Irrfahrt im Sechseck

13.09.2004, 16:05	Soap	Auf diesen Beitrag antworten »
Irrfahrt im Sechseck Gegeben sei ein regelmäßiges Sechseck. Die Ecken des Sechsecks, sowie der Mittelpunkt M bilden den Zustandsraum. Ein Irrfahrer springt von M zufällig zu einer Ecke und mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 von einer Ecke zur benachbarten linken oder rechten Ecke oder zum Mittelpunkt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft ein in einer Ecke startender Irrfahrer die gegenüberliegende Ecke, bevor er zum Startpunkt zurückkehrt?
13.09.2004, 17:32	Mathe-Student	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit zum Ausgangspunkt: 1/3 + 1/3 $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~ 2^{-(2k-1)} \end{eqnarray}$ gegenüber: 1/3 + 1/3 $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~ 2^{-(2k)} \end{eqnarray}$ in etwa so. Hab grad keine Zeit mehr, wollte aber den Denkanstoß posten. Bis später.
13.09.2004, 18:22	Soap	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Anstoss, leider versteh ich nicht wie du drauf gekommen bist. Die Summen kann ich berechnen: Die erste ist 2/3, die zweite 1/3. Wieso kommt dann für die erste Wahrscheinlichkeit 1/3+2/3=1 raus? Sieht komisch aus.
13.09.2004, 22:44	Mathe-Student	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Soap. Schwer zu erklären. Ist glaub ich auch noch nicht richtig. Versuchen wirs trotzdem mal. Vielleicht wirds was. In jedem Schritt ist die Wahrscheinlichkeit in die Mitte M zu gehen 1/3. Von da aus ist die Wahrscheinlichkeit für Startpunkt S und gegenüber G gleich. Genauso ist die Wahrscheinlichkeit fertig zu werden in jedem Schritt 1/3. Dann können wir natürlich nicht mehr weitergehen. P(M) sei nun die Wahrscheinlichkeit irgendwann in der Mitte zu landen. $\begin{eqnarray} P(M)=\sum_{k=1}^\infty~3^{-k} \end{eqnarray}$ Also betrachten wir die anderen Alternativen und addieren dann jeweils 1/2P(M) um P(G) und P(S) zu erhalten. Die Richtung des ersten Schrittes ist nun egal, d.h. betrachte S, s, g und G. s und g sollen hierbei die Ecken sein, die zu S bzw G benachbart sind. Da wir in s beginnen ist die Wahrscheinlichkeit 1/3 für S und 1/3 für g. Sind wir dann in g ist die Wahrscheinlichkeit für G = 1/31/3 = 1/9 und genauso für den Rückweg zu s. Dann wieder 1/27 für S und g und so weiter. Deshalb konvergiert auch die Wahrscheinlichkeit, das G oder S erreicht wird erst im Unendlichen gegen 1. Wir hätten also: $\begin{eqnarray} P(S)=1/2P(M)+\sum_{k=1}^\infty~3^{-2k+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(G)=1/2P(M)+\sum_{k=1}^\infty~3^{-2k} \end{eqnarray}$ //edit: Steh gerade total auf dem Schlauch. P(M) ist 1/2 aber wie rechnet man die anderen beiden Reihen aus? Bzw. eine reicht, da sie zusammen wieder 1/2 sind // //edit 2: Achja, Gedächtnis ist wieder hochgefahren. :P $\begin{eqnarray} P(G)=1/4+1/8=3/8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(S)=1/4+3/8=5/8 \end{eqnarray}$ // Ist glaub ich doch richtig geworden.
13.09.2004, 23:22	Soap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 3^{-2k}=9^{-k}=(\frac{1}{9})^k \end{eqnarray}$ muss noch über deine Antwort nachdenken. Scheint falsch zu sein, habs per Rechner verifiziert: Ergebnis: ungefähr 42:58 Quellcode: public class Irrfahrt { public static void main(String arx[]) { int anz = Integer.parseInt(arx[0]); int g = 0,v = 0; for(int i=1;i<anz;i++) { int z = 0; boolean start = true; String a = new String(""+z); while(z!=3 && (z!=0)\|\|start) { start = false; int zufi = (int)(Math.random()6); if(z==6) z = zufi; else { if(zufi<2) z = 6; if(zufi>3) { if(z<5) z++; else z = 0; } if(zufi==2\|\|zufi==3) { if(z>0) z--; else z = 5; } } a = a+","+z; // System.out.println(zufi+":"+z); } if(z==3) g++; else v++; // System.out.println(i+"\t"+a+"\t"+g+":"+v); } System.out.println(anz+"\t"+g+":"+v); } } Und nun?? Einen Denkfehler hab ich! : $\begin{eqnarray} P(M)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\dots=\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ Den anderen auch! : $\begin{eqnarray} P(S)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\dots=\frac{1}{3}+\frac{2}{9}\sum_{k=0}^\infty{9^{-k}}=\frac{7}{12} \end{eqnarray*}$ Stimmts? Bin unsicher in Stochastik.

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