Extremwerte LS Analysis, S.54, Nr. 9

17.09.2004, 13:32

schapp

Extremwerte LS Analysis, S.54, Nr. 9

Hallo.
Aus einem kreisförmigen Rundstab mit dem Durchmesser d=12cm soll ein rechteckiger Stab mit einem möglichst grossen rechteckigen Querschnitt gefertigt werden.
Bestimmen Sie die Seitenlängen a und b des Rechtecks.

Mein Lösungsansatz:

1. $\begin{eqnarray*} A = a*b \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = 144 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => a = \sqrt{144-b^{2}} \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} A = \sqrt{144-b^{2}} * b \end{eqnarray*}$

Frage 1: Ist der Ansatz richtig?
Frage 2: Was wäre die Ableitung von 3. und wie gehts dann weiter?

Danke

EDIT: latex-code verbessert Augenzwinkern

Gruß, therisen

17.09.2004, 13:51

hummma

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Der ansatz stimmt. 3. kannst du mit der Kettenregel und der Produktregel ableiten. Du musst das maximum der funktion bestimmen

17.09.2004, 13:56

schapp

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kettenregel kann ich noch nicht.
mit der produktregel also

$\begin{eqnarray*} \sqrt{144-2b}*1 \end{eqnarray*}$

????

und dann gleich null setzen, was kommt da raus?
und was wär dann die zweite Ableitung?

sorry ich bin grade echt überfordert.

17.09.2004, 14:18

Mathespezialschüler

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Das ist aber nicht die Produktregel! Guck sie dir nochmal an und dann probiers nochmal. Wenn ihr die Kettenregel noch nich hattet, dann musst du die Aufgabe anders lösen (s.u.), aber trotzdem solltest du die Produktregel können!

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)\cdot h(x)\ \ \Rightarrow\ f'(x)=g'(x)\cdot h(x) + h'(x)\cdot g(x) \end{eqnarray*}$

Und wenn ihr Kettenregel noch nich hattet, dann musst du nen anderen Weg finden, das abzuleiten, nämlich: quadriere die ganze Funktion. Die positiven Extremwerte (die du ja haben willst) verändern sich dadurch nicht. Multipliziere dann aus und leite dann ab und dann gleich 0 setzen.

17.09.2004, 15:03

schapp

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sag mal bitte einer, was rauskommt.

ich habe für a=6,39 und für b=9,79.

17.09.2004, 15:07

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von schapp
sag mal bitte einer, was rauskommt.

Nein, das machen wir nicht! Wir wollen hier jedem nur helfen, damit er selbst auf die Lösung kommt und nicht die HAs machen. Wir wollen ja, dass du es auch verstehst.
Und deswegen solltest du auch deinen Lösungsweg posten, damit wir eventuelle Fehler finden können! Augenzwinkern

17.09.2004, 15:13

schapp

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alles klar.
also ich hab quadriert wie du gesagt hast und bekomme dann

$\begin{eqnarray*} (144-b^{2})*b^{2} \end{eqnarray*}$

ausmultiplizieren ergibt

144b² - b^4

die ableitung davon wäre

288b - 3b³

das gleich 0 ergibt

b=0 oder b=96

und davon hab ich dann wieder die wurzel gezogen um die quadrierung rückgängig zu machen.

jetzt?

17.09.2004, 15:24

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von schapp

die ableitung davon wäre

288b - 3b³

Fast, es muss

$\begin{eqnarray*} 288b-4b^3 \end{eqnarray*}$ sein!

Zitat:

Original von schapp
und davon hab ich dann wieder die wurzel gezogen um die quadrierung rückgängig zu machen.

Warum? Überleg mal! Du hast nur die Funktionswerte, aber nicht die Argumente quadriert! stell dir mal nen Graphen vor, der hat einen Extrempunkt. Jetzt quadrierst du alle Funktionswerte. Dann ist doch der Extrempunkt an der gleichen Stelle wie vorher. DU brauchst also nicht nochmal die Wurzel ziehen, sondern du kannst gleich die Lösung nehmen!! Machs nochmal mit der verbesserten Ableitung, setze sie gleich 0 und bestimme die Nullstellen! Die, die von 0 verschieden ist, das ist dann schon dein Wert für b! Augenzwinkern

17.09.2004, 15:40

schapp

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peinlich....

also ist $\begin{eqnarray*} b=6\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ??

17.09.2004, 15:44

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von schapp
also ist $\begin{eqnarray*} b=6\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ??

Ja, und jetzt noch a ausrechnen!

PS: Dir muss nichts peinlich sein hier Augenzwinkern

17.09.2004, 15:52

schapp