Grenzwert einer Reihe

08.03.2007, 19:01	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Reihe Hab hier ne Aufgabe bei der ich nicht so recht weiß ob ich es richtig mache : Berechne den Grenzwert der Reihe für s = 2 und s = 4 $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac {1}{(2n+1)^s} \end{eqnarray}$ Hab einfach mal abgeschätzt und zwar für s = 2 so : $\begin{eqnarray} a_n= \frac 1 {(2n+1)^s} = \frac 1 {4n^2+4n+1} \leq \frac 1 {4n^2} = \frac 1 3 \cdot \frac {\pi^2}{6} \end{eqnarray}$ Muss ich für s = 4 auch im Nenner die gesammte Binomi ausschreiben usw... ? Oder gibt es da eine einfache Weise das abzuschätzen oder vielleicht sogar exakt zu berechnen ? Gruß Marc
08.03.2007, 19:42	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Reihe Die Abschätzung bringt dir aber nur Gewissheit, dass die Reihe konvergiert. Auf den Reihenwert kannst du damit nicht schließen. Leopold hat mal eine sehr interessante Lösung für diese Aufgaben gepostet. Ich weiß aber nicht mehr, ob das auch für Reihen oder nur für eine endliche Anzahl Summanden. Wäre nett, wenn das mal jemand bestätigen/korrigieren würde. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{(2k)^2}=\frac{1}{4}\cdot \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{24} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{(2k-1)^2}=\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k^2}-\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{(2k)^2} \end{eqnarray}$ Gleiches kannst du auch für s=4 anwenden. http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische...erwandte_Reihen
08.03.2007, 20:15	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht ja schon vielversprechen aus und ich glaube ich kenn den Threat von dem du redest. Mir bereitet allerdings folgendes noch Probleme : $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{(2k-1)^2}=\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k^2}-\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{(2k)^2} \end{eqnarray}$ Ich kann irgendwie nicht nachvollziehen wieso das so ist. Also wenn ich das mal ausklammere : $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2k-1)^2}=\frac{1}{4k^2-4k+1} \end{eqnarray}$ Wie erhalte ich denn daraus $\begin{eqnarray} \frac {1}{k^2} - \frac {1}{(2k)^2} \end{eqnarray}$
08.03.2007, 20:23	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Das gilt auch i.A. nicht. Aber schau dir das mal an: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{(2k-1)^2}&=&\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+...\\\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k^2}&=& \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+...\\\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{(2k)^2}&=&\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+... \end{eqnarray}$ Sorry Calvin, wollte mich nich vordrängeln.
08.03.2007, 20:27	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man sich die Summen mal aufschreibt, sieht man es deutlicher: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{(2k)^2}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{(2k-1)^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\ldots \end{eqnarray}$ Wenn man die Summanden der zweiten Summe von der ersten Summe abzieht, bekommt man deine Summe. EDIT Ui, da habe ich aber arg langsam getippt lol
08.03.2007, 20:34	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
wow sieht ja klasse aus ! Danke euch beiden !
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