[WS] Integralrechnung

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25.10.2003, 21:25	jama	Auf diesen Beitrag antworten »
[WS] Integralrechnung 1.1. Einführung 1.2. Näherungsweise Berechnung der Flächeninhalte 1.3. Bestimmung von Flächeninhalten 1.4. Ober- / Untergrenzen 1.5. Integralabkürzung 2. Stammfunktion 3. Fläche zwischen 2 Kurven 4. Integralregeln 5. Volumen von Rotationskörpern 6. ln und e-funktionen 7. Zusammengesetzte Logarithmusfunktionen (Beispiel habe ich...) 8. Trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan ... etc.) 9. Integrationsverfahren 10.1 Anmerkung (Partielle Integration) 10.2 Anmerkung (Partialbruchzerlegung) 10.2. Abituraufgaben 10.3. Formeln und Definitionen zusammengefasst 11. Online-Probe machen 12. Integration einer Wurzelfunktion Danke an alpha für die Mithilfe.
18.11.2003, 16:16	jama	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Einführung Integralrechnung 1.1. Einführung Um in die Integralrechnung einzuführen, hier erst einmal ein Beispiel: Ein Fahrtenmesser registriert die Geschwindigkeit eines Autos auf einer Strecke. Nun möchte der Fahrer aber anhand dieses Graphen bestimmen, wie lang die Strecke war. Um das herauszubekommen muss man den Flächeninhalt unter der Kurve abschätzen. Doch wie? Man kann die Funktion in bekannte Flächen unterteilen, wie z.B. Rechteck oder Dreieck. Wenn man z. B. eine Funktion über die Punkte $\begin{eqnarray} (3\|0) , \, (4\|6), \, (6\|6), \ \text{und} \ (7\|0) \end{eqnarray}$ hat, können wir ganz einfach den Flächeninhalt errechnen: Das erste Dreieck: $\begin{eqnarray} \frac{1 \cdot 6}{2} = 3 \end{eqnarray}$ Das nächste Rechteck: $\begin{eqnarray} 2 \cdot 6 \end{eqnarray}$ Das letzte Dreieck: $\begin{eqnarray} \frac{1 \cdot 6}{2} = 3 \end{eqnarray}$ Also haben wir den Gesamtflächeninhalt von $\begin{eqnarray} 3 + 3 + 12 = 18 \end{eqnarray}$ 1.2. Näherungsweise Berechnung der Flächeninhalte Die bisher gezeigte Methode hat jedoch auch Schwachpunkte: Wenn wir z. B. den Flächeninhalt für die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = - 0{,}25 x^2 + 4 \end{eqnarray}$ im Intervall [0;3] bestimmen wollen, gehen wir folgendermassen vor: Als erstes teilen wir den Flächeninhalt in 6 Teile auf: http://de.web-z.net/~mathe/help/analysis/integralrechnung/7.jpg Nun berechnet man, jeweils den Funktionswert zu 0; 0,5; 1; 1,5 0,5 mal. Um die Breite zu bekommen teilt man 3 durch die Anzahl 6. Bei unserem Beispiel haben wir näherungsweise den Flächeninhalt. $\begin{eqnarray} s_6 = \frac{1}{2} \cdot [ f(0) + f(0{,}5) + f(1) + f(1{,}5) + f(2) + f(2{,}5) + f(3) ]\\ = \frac{1}{2} \cdot [ 4 + 3{,}9375 + 3{,}75 + 3{,}4375 + 3 + 2{,}4375 = 10{,}28125 \end{eqnarray}$ Allgemein lässt sich sagen: Gegeben ist die stetige Funktion $\begin{eqnarray} f \ \text{mit} \ f(x) \geq 0 \ \text{für} \ x \in [a; b] \end{eqnarray}$ . Zur näherungsweisen Berechnung des Inhaltes A der Fläche zwischen dem Graphen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und der x-Achse über dem Intervall [a; b] kann man so vorgehen: 1. Man wählt eine feste Zahl n und unterteilt das Intervall [a; b] in n Teilintervalle der Breite $\begin{eqnarray} h = \frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ . 2. Aus jedem Teilintervall wählt man eine Stelle $\begin{eqnarray} x_i,~i = 1, \, 2, \, ... , \, n \end{eqnarray}$ und berechnet den zugehörigen Funktionswert $\begin{eqnarray} f(x_i) \end{eqnarray}$ 3. Man berechnet als Näherungswert für den Flächeninhalt die Zerlegungssumme $\begin{eqnarray} s_n = h \cdot f(x_1) + h \cdot f(x_2) + ... + h \cdot f(x_n) = h \cdot [ f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_n) ] \end{eqnarray}$ 1.3. Bestimmung von Flächeninhalten Wenn man nun die Anzahl der Rechtecke vergrössert, wird dabei im Allgemeinen die Abweichung zum gesuchten Flächeninhalt kleiner. Man muss also das Intervall [a; b] in immer kleinere Rechtecke zerteilen und somit den Flächeninhalt $\begin{eqnarray} A_n \ \text{auf den Grenzwert} \ \lim_{n \to \infty} n \end{eqnarray}$ bringen. In unserem Beispiel versuchen wir den Flächeninhalt unter der Parabel $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 \end{eqnarray}$ im Intervall [0; 2] zu bestimmen: http://de.web-z.net/~mathe/help/analysis/integralrechnung/17.jpg Als erstes definieren wir, dass das Intervall [0; 2] in Rechtecke der Breite $\begin{eqnarray} \frac{2}{n} \end{eqnarray}$ geteilt wird. Dann gilt für $\begin{eqnarray} O_n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} O_n = \frac{2}{n} \cdot \left[ \left( \frac{2}{n} \right)^2 + \left( 2 \cdot \frac{2}{n} \right)^2 + ... + \left( n \cdot \frac{2}{n} \right)^2 \right] = \frac{2^3}{n^3} \cdot [ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 ] \end{eqnarray}$ Durch $\begin{eqnarray} 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n}{6} \cdot (n + 1) (2n+ 1) \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} O_n = \frac{8}{n^3} \cdot \frac{1}{6} \cdot n (n+1)(2n+1) = \frac{4}{3} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n+1}{n} = \frac{4}{3} \cdot \left(1+\frac{1}{n} \right) \cdot \left( 2 + \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray}$ Somit ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} O_n = \frac{8}{3} \end{eqnarray}$ . Und der gesuchte Flächeninhalt $\begin{eqnarray} A = \frac{8}{3} \end{eqnarray}$ . Allgemein lässt sich wieder sagen: Gegeben ist die stetige Funktion $\begin{eqnarray} f \ \text{mit} \ f(x) \geq 0 \ \text{für} \ x \in [a; b] \end{eqnarray}$ . Zur Ermittlung des Inhaltes A der Fläche zwischen dem Graphen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und der x-Achse über dem Intervall [a; b] geht man so vor: 1. Man unterteilt das Intervall [a; b] in n Teilintervalle der Breite $\begin{eqnarray} h = \frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ : 2. Aus jedem Teilintervall wählt man eine Stelle $\begin{eqnarray} x_i \ \text{für} \ i = 1, \, 2, \, ... , \, n \end{eqnarray}$ und berechnet den zugehörigen Funktionswert $\begin{eqnarray} f(x_i) \end{eqnarray}$ .<br> 3. Man berechnet die Zerlegungssumme $\begin{eqnarray} S_n = h \cdot f(x_1) + h \cdot f(x_2) + ... + h \cdot f(x_n) \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von n. 4. Man ermittelt den Grenzwert der Zerlegungssumme $\begin{eqnarray} S_n \ \text{für} \ n \to \infty \end{eqnarray}$ .
