Polynom Division -merkwürdsiges Problem |
| 14.09.2004, 15:25 | dm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Polynom Division -merkwürdsiges Problem ich bin neu im Forum und finds gut, dass es so ein Forum gibt. Wiederholen zZ die polynome Division und normalerweise löse ich diese aufgaben, indem ich bis kein rest mehr bleibt dividiere und dann den neuen term (in der form ax²+bx+c) mittels vieta dazu bringe, mir die nullstellen zu zeigen. das problem ist, dass ich nun bei einer aufgabe bin, bei der dies nicht mehr funktioniert. x(hoch 4) - x³ -15x² + 9x + 54 aufg.: Zeige, dass -2 und 3 Nullstellen sind! habe das ganze dann durch (x-3) geteilt und es kam der neue Term heraus, der da hieß: x³+2x²-9x-18 Den habe ich dann nochmals durch (x-3) geteilt und dann hatte ich als neuen term: x²+5x+6 also, bekannte form, die ich dann mittels vieta zu (x+3) (x+2) mache und ablese, dass -3 und -2 die nullstellen sind. -2 ist korrekt, allerdings -3 falsch. es müsste wie o.g. 3 sein! Wenn ich den ersten Term durch (x+2) teile und das prozedere wiederhole, dann ist die 3 als nullstelle korrekt, aber die -2 nicht gegeben, sondern 2. die gegebenen nullstellen scheinen korrekt zu sein, denn beim einsetzen kommt die 0 heraus. Wär schön, wenn ihr mir helfen könntet, vielen dank im voraus |
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| 14.09.2004, 15:58 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aufg.: Zeige, dass -2 und 3 Nullstellen sind! Lösung: -2 und 3 einsetzen und es sollte 0 herauskommen. Damit ist alles gezeigt. Wenn du einmal durch (x-3) geteilt hast ist bereits diese Nullstelle entfernt, das heißt vom neuen Polynom ist -3 nicht mehr Nullstelle. |
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| 14.09.2004, 16:42 | dm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, dass verstehe ich erhlich gesagt nicht. Wir haben in den Übungen es immer wieder so gemacht, dass wir den Ausgangsterm geteilt haben (der dann aber mit x³ anfing) und dann die form ax²+bx+c hatte. Dann haben wir Vieta angewandt und die Nullstellen waren korrekt und bewiesen. Bitte um Aufklärung 
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| 14.09.2004, 18:45 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, ich zeig Dir den Sachverhalt an einem Beispiel Wir suchen jetzt die Nullstellen, die erste Nullstelle ist augenscheinlich 1, also teilen Wir das Polynom durch (x -1) Du wirst feststellen das 1 nicht mehr Nullstelle des Polynoms ist, wir haben das Polynom also um eine Nullstelle reduziert. Um die anderen beiden Nullstellen zu erhalten könnte man jetzt den Satz von Vieta benutzen. Was passiert jetzt wenn Du durch (x-3) teilst? Du reduzierst das Polynom , und 3 ist nicht mehr Nullstelle. Jetzt beziehe ich mich auf Deine Aufgabe aufg.: Zeige, dass -2 und 3 Nullstellen sind! Du sollst also zeigen das die Gleichung für x = 3 und x = -2 erfüllt ist. Was macht man da? Man wendet KEINE Polynomdivision an sondern setzt 3 für x ein und kommt auf eine wahre Aussage. Damit ist die Aufgabe erledigt. edit Mein Beispiel ist leider ein bisschen unglücklich gewählt da es 2 komplexe Nullstellen liefert. Aber der Sachverhalt des Reduzierens sollte rübergekommen sein. |
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| 15.09.2004, 06:21 | dm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, vielen Dank für die Beispiele. Ich denke, ich hab die Reduktion verstanden. Allerdings: Ich könnte doch auch durch (x+2) teilen, denn dann fällt sdie -2 als NS zwar weg, aber ich kann beweisen, dass 3 eine ist. Und dann durch (x-3) teilen, wo die 3 zwar wegfällt, aber die -2 beweisen wird. Einsetzen ginge natürlich auch, allerdings denke ich, dass diese Aufgabe im Kontext der Polynomdivision zu lösen ist, was wir zZ machen. |
