Nullstellen berechnen inkl ln(x)

14.09.2004, 16:22

Basti_mp

Nullstellen berechnen inkl ln(x)

Guten Tag alle zusammen, ich möchte eine vollständige Kurvendiskussion bei folgender Gleochung durchführen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=lnx+x^2-1 \end{eqnarray*}$

Habe erstmal die 1. und 2. Ableitung gebildet:
$\begin{eqnarray*} 1. f'(x)= \frac{1}{x} +2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2. f''(x)= -\frac{1}{x^2} +2 \end{eqnarray*}$

Sind die Ableitungen richtig gebildet?

So mein erstes Problem ist die Definitionsmenge, wie gebe ich die an und wie komme ich darauf. Der X Wert im Logarithmus darf doch nur Positiv sein, oder? bei x^2 kann es doch eine beliebige reelle Zahl sein..?!

So mein zweites kleines aber feines Problem ist die Nullstellen auf der X-Achse. Anhand meines GRT habe ich gesehen das es eine bei [1|0] gibt.

Alslo f(x) = 0 setzen?!
$\begin{eqnarray*} 0=lnx+x^2-1 \end{eqnarray*}$
Und wie löse ich jetzt ln(x) auf?

Danke schonmal im Vorraus...

14.09.2004, 16:33

Leopold

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Die Ableitungen stimmen. Definitionsbereich stimmt auch (sofern ich deine Aussage richtig deute): $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{+}=]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ .
Die Nullstelle von f hast du richtig abgelesen. Der Beweis, daß 1 eine Nullstelle ist, ist doch ganz einfach. Einfach in die Funktionsgleichung einsetzen und nachrechnen. Allerdings müßtest du jetzt noch nachweisen, daß 1 die einzige Nullstelle ist. Das kannst du mit Hilfe von f' sehen (Tip: Monotonieverhalten von f).

Ich weiß, was du gerne hättest: Du möchtest die Gleichung f(x)=0 nach x algebraisch (also durch Umformungen) auflösen und kriegst es nicht hin. Das liegt nicht daran, daß du dumm bist. Denn andere können das auch nicht. Um ehrlich zu sein: Keiner kann das. Die meisten Gleichungen der Analysis können nicht durch algebraische Umformungen gelöst werden. Es ist sozusagen die Ausnahme, wenn das einmal geht. Allerdings werden in der Schule meistens nur diese Ausnahmefälle behandelt (z.B. quadratische Gleichungen), so daß der Schüler den völlig falschen Eindruck gewinnt, jede Gleichung müsse sich irgendwie algebraisch lösen lassen, wenn man sich nur geschickt genug anstellt. Die Wahrheit ist aber gerade das Gegenteil.

14.09.2004, 16:54

Basti_mp

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Also,

das mit dem Einsetzten ist ja banal smile

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(1)+1^2-1 \end{eqnarray*}$
=0
stimmt also!
Zu der Definitionsmenge, muss ich hier nicht das X bei dem Logarithmus und das zweite X (x^2 ) getrennt betrachten? Denn in x^2 könnte ich ja auch negative Zahlen einstezen! Diese haben wir jetzt aber nicht in unserer Definitionsmenge?

Zu der Monotonie, anhand meines Taschenrechners sehe ich ja das dieser Graph streng monoton steigend ist. Somit ergibt sich kein zweiter Extrempunkt. Geht das rechnerisch nur durch banales einsetzen von unterschiedlichen Werten? Dürfte ja ansich nicht so sein, denn damit habe ich ja nur zufällig Werte bestimmt...

Wenn ich versuche f'' erst gleich 0 zusetzen und es dann nach X auflösen möchte bekomme ich folgendes heraus:
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
Und aus negativen Zahlen eine Wurzel ziehen geht nicht! Reicht das als Beweis für keinen Extrempunkt und somit keiner weiteren Nullstelle? Wenn nein, dann musst du mir noch mehr auf die Sprünge helfen smile

14.09.2004, 17:38

Leopold

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Wenn du nach der Definitionsmenge eines Termes fragst, so muß der Term als Ganzes berechenbar sein. Es reicht nicht, daß einzelne Teilterme berechenbar sind.
So ist der Term x² für sich allein genommen für alle reellen x berechenbar. Der Term ln x ist für alle positiven reellen x berechenbar.
Und der Term x²+ln x?
Wenn du eine Summe berechnen willst, so müssen beide Summanden berechenbar sein. Der zweite Summand ist aber nur für positive x berechenbar, also ist auch die Summe nur für positive x berechenbar.

Zur Monotonie deiner Funktion:
Der GTR ist ein wichtiges Hilfsmittel, um Vermutungen (!) zu bekommen. Er kann aber niemals eine saubere mathematische Begründung ersetzen.
Du kennst doch sicher den folgenden Zusammenhang:
Ist f'(x) in einem Intervall >0, so ist f in diesem Intervall streng monoton wachsend.
Jetzt versuche einmal, ohne große Rechnung zu begründen, warum das gefundene f'(x) nur positive Werte haben kann. Beachte den Definitionsbereich: x>0.

14.09.2004, 20:21

Basti_mp

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Da du sagtest, ich soll es ohne große Rechnung versuchen, versuche ich es jetzt mal einfach hinzuschreiben.