28.05.2006, 08:09	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
1.4 Ober- und Untergenzen Wie im letzten Kapitel gesehen gibt es die Möglichkeit den exakten Wert der Fläche anzunähern und zwar mit einer Untersumme und einer Obersumme. Es gilt: $\begin{eqnarray} S_n=\sum_{i=1}^n~ f(x_i)\cdot (x_i-x_{i-1}) \end{eqnarray}$ Bemerkung: Entscheidend ist nun der Funktionswert $\begin{eqnarray} f(x_i) \end{eqnarray}$ in der Summe. Wenn wir die Fläche mit einer Untersumme annähern wollen, dann wählen wir den kleinsten Funktionswert in jedem Teilintervall aus und bilden daraus das Rechteck. Für die Obersumme wählen wir dementsprechend den größten Funktionswert aus. Was wir durch die Methode erreicht haben ist eine Abschätzung für die exakte Fläche. Denn nach Bildung der Untersumme bedecken wir weniger Fläche und beim Bilden der Obersumme etwas mehr Fläche. Sei also $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ die Unter- und $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ die Obersumme. Desweiteren sei $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ der exakte Wert der Fläche. Wenn wir die obigen Sätze mathematisch zusammenfassen, haben wir also: $\begin{eqnarray} U\leq F\leq O \end{eqnarray}$ Bei wahl eines bestimmten n in der obigen Summe, kann man das auch nochmals durchrechnen. 1.5 Integralabkürzung Nun wissen wir aber auch (Kapitel 1.3), dass man durch Grenzwertbildung zu der exakten Fläche kommen kann. Denn die Beobachtung liefert uns folgendes: Wenn wir mehrere (sehr viele) Rechtecke in die gesuchte Fläche einlegen und mit der obigen Formel erneut Untersumme und Obersumme berechnen, dann sehen wir, dass die Näherung besser wird. Und da sind wir auch schon bei dem wichtigen Punkt angelangt: Wenn wir unendlich viele Rechtecke einlegen, dann strebt der Flächeninhalt dieser Rechtecke gegen den exakten Wert der Fläche und zwar sowohl für die Untersumme, als auch für die Obersumme. Mathematisch ausgedrückt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}U_n=\lim_{n \to \infty}O_n \end{eqnarray}$ An dieser Stelle eine sehr wichtige Bemerkung: Für diese Gleichheit wird vor allem vorausgesetzt, dass die Funktion stetig sein muss. Nun formulieren wir eine exakte Definition für unsere Beobachtungen: Definition: Die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sei auf dem Intervall $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ definiert und $\begin{eqnarray} a,b\in I \end{eqnarray}$ . Für jedes $\begin{eqnarray} n\in I \end{eqnarray}$ seien $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} O_n \end{eqnarray}$ Unter-/Obersummen. Dann heißt der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}U_n=\lim_{n \to \infty}O_n \end{eqnarray}$ das Integral der Funktion f zwischen den Grenzen a und b. Man schreibt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}U_n=\lim_{n \to \infty}O_n=\int_{a}^{b}~f(x)~dx \end{eqnarray}$ lies: Integral von f(x) dx von a bis b An dieser Stelle noch eine Bemerkung: Nach einiger Zeit vergessen viele wofür das Integral steht (die Anwendung steht dabei mehr im Vordergrund). Das Integral steht für einen Grenzwert 2 Stammfunktionen Nun ist es so, dass die Bestimmung von Flächeninhalten mithilfe von Unter-/Obersummen ziemlich mühsam ist und viel Rechenarbeit erfordert. Es gibt tatsächlich eine Methode, die es uns gestattet Flächeinhalte auf bequeme Weise zu berechnen. Daher werden wir den Begriff der Stammfunktion einführen. Bevor es mit Beispielen und allgemeinen Regeln über Stammfunktionen geht, hier erstmal die Definition: Definition: Gegeben sei eine auf dem Intervall $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ definierte Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Eine Funktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ heißt Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ , wenn für alle $\begin{eqnarray} x\in I \end{eqnarray}$ folgendes gilt: $\begin{eqnarray} F'(x)=f(x) \end{eqnarray}$ Wir machen zu dieser Definition einige Beispiele: $\begin{eqnarray} f(x)=x^2\Rightarrow F(x)=\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=1\Rightarrow F(x)=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=0\Rightarrow F(x)=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=\cos(x)\Rightarrow F(x)=\sin(x) \end{eqnarray}$ Wenn wir nun unsere Definition anwenden und $\begin{eqnarray} F'(x) \end{eqnarray}$ bilden, dann sehen wir, dass $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ in der Tat eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ist. Und nun Vorsicht: $\begin{eqnarray} f(x)=1\Rightarrow F(x)=x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=1\Rightarrow F(x)=x+50000558 \end{eqnarray}$ Wir beobachten nun, dass $\begin{eqnarray} F'(x) \end{eqnarray}$ abgeleitet wieder $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ist (völlig unabhängig welche konkreten Zahlen noch dabei stehen).Das heißt doch: Wenn nach einer Stammfunktion gefragt ist, dann kann nicht die Rede von der einen Stammfunktion sein, denn wie wir gerade gesehen haben gibt es unendlich viele. Man kann also schreiben $\begin{eqnarray} f(x)=(F(x)+C)' \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} C\in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Die Stammfunktion gibt es nur dann, wenn die Aufgabe es erfordert. Hierzu ein Beispiel: Aufgabe: Gegeben ist $\begin{eqnarray} f(x)=4x \end{eqnarray}$ . Geben sie die Stammfunktion an, die an der Stelle 1 den Funktiosnwert 4 annimmt. Lösung: Wir bestimmen zunächst eine Stammfunktion. Diese lautet doch $\begin{eqnarray} F(x)=2x^2+C \end{eqnarray}$ . Aber diese Stammfunktion soll doch eine bestimmte Eigenschaft erfüllen, nämlich an der Stelle x=1 den Funktionswert f(x)=4 besitzen. Wir setzen also ein: $\begin{eqnarray} F(1)=2\cdot 1^2+c=4 \end{eqnarray}$ Daraus folgt, dass die gesuchte Stammfunktion folgendermaßen aussieht: $\begin{eqnarray} F(x)=2x^2+2 \end{eqnarray}$ Nun ein paar allgemeine Regeln zur Bildung von Stammfunktionen: $\begin{eqnarray} f(x)=x^z \Rightarrow F(x)=\frac{1}{z+1}x^{z+1} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} z\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ Sind $\begin{eqnarray} U,V \end{eqnarray}$ Stammfunktionen von $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow F(x)=U(x)+V(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=c \cdot u(x) \Rightarrow F(x)=c \cdot U(x) \end{eqnarray}$ An dieser Stelle sei erwähnt, dass man nicht zur jeden Funktion eine geschlossene Stammfunktion ermitteln kann. Näheres zu diesem Problem wird später bei den Integrationsverfahren erwähnt.
