Keine rationale Lösung für x²=3

16.09.2004, 18:48

PSM

Keine rationale Lösung für x²=3

Hallo!

In der letzten Algebrastunde haben wir mit dem Widerspruchsverfahren gezeigt, dass x²=2 keine rationale Lösung hat:
$\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{q^2}=2 \end{eqnarray*}$ so heißt natürlich der Ansatz.
=> $\begin{eqnarray*} p^2=2*q^2 \end{eqnarray*}$ , woraus folgt, dass p² eine gerade Zahl und daher auch p gerade ist. Also kann man schreiben: $\begin{eqnarray*} p=2r \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} 4r^2=2*q^2 \end{eqnarray*}$ .
Wenn man durch 2 dividiert, so erhält man 2r²=q, was bedeutet, dass auch q durch 2 teilbar ist. Da aber der Bruch oben bereits gekürzt ist, also p und q teilerfremd sind, ergibt diese Lösung einen Widerspruch.

Nun möchte ich das ganze mit x²=3 machen:
$\begin{eqnarray*} p^2=3*q^2 \end{eqnarray*}$
Doch jetzt bleibe ich schon hängen, denn 3q² kann gerade sein, wenn q gerade ist und ungerade, wenn q ungerade ist.
Das ist mein Problem. Muss ich hier eine Fallunterscheidung machen???

Für einen Hinweis wäre ich dankbar.

MfG
Patrick

16.09.2004, 19:04

Leopold

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eine Alternative

17.09.2004, 01:16

Poff

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RE: Keine rationale Lösung für x²=3
... beim 'Fall 3' hättest du ja auch nichts mit 'gerade' zu zeigen,
sondern dass eine '3 drinstecken' müsste ...

Augenzwinkern

17.09.2004, 13:24

therisen

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Nimm dir doch folgendes Hilfslemma zur Hand: $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist durch 3 teilbar $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ ist durch 3 teilbar.

Beweise diesen Satz und benutze ihn für den Beweis der Irrationalität von $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

17.09.2004, 15:40

PSM

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Danke für eure Antworten. Jetzt habe ich eine Idee:
aus $\begin{eqnarray*} p^2=3q^2 \end{eqnarray*}$ folgt:
p² ist ist durch 3 teilbar und daher auch p.
Dann kann man wie im Unterricht eine Substitution durchführen:
p=3r; also 9r²=3q oder 3r²=q, was für q ebenfalls eine Teilbarkeit durch 3 bedeutet, obwohl p und q teilerfremd sein sollen. Damit ist gezeigt, dass x²=3 keine rationale Lösung hat.
Bitte korrigieren, wenn ein Denkfehler vorliegt.

Nun möchte ich versuchen, das ganze mit der Methode zu zeigen, die Leopld vorgeschlagen hat:
x²=n; n=3
der erste Fall kann nicht zutreffen, da x²=3 sein muss, was in der Menge nicht vorkommt. Also kann x höchstens eine echt-gebrochene Zahl sein, wobei der Nenner >1 sein muss. (Zähler und Nenner teilerfremd.) Doch das Quadrat einer echt-gebrochenen Zahl ergibt wieder eine echt-gebrochene Zahl, was für n=3 nicht zutrifft.

Ist das alles richtig?

MfG
Patrick

17.09.2004, 18:43

therisen

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Dein 1. Beweis ist vom Prinzip her korrekt, allerdings musst du noch folgendes beweisen:

Zitat:

Original von PSM
p² ist ist durch 3 teilbar und daher auch p.

Jetzt fehlt mir leider die Zeit, den 2. Beweis zu betrachten, da ich jetzt zur Fahrschule muss.

EDIT: Ach, was solls, habs mir nochmal durchgelesen, sieht korrekt aus.

Gruß, therisen

17.09.2004, 18:57

Poff

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Teil 1, ein kleiner 'Schreibfehler' drin

p=3r; also 9r²=3q oder 3r²=q,

das muss jeweils q² heißen und was damit impliziert, dass diese
'3' sogar ewiglich oft drin enthalten sein müsste, weil du das Spiel
immerfort so weitertreiben kannst.

