Differenzierbarkeit für Funktionen mit 2 Variablen

15.09.2004, 18:05	moritzulrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit für Funktionen mit 2 Variablen Hallo, Für welche Werte von a und b ist die FUnktion sqrt (x) für 0<x<=1 g(x) = ax - bx^2 für x>1 an der Stelle x0=1 differenzierbar. Wir haben eine solche Funktion mit a und b noch nie auf differenzierbarkeit untersucht. Handelt es sich nicht um eine Kurvenschar ? Danke für einen Hinweis. Moritz
15.09.2004, 18:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt versuchen, die beiden Kurvenstücke so aneinanderzusetzen, daß sie glatt ineinander übergehen. Dazu müssen die Werte und Ableitungen an der Stelle x=1, wo die Verheftung erfolgt, für den oberen und unteren Term (betrachtet als eigenständige Funktionen über einem größeren Definitionsbereich) übereinstimmen. Du erhältst zwei Gleichungen in den zwei Unbekannten a,b. Dieses Gleichungssystem mußt du lösen.
15.09.2004, 18:40	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit für Funktionen mit 2 Variablen Hi, du hast doch Funktion $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0<x\leq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=ax-bx^2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>1 \end{eqnarray}$ . Damit die Funktion im Punkt 1 differenzierbar ist, müssen rechts- und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen. Das gilt aber genau dann, wenn der Wert der Ableitung von $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ bei x=1 (= dem linksseitigen Grenzwert) gleich dem Wert der Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray} ax-bx^2 \end{eqnarray}$ bei x=1 (= dem rechtsseitigen Grenzwert) ist. Bestimme einfach die Ableitungen und berechne erst den Wert der Ableitung von $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ an der Stelle x=1. Setze ihn dann gleich mit der anderen Ableitung und setze auch dort x=1! Du erhälst a in Abhängigkeit von b bzw. umgekehrt. Dann hättest du alle Paare erfasst. Wenn deine Lehrerin ein paar sezielle Zahlenwerte von a und b haben will, dann kannst du ja einfach für das eine ne Zahl einsetzen und das andere daraus berechnen. Probiers mal edit: Sie müssen natürlich auch in den Funktionswerten übereinstimmen, also doch noch ne zweite Gleichung. :P Also nichts mit a in Abhängigkeit von b!!!
15.09.2004, 18:43	moritzulrich	Auf diesen Beitrag antworten »
DANKE, werde es gleich mal probieren . Die Ableitung der Wurzelfunktion ist doch 1/2x^-(1/2), stimmts? Moritz
15.09.2004, 18:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es reicht nicht, die Übereinstimmung der Ableitungen zu fordern. Grenzwerte von Ableitungen von links und rechts können nämlich übereinstimmen, ohne daß die Funktion an der betreffenden Stelle differenzierbar ist (wenn sie nämlich z.B. nicht stetig ist).
15.09.2004, 18:55	moritzulrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Ui, jetzt verstehe ich gerade irgendwie gar nichts mehr. Die Grenzwerte der Ableitungen müssen übereinstimmen . Aber wenn die Ableitungen beide gleich sind für einen Wert, dann zeigt das doch dass sie differenzierbar sind, oder nicht. So haben wir es zumindest die letzte Stunde gelernt. Davor haben wir es immer mit dem Diffenzenqoutienten und deren Grenzwerten gemacht. Aber er meinte es reicht auch die Ableitung zu berechnen . Moritz
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15.09.2004, 19:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Funktion stetig ist an der Stelle x=a und die Grenzwerte der Ableitungen für x->a von links und rechts übereinstimmen, dann ist die Funktion differenzierbar bei a. Die Stetigkeit ist hierbei unbedingt erforderlich. Um das zu sehen, stelle dir einfach einmal einen schönen glatten Graphen vor. Und dann bist du einmal ganz fies und säbelst ihn an einer Stelle durch und verschiebst dann eines der Stücke nach oben oder unten. Immer noch stimmen die Grenzwerte der Ableitungen von links und rechts bei der Säbelstelle überein. Von Differenzierbarkeit aber weit und breit keine Spur! Es liegt ja nicht einmal mehr Stetigkeit vor. Und zum Schluß noch das Bild der Lösung.
15.09.2004, 19:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber sie müssen doch dabei auch in einander übergehen!! Sie muss doch sozusagen als eine Linie "zeichenbar" sein!! Jetzt betrachtest du halt einfach die beiden Funktion auf R+ und die Funktionswerte bei x=1 müssen gleich sein und zusätzlich noch die Ableitungen. edit: Leopold war mal wieder schneller

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