22.07.2006, 15:13	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir kommen nun zu einem Satz, der mit der wichtigste Satz in der gesamten Mathematik ist und die Berechnung von Flächeninhalten auf bequeme Weise zulässt. Satz: Ist $\begin{eqnarray} f:[a;b]->\mathbb R \end{eqnarray}$ stetig und ist $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ (siehe oben), so gilt: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~f(x)~dx=F(b)-F(a) \end{eqnarray}$ Da in diesem Workshop die Anwendung im Vordergrund stehen soll und man den Beweis dieses Satzes überall findet (auch hier im Board), lassen wir den Beweis aus, machen aber ein paar wichtige Bemerkungen zu diesem Satz. Bemerkung: 1) Man beachte unbedingt die Bedingungen, die in diesem Satz gefordert werden. Zum einen ist dies die Stetigkeit von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und zum anderen die Existenz einer Stammfunktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ 2) Dieser Satz erlaubt es Flächeninhalte ohne Bildung von Grenzwerten zu berechnen. Die Differenz von zwei Funktionswerten einer Stammfunktion gibt schon den gesuchten Flächeninhalt Motiviert von der zweiten Bemerkung greifen wir das Beispiel von Kapitel 1.3 wieder auf. Wir berechnen also den Flächeninhalt unter der Parabel $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} [0;2] \end{eqnarray}$ . Dazu benutzen wir den obigen Satz mit der Feststellung, dass $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2}~x^2~dx=[\frac{1}{3}x^3]_{0}^{2}=[ \frac{8}{3}-0]= \frac{8}{3} \end{eqnarray}$ Der Flächeninhalt beträgt also $\begin{eqnarray} \frac{8}{3} FE \end{eqnarray}$ . Was in Kapitel 1.3 noch mit sehr aufwendigen Summationen und Grenzprozessen erreicht wurde, ist hier viel bequemer zustande gekommen, dank dem obigen Satz. Nun ist es gar kein Problem weitere ähnliche Aufgaben zu lösen. Die Ermittlung von Stammfunktionen kann man dabei mit den Regeln (siehe oben) angehen. Was ist eigentlich, wenn man Flächen berechnen will, die unterhalb der x-Achse liegen, wie es z.B. bei der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=-x^2 \end{eqnarray}$ der Fall ist? Das ist eine Frage, wo man Unterscheidungen machen muss. Denn gerenell gilt, dass Flächen unterhalb der x-Achse negativ gezählt werden. Wenn man also nur eine Maßzahl für das Integral haben will, dann geht man genau so vor, wie im obigen Beispiel und erhält eine negative Maßzahl. Wenn man aber am Flächeninhalt interessiert ist und dieser nicht negativ sein kann, dann kann man das Problem umgehen, indem man den Betrag des Integrals nimmt. 3 Fläche zwischen zwei Kurven Eine weitere interessante Anwendung besteht darin, Flächen zwischen zwei Kurven zu berechnen. Wir beginnen wieder erstmal mit der Theorie und machen anschließend ein ausführliches Beispiel, worauf sich alles andere dann leicht aufbauen lässt. Wie sieht so eine Fläche also aus, die wir berechnen wollen? Folgendes Bild wird uns dabei aufklären. die rote Funktion lautet: $\begin{eqnarray} f(x)=x^3-6x^2+9x \end{eqnarray}$ die grüne Funktion lautet: $\begin{eqnarray} g(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x \end{eqnarray}$ Nun ist auch klar,was mit der "Fläche zwischen zwei Kurven" gemeint ist. In diesem Bild gibt es zwei Flächen, die zwischen den zwei Kurven liegen. Zum einem im Intervall $\begin{eqnarray} [0;2] \end{eqnarray}$ und zum anderen im Intervall $\begin{eqnarray} [2;3,5] \end{eqnarray}$ . Wichtig sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen, denn die bestimmen die Integrationsgrenzen und zeigen, um welche Flächen es genau geht. Wenn man also eine Fläche zwischen zwei Kurven bestimmen will, dann muss man zuerst sämtliche Schnittpunkte der beden Funktionen berechnen, damit man die Integrationsgrenzen bekommt. Die Formel für die Berechnung einer Fläche zwischen zwei Kurven lautet: $\begin{eqnarray} A=\int_{a}^{b}~c(x)-d(x)~dx \end{eqnarray}$ Wichtige Bemerkungen: 1) Wie man sieht besteht der Integrand aus einer Differenz, nämlich $\begin{eqnarray} c(x)-d(x) \end{eqnarray}$ . Für die Berechnung zieht man immer die untere Funktion von der oberen ab. Nun schauen wir nochmal auf das obige Bild. Im Intervall $\begin{eqnarray} [0;2] \end{eqnarray}$ ist die rote Funktion größer als die grüne, also f>g, das heißt der Integrand lautet f(x)-g(x) (In diesem Fall ist c(x)=f(x) und d(x)=g(x). Im Intervall $\begin{eqnarray} [2;3,5] \end{eqnarray}$ ist die grüne Funktion größer als die rote, also g>f und der Integrand lautet g(x)-f(x) (in diesem Fall ist c(x)=g(x) und d(x)=f(x). Wir berechnen nun explizit das obige Beispiel. Die gesuchte Fläche lautet: $\begin{eqnarray} A=\int_{0}^{2}~f(x)-g(x)~dx+ \int_{2}^{3,5}~g(x)-f(x)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int_{0}^{2}~x^3-\frac{11}{2}x^2+7x~dx + \int_{2}^{3,5}~-x^3+\frac{11}{2}x^2-7x~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =[\frac{1}{4}x^4-\frac{11}{6}x^3+\frac{7}{2}x^2]_{0}^{2} + [-\frac{1}{4}x^4+\frac{11}{6}x^3-\frac{7}{2}x^2]_{2}^{3,5}=4,88FE \end{eqnarray}$ Also beträgt die Fläche zwischen den Kurven im obigen Bild 4,88FE. Zum Abschluss nochmal das Schema für die Berechnung: 1. Schritt: Berechne sämtliche Schnittpunkte beider Funktionen 2. Schritt: Ermittle, welche Funktion in welchem Intervall größer ist 3. Schritt: Stelle das Integral/die Integrale auf mit den Schnittpunkten als Integrationsgrenzen 4. Schritt: Löse das Integral/die Integrale
22.07.2006, 21:27	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
4. Integralregeln Hier sind einige wichtige Eigenschaften von Integralen: 1. $\begin{eqnarray} \int\limits_{b}^{a}~f(x)~dx =-\int\limits_{a}^{b}~f(x)~dx \end{eqnarray}$ Vertauschen der Grenzen vertauscht das Vorzeichen des Integrals, was man aus der Anschauung gut einsehen kann. 2. $\begin{eqnarray} \int\limits_{b}^{a}~f(x)~dx = \int\limits_{b}^{c}~f(x)~dx +\int\limits_{c}^{a}~f(x)~dx \end{eqnarray}$ Dazu ist zu sagen, dass $\begin{eqnarray} c\in [b;a] \end{eqnarray}$ nicht unbedingt gelten muss! 3. $\begin{eqnarray} \int\limits_{a}^{a}~f(x)~dx = 0 \end{eqnarray}$ Sozusagen die Fläche an einer einzelnen Stelle. Geometrisch sieht man das auch recht fix ein.... 4. $\begin{eqnarray} \int\limits_{b}^{a}~k\cdot f(x)~dx = k\cdot \int\limits_{b}^{a}~f(x)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k\neq 0 \end{eqnarray}$ Einen konstanten Faktor kann man stets vor das Integral ziehen und auch hineinschreiben, was das Integrieren manchmal ziemlich erleichtert. Beispiel 1: Es gilt die Regel: $\begin{eqnarray} \int~\frac{f'(x)}{f(x)}~dx = \ln\left(\mid f(x)\mid\right)+c \end{eqnarray}$ (Beweis durch Ableiten der rechten Seite) Man soll $\begin{eqnarray} \int~\frac{-2x-\cos(x)+e^x}{x^2+\sin(x)-e^x}~dx \end{eqnarray}$ berechnen. Wie man sieht steht im Zähler die Ableitung des Nenners bis jeweils auf das falsche Vorzeichen. Also multipliziere ich die (-1) hinein: $\begin{eqnarray} \int~\frac{-2x-\cos(x)+e^x}{x^2+\sin(x)-e^x}~dx = (-1)\cdot \int~\frac{+2x+\cos(x)-e^x}{x^2+\sin(x)-e^x}~dx=-\ln\left(\mid x^2+\sin(x)-e^x\mid\right)+c \end{eqnarray}$ Beispiel 2: $\begin{eqnarray} \int~\tan(x)~dx= \int~\frac{\sin(x)}{\cos(x)})~dx= -\int~\frac{-\sin(x)}{\cos(x)})~dx = -\ln\left(\mid \cos(x)\mid\right)+c \end{eqnarray}$ 5. Es gilt für zwei stetige Funktionen $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ auf einem gemeinsamen Intervall $\begin{eqnarray} [a;b] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) >g(x) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \int\limits_{a}^{b}~f(x)~dx > \int\limits_{a}^{b}~g(x)~dx \end{eqnarray}$ Entsprechendes gilt natürlich auch für die Fälle " $\begin{eqnarray} < \end{eqnarray}$ "; " $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ " und " $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ ".
