Nullstellenberechnung bei 3./4. Grad 1

13.09.2004, 15:08

Maggie

Hallo! Hab mich schon so gefreut, als ich das Thema gesehen und dachte, meine Probleme seien gelöst, aber... bei mir sehen die Terme etwas anders aus. Und zwar:

$\begin{eqnarray*} x^{3} - x+ 3 \end{eqnarray*}$

Was kann man da Schönes machen?

Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!!!! verwirrt

13.09.2004, 15:30

Poff

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z.B. ... numerisch lösen

x1 = -1.671699882

x2 = .835849941 + 1.046869319 * i
x3 = .835849941 - 1.046869319 * i

.

13.09.2004, 19:13

Maggie

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Erst einmal danke! das geht ja wahnsinnig schnell. Nur leider kann ich damit nicht so viel anfangen. Könntest du mir das erläutern? Ist numerisch lösen in Richtung Intervallschachtelung?

Vielen Dank!

13.09.2004, 19:44

Poff

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Zitat:

Original von Maggie
...
Könntest du mir das erläutern? Ist numerisch lösen in Richtung Intervallschachtelung?
Vielen Dank!

Richtung Intervallschachtelung, ja könnte man so sagen ...

Es gibt dazu verschiedene Verfahren, Intervallschachtelung ist
davon die 'primitivste', aber eine Mögliche ... . Augenzwinkern

damit KEIN Missverständnis aufkommt, es gibt von den Gl.
3 und 4 Grades auch einige die sich problemlos exakt lösen lassen,
nur das deinige Beispiel eben nicht so OHNE weiteres.

Generell lassen sich noch ALLE Gl. 3 u. 4 Grades exakt lösen,
nur sind diese Lösung mitunter sehr komplex und völlig unhandlich.

In berechtigten Ausnahmefällen kann man sich damit befassen,
aber im allgemeinen ist das eher unsinnig.

.

14.09.2004, 12:16

Romeo

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Bei $\begin{eqnarray*} x^{3}-x+3 \end{eqnarray*}$ kann man doch das x ausklammern, also daraus $\begin{eqnarray*} x(x^{2}-1)+3 \end{eqnarray*}$ machen. Dann haben wir eine Nullstelle bei x=-3 und zwei weitere Nullstellen bei -1 und 1. Oder geht das nicht?

14.09.2004, 12:32

Poff

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... könntest du DEINE Nullstellen an einer Proberechnung
mal überprüfen ... Augenzwinkern

14.09.2004, 12:49

Gustav

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Romeos Nullstellen sind falsch.

Mit Hilfe der Formel von Cardano ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} x_1 = \sqrt[3]{-\frac{3}{2}+\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(-\frac{1}{3})^3}} + \sqrt[3]{-\frac{3}{2}-\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(-\frac{1}{3})^3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 =\frac{1}{2}(-1+i\sqrt{3})\sqrt[3]{-\frac{3}{2}+\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(-\frac{1}{3})^3}} + \frac{1}{2}(-1-i\sqrt{3})\sqrt[3]{-\frac{3}{2}-\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(-\frac{1}{3})^3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 =\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{3})\sqrt[3]{-\frac{3}{2}+\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(-\frac{1}{3})^3}} + \frac{1}{2}(-1+i\sqrt{3})\sqrt[3]{-\frac{3}{2}-\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(-\frac{1}{3})^3}} \end{eqnarray*}$

Gruß, Gustav

14.09.2004, 13:19

Poff

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kompliziert und noch falsch dazu ... Augenzwinkern

14.09.2004, 14:29

Gustav

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Zitat:

Original von Poff
kompliziert und noch falsch dazu ... Augenzwinkern

Ist es tatsächlich falsch? Wie muss es denn richtig heißen?

14.09.2004, 15:20

Poff

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... hast du's jetzt mal (exakt) nachgerechnet . Augenzwinkern

14.09.2004, 15:54

therisen

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Es müsste folgendes rauskommen:
$\begin{eqnarray*} x_1=-1/6\,\sqrt [3]{324+12\,\sqrt {717}}-2\,{\frac {1}{\sqrt [3]{324+12\,\sqrt{717}}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=1/12\,\sqrt [3]{324+12\,\sqrt {717}}+{\frac {1}{\sqrt [3]{324+12\,\sqrt {717}}}}+1/2\,i\sqrt {3} \left( -1/6\,\sqrt [3]{324+12\,\sqrt {717}}+2\,{\frac {1}{\sqrt [3]{324+12\,\sqrt {717}}}} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=1/12\,\sqrt [3]{324+12\,\sqrt {717}}+{\frac {1}{\sqrt [3]{324+12\,\sqrt {717}}}}-1/2\,i\sqrt {3} \left( -1/6\,\sqrt [3]{324+12\,\sqrt {717}}+2\,{\frac {1}{\sqrt [3]{324+12\,\sqrt {717}}}} \right) \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

14.09.2004, 16:07

Poff

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... so entstehen 'Verwirrungen' . Augenzwinkern

14.09.2004, 21:10

Gustav

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Vielleicht könnt ihr mir ja sagen, wo mein Fehler steckt.

Wir haben eine Gleichung 3. Grades in reduzierter Form:
$\begin{eqnarray*} x^3+3px+2q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p=-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Nach http://www.mathematik.ch/anwendungenmath...rmelCardano.php hat diese Gleichung die von mir genannten Lösungen, oder?

14.09.2004, 21:36

Poff

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... du hast 'kein Fehler' drin, das Prob liegt in der verschiedenen
Deutungs- und in Folge auch 'Rechenvarianten' von 3. Wurzeln mit
negativem Radikanden ...

Bei deiner Darstellung ist (-1)^(1/3) = -1 anzusetzen und
dementsprechend zu rechnen ...

im anderen Fall ist (-1)^(1/3) = cos(60°) + i * sin(60°)

so enstehen dann die Differenzen in der Darstellung . Augenzwinkern

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