Konvergenz?

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Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz?
Ich hab da ein Problem. Die Reihe divergiert. Nach einem Satz aus der Vorlesung, kann man das damit begründen, weil divergiert. Wenn ich das aber mit Quotientenregel beweisen will, kommt bei mir folgendes raus:
Für ist die Reihe aber konvergent gegen 1. Wo ist mein Fehler?

Ähnliches bei konvergiert, weil konvergiert. Bei Quotientenregel kommt dann bei mir raus: . Für strebt das gegen 1. Durch Ausprobieren mit 1+1/4+1/9 ist aber schon größer als 1.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das Quotientenkriterium sagt nicht aus gegen welche Zahl eine Reihe konvergiert sondern ob eine Reihe konvergiert.
Für konvergiert es für q < 1, divergiert es für q > 1 und ist nicht eindeutig bestimmbar für q = 1.

Hier liegt der Fall q = 1 vor, d.h. man kann mit dem Quotientenkriterium nichts über die Konvergenz aussagen
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Konvergenz von kann man aber anders recht einfach zeigen.



Edit: ups.. hab überlesen, dass ihr die Konvergenz begründet habt.sry
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Und das Integral zeigt mir auch nur, ob es konvergent ist oder divergent, aber nicht gegen welche Zahl, oder?
Aber Konvergenzradius kann ich berechnen, oder. Der wäre in beiden Fällen, glaube ich 1.
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shadow86
Und das Integral zeigt mir auch nur, ob es konvergent ist oder divergent, aber nicht gegen welche Zahl, oder?


Ja da es sich ja nur um eine Abschätzung handelt. Man kann die Summe als Untersumme (mit Rechtecksbreite 1) der jeweiligen Funktion verstehen. Diese ist ja kleiner als der tatsächliche Wert der Fläche unterm Graphen.
zum Konvergenzradius kann ich nix sagen.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das Integral kann eine Abschätzung liefern, zeigt dir aber nicht gegen welche Zahl es geht.

Wie willst du einen Konvergenzradius berechnet haben? Du hast doch noch nicht einmal eine Potenzreihe
 
 
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ja stimmt, daran hab ich nicht gedacht. Aber wenn jetzt bei beiden noch eine Potenz dabei wäre, wäre der Radius 1, glaube ich verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shadow86
Hmm, ja stimmt, daran hab ich nicht gedacht. Aber wenn jetzt bei beiden noch eine Potenz dabei wäre, wäre der Radius 1, glaube ich verwirrt

Ja, das ist richtig.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Für konvergiert es für q < 1, divergiert es für q > 1 und ist nicht eindeutig bestimmbar für q = 1.


das stimmt aber nicht ganz, das quotientenkriterium macht schlicht keine aussage über die konvergenz wenn

wenn das konvergenzkriterium bei obigem fall nicht erfüllt ist, dann kann man es als argument nicht verwenden!

Edit:
anders gesagt ist die wahl von einem nach satz geeignetem schlicht nicht möglich!
Sumo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz?
Zitat:
Original von Shadow86
Ich hab da ein Problem. Die Reihe divergiert. Nach einem Satz aus der Vorlesung, kann man das damit begründen, weil divergiert. Wenn ich das aber mit Quotientenregel beweisen will, kommt bei mir folgendes raus:
Für ist die Reihe aber konvergent gegen 1. Wo ist mein Fehler?

Ähnliches bei konvergiert, weil konvergiert. Bei Quotientenregel kommt dann bei mir raus: . Für strebt das gegen 1. Durch Ausprobieren mit 1+1/4+1/9 ist aber schon größer als 1.


Du kannst



als Zwischensumme des Integrals



auffassen und damit von der Divergenz des einen auf die Divergenz des anderen schliessen.

Die Divergenz der harmonischen Reihe laesst sich aber auch ganz elementar zeigen. Vielleicht solltest Du dazu mal den Beweis zum entsprechenden Satz eurer Vorlesung in Erwaegung ziehen...
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
das stimmt aber nicht ganz, das quotientenkriterium macht schlicht keine aussage über die konvergenz wenn

Hm, dazu sage ich mal Königsberger, Analysis 1, Seite 65:
Zitat:

Quotientenkriterium: [...] 1. Ist q<1, so konvergiert die Reihe absolut.
2. Ist q>1, so divergiert die Reihe.


Cordovan
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

So ich hab jetzt noch ne Frage:

Bei hab ich durch Quotientenregel rausgekriegt. Oben habt ihr bei einer ähnlichen Aufgabe den Limes davon genommen
Bei der Quotientenregel muss es aber <1 sein => Reihe nicht konvergent.

In der Vorlesung hab ich aber geschrieben, dass bei , sodass Reihe konvergent. Das würde doch bedeuten, wenn ich mir ein n raussuche, sagen wir n=1, dann ist Reihe konvergent

Was ist jetzt richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shadow86


Gemeint ist wohl:


Zitat:
Original von Shadow86
Das würde doch bedeuten, wenn ich mir ein n raussuche, sagen wir n=1, dann ist Reihe konvergent

Dann müßtest du aber zeigen, daß monoton fällt, bzw. daß ist für alle n >= 1.
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit

Dann müßtest du aber zeigen, daß monoton fällt, bzw. daß ist für alle n >= 1.


Das ist hier aber der Fall
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shadow86
Das ist hier aber der Fall

Das bezweifle ich ja nicht. Trotzdem ist das nicht sofort erkennbar und sollte daher irgendwie belegt werden. Eine Idee wäre dies:



Der Nenner läßt sich jetzt mit dem Satz von Bernoulli nach unten abschätzen.
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Und dann ist die Reihe konvergent?
Weil ich hab ja immer noch das Problem, dass
besagt, dass die Reihe NICHT konvergiert. Die wäre nur konvergent wenn der Limes < 1 ist!?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shadow86

Genau das stimmt ja eben nicht. Schon deswgen nicht, weil wir ja weiter oben überlegt haben, daß
ist.
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

war da nicht was vonwegen
brain man Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Monstar
war da nicht was vonwegen


Ja! Und das führt imho letztlich auch zum Ziel.
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das jetzt auch, dass Reihe strebt e strebt?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein!
Das Quotientenkriterium sagt _NICHTS_ über den Wert aus den die Reihe später haben wird
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

da steht doch 1/(...) also ist der limes nicht e sondern?
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Wo steht da was von 1/ irgendwas? Ist die Reihe jetzt konvergent oder nicht, ihr bringt mich ganz durcheinander. traurig
Popeye Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shadow86
Wo steht da was von 1/ irgendwas? Ist die Reihe jetzt konvergent oder nicht, ihr bringt mich ganz durcheinander. traurig


Hör auf zu flennen, Du hast doch schon alles was Du brauchst:

Also noch mal:


Damit folgt nach dem Quotientenkriterium die Konvergenz der Reihe.
Über den expliziten Wert der Reihe macht das Quotientenkriterium keine Aussage sondern eben nur darüber, daß es einen solchen gibt.
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