22.07.2006, 21:48	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
5. Rotationskörper Ein Rotationskörper ist ein Objekt welches entsteht, wenn man den Graphen einer Funktion um eine Achse, meistens die x-Achse, rotieren lässt. Der Rotationskörper von $\begin{eqnarray} f(x)=1 \end{eqnarray}$ um die x-Achse ist ein "Rohr" mit dem Durchmesser 2. Der Rotationskörper von $\begin{eqnarray} f(x)=x \end{eqnarray}$ um die x-Achse ist ein Kegel. Die Idee die hinter der Volumenformel für die Rotationskörper steht ist die gleiche wie bei der Herleitung des Integrals über die Riemannsummen. Der Rotationskörper wird in kleine Scheibchen zerschnitten und dann wird das einzelne Volumen dieser Scheibchen aufsummiert (Hier sind noch ein paar Bildchen). Die Scheibchenbreite ist bei einem Rotationskörper, der in n Scheibchen zerlegt wurde im Intervall $\begin{eqnarray} [a;b] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Delta x=\frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ Der Radius der Scheibchen liefert der Funktionswert. Die Fläche eines Kreises ist bekanntlich $\begin{eqnarray} A=\pi\cdot r^2 \end{eqnarray}$ . Unser Radius ist der Funktionswert, also ergibt sich: $\begin{eqnarray} A=\pi\cdot f^2(x) \end{eqnarray}$ . Das Volumen eines Scheibchens ist also die Grundfläche des Scheibchens multipliziert mit der Höhe des Scheibchens, also: $\begin{eqnarray} V=\Delta x\cdot\pi\cdot f^2(x) \end{eqnarray}$ Lässt man nun die Unterteilung in Scheibchen immer feiner werden, also $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ ergibt sich wieder: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} V_n= \lim_{n \to \infty} \left[\Delta x\cdot\pi\cdot f^2(x)\right]= \pi\cdot\lim_{n \to \infty}\left[f^2(x)\cdot\Delta x\right]=\pi\cdot\int\limits_{a}^{b}~f^2(x)~dx \end{eqnarray}$ Voilà, da steht diese Formel Beispiele: 1. Das Volumen des angesprochenen Rohres für ein 5m langes Rohr mit einem Durchmesser von 50cm: $\begin{eqnarray} f(x):=0,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V=\pi\cdot\int\limits_{0}^{5}~(0,5)^2~dx=\pi\cdot\int\limits_{0}^{5}~0,25~dx=\pi\cdot\left[ 0,25x \right]_{0}^{5}=\frac{5\pi}{4} \end{eqnarray}$ 2. Sehr beliebt ist auch die Herleitung der Kugelformel. Die Gleichung für einen Halbkreis um $\begin{eqnarray} O(0;0) \end{eqnarray}$ mit Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} f(x):=\sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray}$ (Pythagorassatz) Die Kugel ergibt sich durch Rotation von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ um die x-Achse. $\begin{eqnarray} V=\pi\int\limits_{-r}^{r}~f^2(x)~dx = 2\pi\cdot \int\limits_{0}^{r}~f^2(x)~dx \end{eqnarray}$ (Aus Gründen der Achsensymmetrie) $\begin{eqnarray} V=2\pi\cdot \int\limits_{0}^{r}~\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2~dx=2\pi\cdot \int\limits_{0}^{r}~r^2-x^2~dx=2\pi\cdot\left[r^2 x-\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{r} \end{eqnarray}$ Das ausrechnen liefert die Volumenformel für eine Kugel: $\begin{eqnarray} V=2\pi\left[ r^3-\frac{1}{3}r^3\right]=\frac{4}{3}\pi r^3 \end{eqnarray}$
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24.07.2006, 11:29	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
6 ln und e-funktionen Wie man aus der Differenzialrechnung weiß, gilt folgendes: $\begin{eqnarray} ln(x)'=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Damit können wir auch sofort eine Stammfunktion zu der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ angeben. Diese lautet dann $\begin{eqnarray} F(x)=ln\|x\|+C \end{eqnarray}$ Aus den obigen Integralregeln folgt wegen der Linearität des Integrals auch folgendes: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{kx}~dx=\frac{1}{k} \int_{}^{}~\frac{1}{x}~dx= \frac{lnx}{k} \end{eqnarray}$ und analog: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{k}{x}~dx=k \int_{}^{}~\frac{1}{x}~dx= k\cdot lnx \end{eqnarray}$ Eine Stammfunktion zu der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=lnx \end{eqnarray}$ kann man nach dem bisherigen Stand noch nicht angeben. Dies wird allerdings in Kapitel 9 mit den Integrationsverfahren explizit hergeleitet. Noch eine abschließende Bemerkung: Die Berechnung von $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~\frac{1}{x}~dx \end{eqnarray}$ ist nur dann möglich, wenn die Grenzen a und b dasselbe Vorzeichen haben. der Leser mache sich klar, warum das so ist und halte sich besonders den Graphen dieser Funktion vor Augen. Kommen wir zu der Exponentialfunktion. Auch hier weiß man aus der Differenzialrechnung, das folgendes gilt $\begin{eqnarray} (e^x)'=e^x \end{eqnarray}$ . Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} F(x)=e^x+C \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f(x)=e^x \end{eqnarray}$ ist. Aus den Integralregeln folgt: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~ke^x ~dx=k\int_{}^{}~e^x~dx=ke^x \end{eqnarray}$ Mit Hilfe der Kettenregel sieht man auch sofort folgende nützliche Regel: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~e^{kx+b}~dx= \frac{1}{k}e^{kx+b} \end{eqnarray}$ Der bisherige Stand erlaubt uns noch keine Aussage über Stammfunktionen, wenn der Exponent nicht mehr linear, sondern quadratisch (oder noch höher) ist. Dieser Fall wird in Kapitel 9 ausführlich erläutert. Dennoch kann man mit den Regeln in diesem Kapitel Lösungen zu reichlichen Beispielen finden.
