Differenzierbarkeit

08.03.2007, 12:49

Shadow86

Differenzierbarkeit

Wenn ich prüfen soll, ob eine Funktion differenzierbar ist, was muss ich dann tun:
1. Einfach ableiten versuchen
2. Auf Stetigkeit prüfen
3. Prüfen ob $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{eqnarray*}$ existiert
oder 2. und 3. zusammen oder was?

Fand das in der Vorlesung etwas verwirrend

08.03.2007, 13:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzierbarkeit
Sofern sich die Funktion nicht aus bekannten differenzierbaren Funktionen zusammensetzt ist Punkt 3 der richtige Ansatz.

08.03.2007, 13:29

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

wobei die prüfung auf stetigkeit arbeit ersparen kann, denn dort wo eine funktion nicht stetig ist existiert die ableitung bekanntlich nicht

08.03.2007, 13:51

Shadow86

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
wobei die prüfung auf stetigkeit arbeit ersparen kann, denn dort wo eine funktion nicht stetig ist existiert die ableitung bekanntlich nicht

Aber dann wär genau das doch eine Methode zur Überprüfung der Differenzierbarkeit

08.03.2007, 14:06

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Stetigkeit ist nur eine notwendige Bedingung für Differenzierbarkeit.
D.h. aus Stetigkeit folgt nicht automatisch Differenzierbarkeit

08.03.2007, 14:44

Shadow86

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie mach ich das bei folgender Aufgabe?
$\begin{eqnarray*} g(x)= x^2*cos(1/x); x \neq 0 \\ 0; x = 0 \end{eqnarray*}$

Weiß jemand wie man ne große geschweifte Klammer macht?

Für x=0 ist es einfach: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} =\lim_{x \to 0} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Aber wie ist es bei $\begin{eqnarray*} x\neq 0: \lim_{x \to a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} = \lim_{x \to a} \frac{x^2cos(1/x)-a^2cos(1/a)}{x-a} \end{eqnarray*}$
Hier hänge ich nun und kanns nicht weiter zusammenfassen, bzw. g(x) muss im Punkt Null bzw wenn x-> 0 geht die gleiche Ableitung haben, weil die Funktion sonst gar nicht stetig wäre. Aber kann ich statt x->a und g(a) einfach schreiben x-> 0 und g(0), obwohl x ungleich 0 ist. Problem wäre halt bei cos(1/x) ...?

09.03.2007, 01:12

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Shadow86
Für x=0 ist es einfach: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} =\lim_{x \to 0} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist leider falsch. Seit wann ist g(x) = 0? $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass x gegen Null strebt, bedeutet aber nicht, dass Null einzusetzen ist. Dann musst du das unten nämlich auch tun, und es ergibt sich 0/0, was ja nicht geht. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0}\frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{x^2\cos(\frac{1}{x})}{x}= \dots \end{eqnarray*}$

EDIT: Für x ungleich Null hast du gar kein Problem, denn da weißt du, dass sich g(x) aus differenzierbaren Funktionen zusammensetzt und damit selber differenzierbar ist.

09.03.2007, 01:39

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Shadow86
Und wie mach ich das bei folgender Aufgabe?
$\begin{eqnarray*} g(x)= x^2*cos(1/x); x \neq 0 \\ 0; x = 0 \end{eqnarray*}$

Weiß jemand wie man ne große geschweifte Klammer macht?
[...]

Ich glaube es ist folgendes gemeint:
$\begin{eqnarray*} g(x) = \begin{cases} x^2\cdot \cos^2\left(\frac{1}{x}\right) & \text{ für } x\neq 0 \\ 0 & \text{ für } x= 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

09.03.2007, 01:56

Shadow86

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lazarus
Ich glaube es ist folgendes gemeint:
$\begin{eqnarray*} g(x) = \begin{cases} x^2\cdot \cos^2\left(\frac{1}{x}\right) & \text{ für } x\neq 0 \\ 0 & \text{ für } x= 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Richtig, aber wie mache ich das?

09.03.2007, 01:59

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du doch selbst gerade beim Quote gesehen?
$\begin{eqnarray*} g(x) = \begin{cases} x^2\cdot \cos^2\left(\frac{1}{x}\right) & \text{ für } x\neq 0 \\ 0 & \text{ für } x= 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

code:
1:	g(x) = \begin{cases} x^2\cdot \cos^2\left(\frac{1}{x}\right) & \text{ für } x\neq 0 \\ 0 & \text{ für } x= 0 \end{cases}

09.03.2007, 18:18

Shadow86

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie ist es nun bei $\begin{eqnarray*} x\neq 0: \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} \end{eqnarray*}$
cos(1/x) ist bei Null nicht definiert, denn wenn ich 0 in g(x) einsetzen würde, hätte ich was mit 1/0

10.03.2007, 12:07

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

falsch, wenn du $\begin{eqnarray*} g(0) \end{eqnarray*}$ haben willst, dann schau mal genau in die definition der funktion. da steht das mit dem cosinus gilt nur für $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ , also haste deinen funktionswert den du brauchst.

also betrachte nun die den differenzenquotient:
$\begin{eqnarray*} q(h)=\frac{h^2\cos\left(\frac{1}{h}\right)}{h} \end{eqnarray*}$

10.03.2007, 12:32

Shadow86

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0} h \cdot cos(\frac{1}{h})= 0 \end{eqnarray*}$

Das heißt für x=0 ist der Limes = 0 und für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist der Limes auch = 0 damit ist g(x) differenzierbar... ! Stimmt das so?

Immerhin sollte ich ja zeigen, dass g für alle x differenzierbar ist, aber nur bei Null war ja eigentlich das Problem. Kann ich also einfach schreiben x²cos(1/x) für alle x außer 0 differenzierbar und 0 immer diferenzierbar, oder müsste ich dass auch explizit zeigen?

Ich würde nämlich gerne wissen, wie man das formal korrekt aufschreibt, schließlich ham se mir wegen so was ähnlichem schon mal Punkte abgezogen.

Neue Frage »

Antworten »

Differenzierbarkeit

Verwandte Themen