Gruppen (Isomorphismus)

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EgOPhill Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen (Isomorphismus)
Habe folgende Aufgabenstellung, wo ich nicht mehr weiter komme!
Über die Zahlen (1,3,7,9) sind noch Striche also negiert, habe ich aber weggelassen(weiss nicht wie es geht), sollte auch so funktionieren.
Man Zeige, dass die Menge
= {{1,3,7,9} ; }
innerhalb des Restklassenrings eine Multiplikative Gruppe bildet und konstruiere einen Isomorphismus von,
auf die additive Gruppe (+).

für

|1 3 7 9
--|----------------
1 | 1 3 7 9
3 | 3 9 1 7
7 | 7 1 9 3
9 | 9 7 3 1

für
+ |0 1 2 3
--|----------------
0 | 0 1 2 3
1 | 1 2 3 0
2 | 2 3 0 1
3 | 3 0 1 2

Das war es, jetzt weiss ich nicht mehr weiter!
Vielen Dank für eure Hilfe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In beiden Gruppen gibt es ein neutrales Element: e bzw. e'. Diese neutralen Elemente müssen einander entsprechen.
In beiden Gruppen gibt es ein Element der Ordnung 2 (mit anderen Worten: das zu sich selbst invers ist): a bzw.a'. Auch diese beiden Elemente müssen einander entsprechen.

e -> e'
a -> a'

Und mit den beiden verbleibenden Elementen probierst du es einmal selber aus.

Wenn du die sich entsprechenden Elemente in jeder Gruppentafel in analoger Reihenfolge anordnest, müssen die Gruppentafeln beim Übereinanderlegen (wie auf Folien) genau aufeinander passen. Dann hast du deinen Isomorphismus.
carsten Auf diesen Beitrag antworten »

Um zu zeigen, dass eine Menge + Operation eine Gruppe ist muss folgendes erfuellt sein:
1. Die Operation darf nicht aus der Menge herausfuehren
2. es muss das Assoziativgesetzgelten
3. es muss ein neutrales Element existieren ( "0" bei addition, "1" bei Multiplikation)
4. zu jedem Element der Gruppe muss es ein inverses Element geben

mit deiner Gruppentafel kannst du ohne Probleme die meisten dieser Eigenschaften nachweisen (z.B. tauchen in der Tabelle nur 1,3,7,9 auf => Operation fuehrt nicht raus).

Der Isomorphismus auf die Gruppe Z4 ist so zu verstehen, dass du jedem Element aus M10 ein Element aus Z4 zuordnest (und andersrum), wobei die "Eigenschaften" der Operation erhalten bleiben sollen, also wenn a*b=c (in M10) dann sollte I(a)+I(b)=I(c) sein, wobei I der Isomorphismus sein soll und I(x) Element von Z4 ist.
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