24.07.2006, 21:56	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
7. Zusammengesetzte Logarithmusfunktionen
25.07.2006, 09:01	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
8. Trigonometrische Funktionen Die wichtigsten trigonometrischen Funktionen sind der Sinus, Kosinus und Tangens. Ihre Ableitungen sind: $\begin{eqnarray} \left[\sin(x)\right]'=\cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[\cos(x)\right]'=-\sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[\tan(x)\right]'=\frac{1}{\cos^2(x)}=\tan^2(x)+1 \end{eqnarray}$ Diese Funktionen sind überall differenzierbar. Ihre Stammfunktionen sind demnach: $\begin{eqnarray} \int~\sin(x)~dx=-\cos(x)+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int~\cos(x)~dx=\sin(x)+c \end{eqnarray}$ Was die Tangensfunktion angeht haben wir schon eine Funktion gefunden, welche den Tangens als Stammfunktion hat: $\begin{eqnarray} f(x):=\frac{1}{\cos^2(x)}=\tan^2(x)+1 \Longrightarrow F(x)=\tan(x)+c \end{eqnarray}$ Soll ein Flächeninhalt unter einer trigonometrischen Funktion bestimmt werden, muss man aufpassen was die Vorzeichen anbelangt.Für die Sinusfunktion sieht das so aus: Sie hat Nullstellen z.B. bei $\begin{eqnarray} x_1=0 \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} x_2=\pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_3=2\pi \end{eqnarray}$ . Daher ist für die Bestimmung des Flächeninhaltes über $\begin{eqnarray} [0;2\pi] \end{eqnarray}$ folgendes auch falsch: $\begin{eqnarray} \int\limits_{0}^{2\pi}~\sin(x)~dx=\left[-\cos(x)\right]_{0}^{2\pi}=-\cos(2\pi)-(-\cos(0))=-1+1=0 \end{eqnarray}$ Man sieht dass der Flächeninhalt nicht Null ist, lediglich der Wert des Integrals über $\begin{eqnarray} [0;2\pi] \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \sin(x) \end{eqnarray}$ ist Null. Richtig hier ist: $\begin{eqnarray} A=\mid\int\limits_{0}^{\pi}~\sin(x)~dx\mid+\mid\int\limits_{\pi}^{2\pi}~\sin(x)~dx\mid=\mid\left[-\cos(x)\right]_{0}^{\pi}\mid+\mid\left[-\cos(x)\right]_{\pi}^{2\pi}\mid \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\mid -1-1\mid+\mid -1-1\mid=2+2=4 \end{eqnarray}$ Sehr häufig auch hier im Forum anzutreffen sind solche Integrale wie: $\begin{eqnarray} \int~\sin^2(x)~dx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int~\cos^2(x)~dx \end{eqnarray}$ Diese lassen sich recht gut mit der partiellen Integration lösen, welche in Kapitel 9 beschrieben wird. Ein weiterer Weg ist der über Additionstheoreme. Um das erste Integral zu lösen, nehme ich das folgende Theorem: $\begin{eqnarray} \cos(2\alpha)=1-2\cdot\sin^2(\alpha) \end{eqnarray}$ (Zeigen lässt sich das zb. mithilfe der Formel von Moivre) Bischen umformen: $\begin{eqnarray} \sin^2(\alpha)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\cos(2\alpha) \end{eqnarray}$ Jetzt den Integranden neu schreiben und integrieren: $\begin{eqnarray} \int~\sin^2(x)~dx=\int~\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\cos(2x)~dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)+c \end{eqnarray}$ (Um $\begin{eqnarray} \cos(2x) \end{eqnarray}$ zu integrieren habe ich die gleiche Regel verwendet, wie schon bei der Exponentialfunktion ganz am Ende angesprochen wurde!) Wer lustig ist kann das wieder etwas umschreiben mithilfe von $\begin{eqnarray} \sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \int~\sin^2(x)~dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin(2x)+c=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin(x)\cdot\cos(x)+c \end{eqnarray}$ Das zweite Integral $\begin{eqnarray} \int~\cos^2(x)~dx \end{eqnarray}$ kann man z.B. mit $\begin{eqnarray} \cos(2\alpha)=2\cdot\cos^2(\alpha)-1 \end{eqnarray}$ lösen Mithilfe der Ableitung der Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen lassen sich ziemlich nützliche Grundintegrale herleiten. Sei $\begin{eqnarray} f(x):=\sin(x)\qquad \mathbb{D}_f=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray}$ Die Sinusfunktion ist auf diesem Intervall streng monoton steigend mit dem Wertebereich $\begin{eqnarray} \mathbb{W}_f=[-1;1] \end{eqnarray}$ . Da sie streng monoton ist, ist sie umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion nennt man Arkussinus und schreibt: $\begin{eqnarray} \bar{f}(x)=\arcsin(x) \end{eqnarray}$ . Für die Ableitung ergibt sich: $\begin{eqnarray} \bar{f}(x):=\arcsin(x)=y \Rightarrow f(y)=\sin(y)=x \end{eqnarray}$ Außerdem ist: $\begin{eqnarray} f'(y)=\cos(y) \end{eqnarray}$ Satz (Ableitung mit der Umkehrfunktion): $\begin{eqnarray} h'(x)=\frac{1}{\overline{h}'(y)} \end{eqnarray}$ Damit gilt nach dem Satz für die Ableitung der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} \bar{f}'(x)=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{\cos(y)} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} x=\sin(y) \end{eqnarray}$ ist, kann man den trigonometrischen Pythagoras etwas abändern: $\begin{eqnarray} \sin^2(y)+\cos^2(y)=1\Leftrightarrow \cos(y)=\pm\sqrt{1-\sin^2(y)}=\pm\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ Die Wertemenge der Umkehrfunktion ist aber die Definitionsmenge der Funktion, welche hier $\begin{eqnarray} \mathbb{D}_f=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray}$ ist. Der Kosinus ist auf diesem Intervall immer größer oder gleich Null, weshalb die negative Lösung der Wurzel entfällt. Daher ist: $\begin{eqnarray} \cos(y)\geq 0 \Rightarrow \cos(y)=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ Setzt man diesen Ausdruck nun in den Ausdruck für $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ein, erhält man: $\begin{eqnarray} \bar{f}'(x)=\left[ \arcsin(x) \right]'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \Longrightarrow \int~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}~dx=\arcsin(x)+c \end{eqnarray}$ Für die anderen Grundintegrale kann man analoge Überlegungen anstellen und man erhält: $\begin{eqnarray} \int~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}~dx=\arcsin(x)+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int~-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}~dx=\arccos(x)+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int~\frac{1}{1+x^2}~dx=\arctan(x)+c \end{eqnarray}$
10.08.2006, 12:09	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
9 Integrationsverfahren So, in diesem Kapitel werden wir drei Verfahren angeben, die ein Auffinden von Stammfunktionen auf eine große Klasse von Funktionen ausbauen. Wir beginnen mit der Partiellen Integration gefolgt von der Substitutionsregel und abschließend einige Bemerkungen zu der Integration durch Partialbruchzerlegung. Partielle Integration Um mal etwas zu Motivation zu schaffen sei erwähnt, dass wir mit den bisherigen Kapiteln nicht in der Lage sind Stammfunktionen für folgende Funktionen zu finden: $\begin{eqnarray} f(x)=lnx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=xe^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=x^2sin(x) \end{eqnarray}$ Dies sind nur einige Beispiele. Es gibt natürlich noch zahlreiche Funktionen, für die wir ein neues Verfahren brauchen. Die obigen Funktionen zeigen uns, dass wir ein Produkt integrieren müssen. Wir machen dazu erstmal eine sehr wichtige Bemerkung. Folgendes sollte man immer im Kopf haben, wenn man Produkte integrieren will: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~f \cdot g~dx \neq \int_{}^{}~f~dx \cdot \int_{}^{}~g~dx \end{eqnarray}$ um Produkte integrieren zu können benötigen wir die sogenannte Partielle Integration. Wir greifen erstmal auf die Produktregel der Differentialrechnung