Teil 2 ist nicht ganz sauber durchformuliert ...

Augenzwinkern

18.09.2004, 15:01

PSM

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Danke für eure Antworten.

@ therisen:
für den Beweis muss ich mir noch was einfallen lassen...

@ Poff: leider habe ich das Quadrat vergessen, was mir jedoch nicht aufgefallen ist. unglücklich

MfG
Patrick

EDIT: mir ist ne Idee für den Beweis gekommen:
ich nehme mal an, dass p durch 3 teilbar ist, also $\begin{eqnarray*} \frac{p}{3} \end{eqnarray*}$ . Quadriert folgt $\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{9} \end{eqnarray*}$ . Doch alles, was durch 9 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar, also folgt für p² eine Teilbarkeit durch 3.
Naja, vielleicht fällt mir noch was besseres ein...

18.09.2004, 15:41

therisen

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Zitat:

Original von PSM
EDIT: mir ist ne Idee für den Beweis gekommen:
ich nehme mal an, dass p durch 3 teilbar ist, also $\begin{eqnarray*} \frac{p}{3} \end{eqnarray*}$ . Quadriert folgt $\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{9} \end{eqnarray*}$ . Doch alles, was durch 9 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar, also folgt für p² eine Teilbarkeit durch 3.
Naja, vielleicht fällt mir noch was besseres ein...

Ja, das war der triviale Teil. Du hast von A auf B geschlossen, und nun musst du noch von B auf A schließen.

Gruß, therisen

18.09.2004, 16:44

PSM

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Zitat:

Ja, das war der triviale Teil.

Das habe ich mir schon fast gedacht.

Jetzt versuche ich von B auf A zu schließen:
$\begin{eqnarray*} p^2\in \{ 0;1;4;9;16;25;36;...\} \end{eqnarray*}$
Da p² durch 3 teilbar ist, kommen nur 9; 36; 81; usw. in Frage, also $\begin{eqnarray*} p^2\in \{9;36;81;...\} \end{eqnarray*}$ . Für p folgt dann: $\begin{eqnarray*} p\in \{3;6;9;12;...\} \end{eqnarray*}$ (die Quadratwurzeln der Zahlen der Menge von p²).
Aus der 5.Klasse kennen wir den Satz "Jede Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist."
Man sieht, dass die Zahlen der Menge von p diesem Satz entsprechen, was eine Teilbarkeit durch 3 bedeutet.

=> wenn p² durch 3 teilbar ist, dann ist auch p durch 3 teilbar.

q.e.d (!?)

MfG
Patrick

18.09.2004, 18:43

Mona Chie

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Zitat:

Original von PSM
Jetzt versuche ich von B auf A zu schließen:
$\begin{eqnarray*} p^2\in \{ 0;1;4;9;16;25;36;...\} \end{eqnarray*}$
Da p² durch 3 teilbar ist, kommen nur 9; 36; 81; usw. in Frage, also $\begin{eqnarray*} p^2\in \{9;36;81;...\} \end{eqnarray*}$ .

An dieser Stelle muss eingehakt werden: Zwar stimmt die Aussage für das angegebene Anfangsstück, aber wie geht es bei "..." weiter? Dies ist die entscheidende Stelle in der Argumentation.

Zitat:

Für p folgt dann: $\begin{eqnarray*} p\in \{3;6;9;12;...\} \end{eqnarray*}$ (die Quadratwurzeln der Zahlen der Menge von p²).
Aus der 5.Klasse kennen wir den Satz "Jede Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist."
Man sieht, dass die Zahlen der Menge von p diesem Satz entsprechen, was eine Teilbarkeit durch 3 bedeutet.

Und auch hier: "Man sieht" für jede Zahl, die wir uns bisher angeschaut haben. Aber woher wissen wir, dass es für alle gilt, ohne sie einzeln anschauen zu müssen?

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