Wenn ich eine Definitionsmenge habe die nur aus positiven Zahlen besteht, und habe nur gerade Exponenten, ergibt sich bis dahin niemals eine negative Zahl. Dieses Ergebnis erhöt sich außerdem zunehmend durch unseren Exponenten!! (somit streng monoton) Jetzt haben wir zwar eine subtraktion von 1, jedoch ändert diese nichts daran, dass bei zunehmendem X-Wert, der Y-Wert steigt (da addition zwischen ln(x) und x^2 besteht).

x-Abhängigkeit:
Folgt aus x2 > x1 auch f(x)2 > f(x)1 dann ist streng monoton steigend.

So mehr weiß ich nicht mehr traurig

14.09.2004, 20:46

Leopold

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So meinte ich meinen Vorschlag nicht. Aber so geht es im Prinzip auch. Du bist noch etwas unsicher in den Formulierungen, und ein paar Dinge sind mir nicht ganz klar, vor allem: Wie wirkt sich denn ln x auf das monotone Wachsen/Fallen von f(x) aus? Welche Eigenschaft von ln x ist hierfür relevant?

Mein Vorschlag war ein anderer gewesen: Betrachte f'(x) und begründe, warum f'(x) immer >0 sein muß. Das geht hier ganz einfach und schnell.

15.09.2004, 10:18

Basti_mp

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keine Ahnung, bin mit meinem Latein am Ende unglücklich

Ich weiß es sollte ansich nicht schwer sein, aber ich komme jetzt einfach nicht drauf. verwirrt

Nochal eine Frage zur Definitionsmenge.
Du hast folgende angegeben:

heißt das jetzt ich darf die Null einsetzen oder nicht? Denn ich habe mir nur aufgeschrieben das ]...[ für ein "offenes Intervall" steht und Randpunkte hier nicht im Intervall liegen.

Rein theoretisch dürfte ich die 0 ja nicht einsetzen. Erklär mir mal bitte was diese Klammern und ihr Inhalt zu bedeuten haben wenn sie [...] oder ]...[ aufgeschrieben werden...

So ich hätte jetzt:

Definitionsbereich
mögl. Extremwerte (nämlich keine)
Nullstelle
1. und 2. Ableitung

Symetrie: Weder Achsensymetrie noch Punktsymetrie ist hier vorhanden. Wie mache ich das rechnerisch kentlich?
Fehlt noch irgendwas für eine Kurvendiskussion??

DANKE

Edit: noch eine kurze Idee,
wenn ich f' gleich 0 setzte und versuche Schnittpunkte mit der X-Achse zu bestimmen, bekomme ich keine. Ist ja auch klar! Und wenn ich keinen Schnittpunkt mit der X-Achse bei f' habe, kann sich die Steigung nicht ändern. Sie kann nur kleiner oder größer werden! Somit haben wir nie ein Vorzeichenwechsel und somit bewiesen, dass f(x) sich nicht ein zweites mal der X Achse nähern wird. Daraus folgt [1|0] ist die einzige Nullstelle von f(x). verwirrt

15.09.2004, 10:44

Poff

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... die Ableitung f' ist in dem Intervall ]0, ...[ überall positiv.
Dh. die Steigung der Kurve ist über den ganzen Bereich > 0

Damit kann f nirgendwo fallen, muss somit streng monoton sein

Augenzwinkern

15.09.2004, 19:30

Basti_mp

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kann mir jemand nochmal die 0 in der definitionsmenge erklären. mein Taschenrechner sagt das ich keine Null einsetzten darf!!

15.09.2004, 19:50

Mathespezialschüler

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RE: Nullstellen berechnen inkl ln(x)

Zitat:

Original von Basti_mp
Der X Wert im Logarithmus darf doch nur Positiv sein, oder?

Genau deswegen darfst du 0 nicht einsetzen! Und die ganze Summe ist auch nur definiert, wenn alle Summanden definiert sind. Ist einer nicht definiert, dann ist auch die ganze Summe nicht definiert!
Das Intervall ]0;3[ z.B. bezeichnet alle Zahlen zwischen 0 und 3, 0 und 3 selbst gehören aber nicht dazu!

16.09.2004, 07:12

Basti_mp

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alles klar, danke!

zu den nullstellen, habe gerade in meinem mathebuch was dazu gefunden. Ist es richtig wenn man aus
$\begin{eqnarray*} f(x)=lnx + x^2 -1 \end{eqnarray*}$
dies macht:
$\begin{eqnarray*} e^0=x+x^2-1 \end{eqnarray*}$

16.09.2004, 08:14

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Nein !!

Du hast die Zeile

0 = lnx + x² +1 und wenn du auf beiden Seiten e hoch ... machst,

wird daraus e^0 = e^(lnx + x² - 1)

1= x * e^(x²) * 1/e

Das hilft beim Auflösen nach x aber nicht weiter...

16.09.2004, 18:31

Basti_mp

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stimmt...

16.09.2004, 19:12

Leopold

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Wie ich die ganze Sache angepackt hätte, schreibe ich dir jetzt einmal auf.

1. Monotonieverhalten

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x}+2x \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2x>0 \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}+2x>0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$
Daher ist f streng monoton wachsend und kann somit höchstens eine Nullstelle besitzen.

2. Nullstelle existiert

Man rechnet $\begin{eqnarray*} f(1)=\ln{1}+1^2-1=0+1-1=0 \end{eqnarray*}$
Daher besitzt f eine Nullstelle.

Aus 1. und 2. folgt: f besitzt genau eine Nullstelle, und zwar bei x=1.

16.09.2004, 19:37

Basti_mp

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dankeschön für die schnelle hife..., bin schon wieder am posten bei einer anderen Frage smile

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