zurück. Demnach gilt bei Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=u(x)v(x) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x) \end{eqnarray}$ Wenn wir jetzt auf bedein Seiten über ein Intervall $\begin{eqnarray} [a;b] \end{eqnarray}$ integrieren, folgt daraus: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~f'(x)~dx=\int_{a}^{b}~u'(x)\cdot v(x)~dx+ \int_{a}^{b}~u(x)\cdot v'(x)~dx \end{eqnarray}$ Wenn man die linke Seite integriert und beachtet, dass weiterhin $\begin{eqnarray} f(x)=u(x)v(x) \end{eqnarray}$ [/latex] gilt, dann steht da also: $\begin{eqnarray} [u(x)\cdot v(x)]_{a}^{b}=\int_{a}^{b}~u'(x)\cdot v(x)~dx+ \int_{a}^{b}~u(x)\cdot v'(x)~dx \end{eqnarray}$ In viele Fällen erhält man dadurch eine Vereinfachung von einem der beiden Integrale auf der rechten Seite. Lässt sich z.B. das erste Integral berechnen, dann können wir das andere Integral auch ermitteln, weil wir dann alles andere in der Gleichung kennen. Das ist auch schon die Regel der partiellen Integration. Sie wird aber sehr oft so umformuliert, dass eines der beiden Integrale auf die linke Seite gebracht wird, um zu zeigen, dass man bei geschickter Wahl wirklich nur noch ein Integral berechnen muss. Wir formulieren nun den Satz und machen dann zwei Beispiele mit ausführlichen Erläuterungen. Satz: Ist $\begin{eqnarray} f(x)=u(x)v(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in [a;b] \end{eqnarray}$ und haben die Funktionen $\begin{eqnarray} u(x),v(x) \end{eqnarray}$ stetige Ableitungen in $\begin{eqnarray} [a;b] \end{eqnarray}$ , so gilt: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~u(x)\cdot v'(x)~dx=[u(x)\cdot v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}~u'(x)\cdot v(x)~dx \end{eqnarray}$ Bemerkungen: 1) Man beachte erneut die Bedingungen, die in diesem Satz gefordert werden. Die Ableitungen der Funktionen u und v müssen stetig sein. 2) An dieser Formel erkennt man folgendes: Wenn man günstigerweise u(x)=x wählen kann und somit u'(x)=1 ist, dann hat man die Berechnung schon erheblich vereinfacht 3) Diese Formel kommt sehr oft vor in der Integralrechnung und in Klausuren (vor allem in Universitätsklausuren) sind die meisten Integrale so knifflig, dass man sehr oft diese Formel anwenden muss. Deshalb rate ich jedem diese Formel auswendig zu lernen, sodass sie nachts um 3 Uhr abrufbar ist. Jetzt machen wir zwei Beispiele. Wir beginnen mit der oben schon genannten Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=xe^x \end{eqnarray}$ Wir müssen also folgendes Integral lösen: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~xe^x~dx \end{eqnarray}$ Wir benutzen die zweite Bemerkung und setzen auf der linken Seite $\begin{eqnarray} u(x)=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v(x)=e^x \end{eqnarray}$ . Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} u'(x)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v(x)=e^x \end{eqnarray}$ ist. Wir setzen in unsere Formel ein: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~xe^x~dx=[xe^x]- \int_{}^{}~1\cdot e^x ~dx \end{eqnarray}$ und erhalten insgesamt: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~xe^x~dx=xe^x-e^x \end{eqnarray}$ Wenn wir die rechte Seite ableiten, dann bestätigt dies unser Ergebnis. Wir kommen nun zu einem weiteren Beispiel. Wie in Kapitel 6 bereits erwähnt konnten wir noch keine Stammfunktion der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=lnx \end{eqnarray}$ finden. Wir wählen nun $\begin{eqnarray} u(x)=lnx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v'(x)=1 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} u'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v(x)=x \end{eqnarray}$ ist. Man muss beachten, dass hier keine andere Wahl möglich ist. Einsetzen ergibt: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~lnx~dx=[lnx \cdot x]-\int_{}^{}~\frac{1}{x}\cdot x~dx \end{eqnarray}$ Damit erhalten wir: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~lnx~dx=[lnx \cdot x]-x \end{eqnarray}$ Die Bestäitigung kommt durch die Ableitung der rechten Seite Substitutionsregel* Noch trickreicher als die partielle Integration ist die Substitutionsregel, ganz einfach aus dem Grund, weil man mehr "Spielraum" hat um auf eine Stammfunktion zu kommen. Typische Beispiele für eine mögliche Substitution sind: $\begin{eqnarray} f(x)=(1-5x)^{10} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ Beim ersten Beispiel wäre es natürlich unglaublich aufwendig den Ausdruck auszumultiplizieren und dann zu integrieren. Wir kommen nun zu der Substitutionsregel und einer Formel, die etwas irritierend aussieht. Satz: Die Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ sei differenzierbar auf $\begin{eqnarray} [a;b] \end{eqnarray}$ und die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig auf $\begin{eqnarray} g[a;b] \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~f(g(x))\cdot g'(x)~dx= \int_{g(a)}^{g(b)}~f(z)~dz \end{eqnarray}$ Beweis: Sei $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Desweiteren gilt nach der Kettenregel: $\begin{eqnarray} F(g(x))=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x) \end{eqnarray}$ Wir betrachten nun die linke Seite der Behauptung. Nach dem Hauptsatz gilt: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~f(g(x))\cdot g'(x)~dx=F(g(b))-F(g(a)) \end{eqnarray}$ Nun kommen wir zur rechten Seite und wenden wieder den Haupsatz an: $\begin{eqnarray} \int_{g(a)}^{g(b)}~f(z)~dz=F(g(b))-F(g(a)) \end{eqnarray}$ Links und rechts steht also das gleiche und der Satz ist bewiesen. Wie immer machen wir einige Bemerkungen zu dem Satz 1) Besonders bei dieser Substitutionsregel muss man auf die Voraussetzungen des Satzes achten 2) Man beachte den engen Zusammenhang zwischen der Kettenregel und dieser Substitutionsregel. Er wird im Beweis deutlich 3) Man muss bedenken, dass die obige Formel im "Idealfall" gilt. Das heißt: Wenn man einen Ausdruck substituiert, dessen Ableitung ebenfalls im Integranden enthalten ist, dann lässt sich das Integral ganz einfach mit der rechten Seite der Behauptung des Satzes lösen Wenn man substituiert, dann muss natürlich auch das Differential $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ substituiert werden. Wir machen ein erstes Beispiel um uns mit der dritten Bemerkung vertraut zu machen. Wir lösen folgendes Integral: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~\frac{2x}{x^2+1}~dx \end{eqnarray}$ Wir haben hier die "Idealform" vorliegen. Denn für den Fall, dass wir $\begin{eqnarray} g(x)=x^2+1 \end{eqnarray}$ setzen, steht die Ableitung $\begin{eqnarray} g'(x)=2x \end{eqnarray}$ ebenfalls im Integranden, sodass wir ein einfaches Integral zu lösen haben. Wir müssen nun -wie in dem Satz oben- die Grenzen neu anpassen. Dazu werden die alten Grenzen in g(x) eingesetzt (wie in dem Satz). Die neuen grenzen sind also a=1 und b=2. Also erhalten wir insgesamt: $\begin{eqnarray} \int_{1}^{2}~\frac{1}{z}~dz=ln 2 \end{eqnarray}$ Nun ist es aber so, dass man häufig Integrale vorliegen hat, die nicht in der "Idealform" stehen. Oft ist es der Fall, dass die Ableitung g'(x) sich um einen Koeffizienten unterscheidet. Nehmen wir an, dass im obigen Beispiel der Zähler nicht aus $\begin{eqnarray} 2x \end{eqnarray}$ , sondern nur aus $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bestehen würde. Wir müssten also folgendes Integral lösen: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~\frac{x}{x^2+1} ~dx \end{eqnarray}$ Wenn wir erneut $\begin{eqnarray} g(x)=x^2+1 \end{eqnarray}$ setzen, dann haben wir den Fall, dass die Ableitung $\begin{eqnarray} g'(x)=2x \end{eqnarray}$ ist, der Zähler aber nur $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ enthält. Im Zähler fehlt uns ein Faktor $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ , sodass wir also nicht die Idealform haben und sofort die rechte Seite der Substitutionsregel anwenden können. Allerdings bemerken wir, dass wir dieses "Problem" ausgleichen können. Wir kommen auf die Idealform, wenn wir noch den Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ dazumultiplizieren. Jetzt ist die Frage natürlich: Darf man denn einfach so einen Faktor dazumultiplizieren? Die Antwort ist, dass wir bisher etwas ausgelassen haben und dieser Faktor (im obigen Beispiel $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ) ein Teil der Substitutionsregel ist. Der Witz ist: Wenn ein Integral in "Idealform" vorliegt und man benutzt die richtige Substitution, dann wird aus dem Differential $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} dz \end{eqnarray}$ . Man darf also nicht vergessen das Differential $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ ebenfalls zu substituieren. Hier noch eine Umrechnungsformel der Differentiale: Beim Übergang von der Variablen x zu einer neuen Variablen z gilt: $\begin{eqnarray} \frac{dz}{dx}=z'(x) \end{eqnarray}$ Schauen wir uns das Ausgangsbeispiel nochmal an. Wir substituieren nun $\begin{eqnarray} z=x^2+1 \end{eqnarray}$ (oben haben wir das g(x) genannt) Dann gilt nach dieser Formel: $\begin{eqnarray} \frac{dz}{dx}=2x \end{eqnarray}$ Dies lösen wir nach dx auf, da wir ja dx durch dz ersetzen müssen. Also: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2x}dz=dx \end{eqnarray}$ Wenn wir alles, was wir nun haben, einsetzen, ergibt sich: $\begin{eqnarray} \int_{1}^{1}~\frac{x}{z}\cdot \frac{1}{2x}dz \end{eqnarray}$ Wie zu sehen, bleibt nur noch das Integral übrig, was wir oben schon gelöst hatten. Nun hatten wir das Beispiel, in dem im Zähler nicht die genau Ableitung stand. Uns hat der Faktor 2 gefehlt. Die aufgabe sich klar zu machen, woher und warum nun der Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ kommt, wir dem Leser als Übungsbeispiel überlassen, zumal nun das Rezept vorgegeben ist. Es gibt noch eine zweite Substitutionsregel, in der man die Integrationsvariable substituiert. Aber ich denke das müssen wir hier nicht auch noch erklären, zumal der Abschnitt über die Substitutionsregel sehr lang und zum Teil auch sehr theoretisch war. Wir beenden das Thema Substitution und kommen zu einer letzten Methode, die oft sehr hilfreich ist beim integrieren, nämlich der Integration durch Partialbruchzerlgung Diesmal geht es um gebrochenrationale Funktionen. Wir fangen mit einem leichten Problem an und suchen eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{ax+b} \end{eqnarray}$ Da der Nenner linear ist, können wir mittels der Substiutionsregel $\begin{eqnarray} z=ax+b \end{eqnarray}$ setzen. Wir erhalten als Ergebnis (die Durchführung überlassen wir dem Leser als Übungsbeispiel, damit er den Umgang mit der Substitutionsregel trainiert) folgende Stammfunktion: $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{1}{a}ln\|ax+b\| \end{eqnarray}$ Nun ist die Frage, wie man eine Stammfunktion einer gebrochenrationalen Funktion ermittelt, deren Nenner nicht mehr linear, sondern quadratisch (oder noch höher) ist. Wir beschränken uns in dem Workshop auf den Fall, dass der Nenner quadratisch ist. Dazu betrachten wir zunächst folgendes Integral: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{x^2-1}~dx \end{eqnarray}$ Günstigerweise lässt sich der Nenner in Linearfaktoren zerlegen. Es ist $\begin{eqnarray} x^2-1=(x+1)(x-1) \end{eqnarray}$ . Wir versuchen denn Nenner als eine Summe von Bruchtermen (sogenannte Partialbrüche) darzustellen, indem wir die Linearfaktoren benutzen. Der Ansatz lautet: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1} \end{eqnarray}$ Wir multiplizieren nun mit $\begin{eqnarray} (x+1)(x-1) \end{eqnarray}$ durch und erhalten: $\begin{eqnarray} 1=A(x-1)+B(x+1) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 1=(A+B)x+(B-A) \end{eqnarray}$ Wir machen einen Koeffizientenvergleich: $\begin{eqnarray} A+B=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B-A=1 \end{eqnarray}$ Das liefert uns: $\begin{eqnarray} A=\frac{-1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Das erleichtert und die Suche nach einer Stammfunktion sehr, denn wir haben für A und B Werte gefunden, die es uns erlauben, den Nenner linear zu gestalten, sodass wir wie zu Beginn dieses Abschnittes eine einfache Lösung erhalten. Für unser Integral ergibt sich, wenn wir nun alles einsetzen: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{x^2-1}~dx= -\frac{1}{2} \int_{}^{}~\frac{1}{x+1}~dx+\frac{1}{2}\int_{}^{}~\frac{1}{x-1}~dx \end{eqnarray}$ . Der Rest folgt aus dem Eingansbeispiel. Hier ein wichtiger Satz: Hat die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2+bx+c=0 \end{eqnarray}$ zwei verschiedene Lösungen $\begin{eqnarray} x_1 , x_2 \end{eqnarray}$ , dann gibt es Konstanten A und B, sodass gilt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2+bx+c}= \frac{A}{x-x_1}+ \frac{B}{x-x_2} \end{eqnarray}$ Entscheidend ist hier die Forderung, dass es zwei verschiedene Lösungen gibt
16.08.2006, 09:22	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
10.1 Anmerkung (Partielle Integration) Bei der Integration der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\ln(x) \end{eqnarray}$ steht, es sei keine andere Möglichkeit vorhanden, die "Teilfunktionen" $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ zu wählen, als wie es gemacht wurde. Dies ist nicht die ganze Wahrheit. Man darf $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ belegen wie man will, nur passiert es, wählt man sie falsch herum, dass ein noch komplizierteres Integral entsteht. Um dies am Beispiel zu verdeutlichen: $\begin{eqnarray} \int~x\cdot e^x~dx\qquad u:=e^x\Rightarrow u'=e^x;\;\;v':=x\Rightarrow v=\frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int~x\cdot e^x~dx=\frac{1}{2}x^2\cdot e^x-\int~\frac{1}{2}x^2\cdot e^x~dx \end{eqnarray}$ Hier sieht man wunderbar, dass das entstehende Integral komplizierter zu lösen ist, als das ursprüngliche. Daher gibt es eine Art Rangliste, in der die Teilfunktion $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ belegt werden soll, um zu vermeiden, dass sowas kompliziertes dabei herauskommt: $\begin{eqnarray} u:=\left\{\begin{array}{cl}\ln(x)\\ \arcsin(x)\\ \arctan(x) \\ P(x) \end{array}\right. \end{eqnarray}$ Hierbei ist $\begin{eqnarray} P(x) \end{eqnarray}$ ein beliebiges Polynom. 