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| 15.09.2004, 12:18 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn Du durch eine andere Nullstelle als 3 teilst bleibt natürlich 3 als Nullstelle erhalten. Wenn Du es wirklich über diesen Weg machen musst, dann kannst Du natürlich diesen Weg benutzen. Als Beweis würde aber das einsetzen normal reichen, da das Ergebnis nach dem Einsetzen eindeutig und Beweis genug ist. Zumindest sollte nach dem Teilen durch (x+2) die 3 als Lösung vorhanden sein und das neue Polynom ohne Rest dastehen. Übrigens wenn Du überprüfst wirst Du feststellen das -3 auch eine Nullstelle von Es ist sogar so, ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n reelle Nullstellen. Du hast ein Polynom vierten Grades, es kann also durchaus sein das dein Polynom 4 Nullstellen besitzt, muss es aber nicht. Wie man aber leicht sieht bei Dir ist 3 eine "doppelte" Nullstelle da nach dem ersten Teilen durch (x-3) die 3 wieder als Lösung erscheint. Das ist aber kein Problem, Du musst halt nur vorher überprüfen ob es tatsächlich Nullstelle des neuen Polynoms ist, da eine Teilung durch eine nicht-Nullstelle einen Polynomdivisionrest liefert. Das bedeutet also das Dein Polynom 3 Nullstellen hat. |
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| 15.09.2004, 15:59 | dm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, vielen vielen Dank für deine Beiträge. Das war aufschlussreich. Aber eine kleinigkeit noch... wenn ich den ausgangspolynom 2x durch (x-3) teile, erhalte ich, wenn ich den ax²+bx+c term mit vieta bearbeite als 0 stellen -2 und -3. Also sind -2 ; -3 und 3 nullstellen oder? wenn ich aber 2x durch (x+2) teile, dann bleibt beim zweiten mal ein polynom mit rest...was mache ich falsch? |
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| 15.09.2004, 16:06 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, wenn du als neue Nullstellen -2 und -3 hast, kannst du natürlich nur einmal durch x+2 und einmal durch x+3 teilen - nicht zweimal durch x+2 
Gruß, Thomas |
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| 15.09.2004, 18:10 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also Teilt man ein Polynom durch etwas anderes als seine Nullstelle entsteht ein Polynomrest. Du konntest nur zweimal durch (x-3) teilen weil 3 eine doppelte Nullstelle war. Für -2 gilt dies jedoch nicht! Das neue Polynom was nach Dividieren durch (x+2) entstand wurde um die Nullstelle -2 reduziert, und -2 ist nicht länger Nullstelle. Daraus resultiert der Polynomrest beim zweiten Divisionsversuch. Wenn Du erst durch (x+2) teilst musst Du anschliessend entweder durch (x-3) oder durch (x+3) teilen. |
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| 16.09.2004, 06:32 | dm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, sehr gut, das hab ich nun kapiert. weiter oben berichtest du aber von der "doppelten 3" als nullstelle. Wieso doppelt? Hm moment mal...wenn das neue polynom nur dann ohne rest da steht, wenn durch eine nullstelle geteilt wurde, dann brauch ich doch den term nur durch die nullstelle zu teilen und damit ist bewiesen, dass sie eine nullstelle ist, da ja kein rest übrig bleibt...oder? |
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| 16.09.2004, 18:00 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Korrekt, es wäre aber fraglich ob Dein(e) Leher(in) das akzeptiert. Was ich mit doppelter Nullstelle meine , nun Du kannst zweimal mit (x-3) teilen deswegen ist die 3 eine doppelte Nullstelle ich zeig dir mal was ich meine Durch die p-q Formel ergeben sich folgende weitere Nullstellen Wie man sieht, 3 ist doppelte Nullstelle und deswegen durftest Du auch 2mal durch (x-3) teilen. |
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| 16.09.2004, 19:04 | hummma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nur noch ein erklaerungs warum eine Polynomdivison durch eine nullstelle aufgehen muss. Du kannst ja jedes polynom auch so schreiben. Das ist ein polynom mit den nullstellen Wenn du allso durch eine Nullstelle Teilst kannst du kuerzen. hier waere x1 eine c-fache Nullstelle und du kannst sie deshalb c mal kuerzen. Aber der einfachste weg zu zeigen dass es sich um einen nullstelle handelt ist sicher einsetzen. Hat mazze ja vorher auch schon mal gesagt |
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| 16.09.2004, 20:03 | dm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vielen dank. jetzt hab ich alle benötigten antworten. ihr habt schon recht, einsetzen ist wohl das sinnvollste, allerdings einsetzen als hausaufgabe inkl. der nullstellen anzugeben ist doch leicht sinnfrei
Ich denke, ich werds anhand der division beweisen
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