitte um Verständnis!

g(f) = Wurzel[2] * f²
Könnte man NICHT so schreiben:
f(x) = Wurzel[2] * x²

NEIN!

$\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ist eine spezielle Funktion, während $\begin{eqnarray*} f^2 \end{eqnarray*}$ eine beliebige Funktion zum Quadrat darstellt! Daher auch die innere Ableitung.

Erstens leitet man das Quadrat von f ab, 2. die Funktion f selbst, so funktioniert dies nach der Kettenregel. Das musst du einfach zur Kenntnis nehmen.

Das Andere:

f) f(x) = x³ + 5x² -6
g) f(x) = 3/4x³ - 1/2x² - Wurzel[2]
h) f(x) = 7/10x^5 + 5/6x³ - 2/3x

f) f(x) = 3x² + 10x - 6

nein!
Erstens Schreibfehler, es muss natürlich f '(x) heissen, dann
-6 ist konstant (hat ja kein x bzw $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ ), wird bei der Ableitung zu Null, also nur $\begin{eqnarray*} f(x) = 3x^2 + 10x \end{eqnarray*}$

g) f(x) = 9/4x² - x - 2^1/2 = 9/4x² - x - 1^-1/2

nein!

Wiederum f '(x) = .. und

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls eine Konstante, wird daher ebenso zu Null

h) f(x) = 35/10x^4 + 15/6x² - ?

genau so

f '(x) = ..
$\begin{eqnarray*} .. = \frac{35}{10} \cdot 4x^3 + \frac{15}{2}x^2 - \frac{2}{3} = \end{eqnarray*}$ (die Ableitung von x ist 1)

$\begin{eqnarray*} = \frac{70}{5}x^3 + \frac{15}{2}x^2 - \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Gr
mYthos

12.09.2004, 20:43

Mathespezialschüler

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@nyx
Bei a) hast du alles richtig gemacht!! mythos hat nen kleinen Fehler gemacht (s.u.).

Zitat:

Original von mYthos
Bei a) hast du eine verkettete Funktion vorliegen

g = g(f(x)) und deren Ableitung wird deswegen nach der Kettenregel gebildet:

g ' = g '(f) * f '

Bei a) hat man keine verkettete Funktion!! Die Funktion heißt doch

$\begin{eqnarray*} g(f) = \sqrt{2}\cdot f^2 \end{eqnarray*}$

!! Diese Funktion hängt einfach nur von f ab (g(f)), dabei ist aber nicht gesagt, dass f auch eine Funktion ist, es ist einfach hier bei dieser Funktion das Argument! Wenn man so will, ist die Funktion "äquivalent" (das darf man eigentlich nicht machen, ich machs wegen der Anschaulichkeit mal ...) zu

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{2}\cdot x^2 \end{eqnarray*}$

Aber wenn man es so, wie du, interpretiert, könnte man ja bei jeder Funktion, z.B.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

sagen, x sei eine Funktion.
Ich denke, du hast dich hier nur von der normal üblichen Schreibweise irritieren lassen! Augenzwinkern

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