10.2 Anmerkung (Partialbruchzerlegung) Bei diesem Beispiel hatten wir die Forderung erfüllt, dass es sich bei den Nullstellen des Nennerpolynoms lediglich um einfache Nullstellen handelt. Solange dies erfüllt ist, kann man sich den Weg über das lineare Gleichungssystem (LGS) sparen, was insbesondere bei Polynomen höheren Grades sehr zeitsparend ist! Betrachten wir noch einmal das vorige Beispiel: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2-1}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1} \end{eqnarray}$ Man sieht dass die Nullstellen im Nennerpolynom jeweils einfach vorliegen. Normalerweise würden wir jetzt den Koeffizientenvergleich machen, der das LGS liefert. Diesmal multiplizieren wir die Gleichung allerdings mit $\begin{eqnarray} x+1 \end{eqnarray}$ durch: $\begin{eqnarray} \frac{x+1}{(x-1)\cdot(x+1)}=\frac{a\cdot(x+1)}{x+1}+\frac{b\cdot(x+1)}{x-1} \end{eqnarray}$ Kürzen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x-1}=a+\frac{b\cdot(x+1)}{x-1} \end{eqnarray}$ Nun setzen wir einfach einen Wert für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ein, der uns die Variable $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ direkt liefert. Dieser Wert ist die Nullstelle $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ , denn dann wird der ganze Term, welcher $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ enthält Null und fällt weg und auf der rechten Seite steht nur noch das gesuchte $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Die linke Seite nimmt dann zugleich den Wert von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ an: $\begin{eqnarray} \frac{1}{-1-1}=a+0\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Für die Variable $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ gehen wir gleich vor, nur multiplizieren eben mit $\begin{eqnarray} x-1 \end{eqnarray}$ und setzen $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ ein. Den Schritt in einem schreibt man so: $\begin{eqnarray} b=\left[\frac{1}{x+1}\right]_{x=1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Betrachten wir ein Beispiel, bei dem der Koeffizientenvergleich sehr viel aufwändiger und mühsamer ist: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(x-1)\cdot (x+1)\cdot (x-2)\cdot (x+3)}=\frac{a}{(x-1)}+\frac{b}{(x+1)}+\frac{c}{(x-2)}+\frac{d}{(x+3)} \end{eqnarray}$ Wir bestimmen nun direkt den Wert für die Variablen (das darf man, da jede Nullstelle nur einfach vorliegt): $\begin{eqnarray} a=\left[\frac{1}{(x+1)\cdot (x-2)\cdot (x+3)}\right]_{x=1}=\frac{1}{2\cdot (-1)\cdot 4}=-\frac{1}{8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=\left[\frac{1}{(x-1)\cdot (x-2)\cdot (x+3)}\right]_{x=-1}=\frac{1}{(-2)\cdot (-3)\cdot 2}=\frac{1}{12} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=\left[\frac{1}{(x-1)\cdot (x+1)\cdot (x+3)}\right]_{x=2}=\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}=\frac{1}{15} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d=\left[\frac{1}{(x-1)\cdot (x+1)\cdot (x-2)}\right]_{x=-3}=\frac{1}{(-4)\cdot (-2)\cdot (-5)}=-\frac{1}{40} \end{eqnarray}$ Daher ist: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(x-1)\cdot (x+1)\cdot (x-2)\cdot (x+3)}=-\frac{1}{8}\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{12}\frac{1}{(x+1)}+\frac{1}{15}\frac{1}{(x-2)}-\frac{1}{40}\frac{1}{(x+3)} \end{eqnarray}$ Was passiert bei doppelten Nullstellen? $\begin{eqnarray} \frac{1}{(x-1)\cdot(x+1)^2}=\frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{(x+1)^2} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac{1}{(x-1)\cdot(x+1)^2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{(x+1)^2} \end{eqnarray}$ ist hier der richtige Ansatz. Das löst man wieder durch den Koeffizientenvergleich und das LGS. Entsprechend ergibt sich bei dreifachen Nullstellen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(x-1)\cdot(x+1)^3}=\frac{a_1}{x-1}+\frac{b_1x^2+c_1x+d_1}{(x+1)^3}=\frac{a_2}{x-1}+\frac{b_2}{x+1}+\frac{c_2}{(x+1)^2}+\frac{d_2}{(x+1)^3} \end{eqnarray}$ (im Allgemeinen ist $\begin{eqnarray} a_1\neq a_2;\; b_1\neq b_2;\; c_1\neq c_2;\;d_1\neq d_2 \end{eqnarray}$ ) Es ist wohl ersichtlich wie das System bei Nullstellen noch höherer Ordnung weitergeht.
15.09.2007, 03:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Verweis auf externes Mathe-Tool, zum überprüfen von Übungsaufgaben. Natürlich beantworten wir auch gerne Fragen zum Thema im Forum Analysis.
16.09.2007, 23:51	jama	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein weiteres Tool von unserem MatheTools.de zum Integrieren gibt es hier: http://www.mathetools.de/integrieren/ .
03.09.2010, 18:01	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
12. Integration einer Wurzelfuntkion Es soll folgendes bestimmtes Integral bestimmt werden: $\begin{eqnarray} \int\limits_{0}^b \sqrt{x}\;dx, \; b > 0 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Durch Berechnung mit Integrationsregeln und Stammfunktion ergibt sich (als Kontrollwert) $\begin{eqnarray} \int\limits_{0}^b \sqrt{x}\;dx = \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_0^b= \frac{2}{3}b^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ Dieses Beispiel wird mittels der Konvergenz der Obersumme durchgeführt, analog funktioniert die Vorgehensweise für die Untersumme. Die Obersumme ist (für stetige Funktionen) folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} O_n = \sum\limits_{i=1}^n~\max_{x_{i-1} < x < x_i}f(x) \cdot (x_i - x_{i-1}) \end{eqnarray}$ Verwenden wir nun den Standardansatz, setzen wir also $\begin{eqnarray} x_i := i \cdot \frac{b}{n} \end{eqnarray}$ , erhalten wir einen äquidistanten Absatnd, nämlich $\begin{eqnarray} x_i - x_{i-1} = \frac{b}{n} \end{eqnarray}$ . Die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend, entsprechend liegt das Maximum der jeweiligen Intervalle am rechten Rand (für die Untersummenberechnung liegen die Minima am linken Rand). Nach Definition ergibt sich dann folgende Obersumme: $\begin{eqnarray} O_n = \sum\limits_{i=1}^n~f(x_i) \cdot \frac{b}{n} = \sum\limits_{i=1}^n~\sqrt{i \cdot \frac{b}{n}} \cdot \frac{b}{n} = \left(\frac{b}{n}\right)^{\frac{3}{2}} \sum\limits_{i=1}^n~\sqrt{i} \end{eqnarray}$ Eine geeignete Approximation kann also durch diese Berechnung gefunden werden, den exakten Wert des Integrals finden wir so allerdings nicht, da die Partialsumme der Wurzelterme nicht konvergiert. Anstatt einer äquidistanten Zerlegung verwenden wir nun folgende: Wir definieren $\begin{eqnarray} x_i = b \cdot \left(\frac{i}{n}\right)^2 \end{eqnarray}$ , es ergibt sich $\begin{eqnarray} x_i - x_{i-1} = b \left(\frac{2i - 1}{n^2}\right) \end{eqnarray}$ Nun berechnen wir wiederum die Obersumme. Beachte auch hier die Monotonie der Wurzelfunktion: $\begin{eqnarray} O_n = \sum\limits_{i=1}^n~f(x_i) \cdot b\left(\frac{2i-1}{n^2}\right) = \sum\limits_{i=1}^n~ \sqrt{b} \frac{i}{n}\cdot b\left(\frac{2i-1}{n^2}\right) = b^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{n^3}\sum\limits_{i=1}^n~(2i^2 - i) = b^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{n^3}\left(2\sum\limits_{i=1}^n~i^2- \sum\limits_{i=1}^ni\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = b^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{n^3}\left(\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}\right) = b^{\frac{3}{2}} \left(\frac{4n^2 - 3n+1}{6n^2}\right) \end{eqnarray}$ Betrachten wir nun den Grenzwert dieses Ausdrucks für n gegen unendlich, ergibt sich $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}O_n = \lim_{n \to \infty}b^{\frac{3}{2}} \left(\frac{4n^2 - 3n+1}{6n^2}\right) = \lim_{n \to \infty}b^{\frac{3}{2}}\frac{n^2 (4 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2})}{6n^2} = \frac{2}{3}b^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ Obwohl die Zerlegung des Intervalles im zweiten Fall komplizierter aussieht, reduziert sich die Berechnung der Obersumme und ihres Grenzwertes auf ein leichtes, bekannt sein müssen lediglich die Summenformel der natürlichen Zahlen und diejenige über die Quadrate der natürlichen Zahlen. Fällt die Berechnung eines Integrales also schwer, ist es empfehlenswert, andere Zerlegungen zu probieren!

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[WS] Integralrechnung

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