Ableitung von umkehrfkt. cos(x)

12.09.2004, 15:38

Croven

Ableitung von umkehrfkt. cos(x)

wir haben hier ein Beispiel im Buch, dass ich nicht so ganz peile..

Die Funktion f mit $\begin{eqnarray*} F(x)=cos x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x element [0,1/2*pi] \end{eqnarray*}$ hat eine Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} F^{-1} \end{eqnarray*}$ , deren Funktionsterm $\begin{eqnarray*} F^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ jedpch nicht angeben könnten. Trotzdem lässt sich mit Hilfe von Satz 2 z.B. für y=1/2 die Ableitung

$\begin{eqnarray*} F^{-1}(1/2) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Wegen $\begin{eqnarray*} 1/2=cos pi/3 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} F^{-1}(1/2)= pi/3 \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} F^{-1}(1/2)=\frac{1}{-sin pi/3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1/ (-1/2) * \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -2/3 * \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

ich versteh den schritt nich

$\begin{eqnarray*} F^{-1}(1/2)= pi/3 \end{eqnarray*}$

satz 2. ist die allgemeine regel zur Ableitung einer Umkehrfunktion

$\begin{eqnarray*} F^{-1}(y)'=\frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray*}$

ich weiß wie man es sonst allgemeine usw macht und kann damit rechnen, nur das bespiel raff ich nich ganz verwirrt

ne erklärung mit worten und paar Formel wären nich schlecht..hab mih damit scon ausgibig befasst :/

12.09.2004, 16:15

mYthos

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RE: Ableitung von umkehrfkt. cos(x)

Zitat:

Original von Croven

...

ich versteh den schritt nich

$\begin{eqnarray*} F^{-1}(1/2)= pi/3 \end{eqnarray*}$

...

Bei der Umkehrfunktion werden doch die Variablen bzw. die Mengen der Zuordnung vertauscht.

Wegen

$\begin{eqnarray*} F(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

ist eben

$\begin{eqnarray*} F^{-1}(\frac{1}{2})= \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Gr
mYthos

12.09.2004, 16:21

Croven

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okay, dann hab ich alles soweit verstanden, nur wie kommt auf von

-sin(1/3*pi) auf -1/2 * $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

12.09.2004, 16:22

kurellajunior

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RE: Ableitung von umkehrfkt. cos(x)
Ich setz mal Mythos hier fort:
$\begin{eqnarray*} F^{-1}(1/2)= \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Das ist der Grundgedanke der Umkehrfunktion

Dann muss es heißen ("nach 2. Satz"):
$\begin{eqnarray*} F^{-1}(1/2)'=&\frac{1}{-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}\\ =&\frac{-2}{\sqrt{3}}\qquad \mbox{Erweitern mit}\sqrt{3}\\ =&-\frac{2}{3}\cdot\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

EDIT:
$\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \end{eqnarray*}$ ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks. Mit Pythagoras berechenbar. Probiers und Du wirst erstaunt sein...

EDIT2:
$\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cdots \end{eqnarray*}$
Jan

12.09.2004, 16:27

Croven

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kann mir das vielleicht einer nochmal am Beispiel von x³ ausrechnen ?

also funktion ist f(x)=x³
wir wollen y=2 die Ableitung dre umkehr funktion bestimmen...

kann mir das einer nach dem schema da rechnen ? verwirrt

12.09.2004, 17:08

mYthos

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$\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f '(x) = 3 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {f^{-1}}' = \frac{1}{3x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {f^{-1}}'(2) = \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{4}} \end{eqnarray*}$

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