Integral als Summe

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Dennis.Lopez Auf diesen Beitrag antworten »
Integral als Summe
Hallo zusammen... Bin neu hier, ist mein erster Eintrag, und naja ich frag einfach mal.
Also wir haben jetzt angefangen Integrale zu rechnen aber wie das in Mathe so ist, fängt man immer bei 0 an, das heisst in dem fall "streifenmethode" also folgendes Beispiel:

f(x)=x² Untersucht im intervall von [0;1]

Also einfach nur ein Teil von der Normalparabel

Für die Obersumme haben wir aus
folgendes gemacht:
1/n³ * 1/6n (n+1) (2n+1)

und dann halt das n mit limes gegen unendlich gehen lassen so dass am ende 1/3 rauskommt, was ja richtig ist.

So... woher hat er die Formel mit dem 1/6 er hat irgendas von Summenformel gesagt, aber ich find weder im internet, noch in der Formelsammlung sowas in der Art... Wisst ihr weiter?? meine HA besteht darin die untersumme zu bestimmen die ja im Prinzip die gleiche sein muss, wenn ich das alles richtig verstanden hab oder?? Ich bin bereits hier mit der untersumme:
(ich krieg das mit dem Sigma nicht hin)
also 1/n³ * Sigma [oben n-1] [unten i=0] [rechts i²]

Ich hoffe ihr versteht was ich meine und ihr könnt mir vielleicht helfen smile

So long verwirrt

edit: latex-code verbessert. gruß, therisen
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

die Formel die ihr verwendet habt, ist die Summenformel für die ersten n Quadratzahlen.

Das heißt, wenn du 1² + 2² + 3² + 4² usw. machst Augenzwinkern

Gruß,
Thomas
 
 
Dennis.Lopez Auf diesen Beitrag antworten »

Du sagst es Big Laugh und wie geht sie?? Also wo steht die? das mit dem 1/6 und dann die zwei Faktoren..... also wo find ich sowas?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: erste Stunde MAthe LK...
Ja, damit meint er Summenformel!



Die steht eigentlich in jeder Formelsammlung.

Zur Untersumme, die sieht dann so aus:



und da musst du dann die Summenformel oben auf (n-1) anwenden! Augenzwinkern
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

in einem relativ alten Thema, wurde das ganze schonmal angesprochen:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=524

Das heißt, eigentlich steht die Formel in deiner Formelsammlung - herleiten kannst du dir das ganze per vollständiger Induktion.

Gruß,
Thomas
Dennis.Lopez Auf diesen Beitrag antworten »
RE: erste Stunde MAthe LK...
Zur Untersumme, die sieht dann so aus:




Das muss doch
sein oder?? aber danke und juhu ich hab die scheiss Formel endlich gefundenBig Laugh
flixgott Auf diesen Beitrag antworten »

ob du nun bei null oder eins anfängs ist dfoch offenlundig egal, da i² für i=0 eh null ist.. aber formal hast du recht!
Dennis.Lopez Auf diesen Beitrag antworten »

ach stimmt ja :P

aber trotzdem danke Mit Zunge
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thomas
herleiten kannst du dir das ganze per vollständiger Induktion.


Du meinst beweisen Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: erste Stunde MAthe LK...
Zitat:
Original von Dennis.Lopez
Das muss doch
sein oder?? aber danke und juhu ich hab die scheiss Formel endlich gefundenBig Laugh


Hier musst du jetzt auch nochmal die Formel anwenden und wie bei der Obersumme ausrechnen!! Das is ja deine Aufgabe.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

wenn wir schon bei dieser Summenformel sind.Beweis mit vollständiger Induktion ist leicht.Aber weißt jemand,wie man sie herleitet?
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi n!.
Es gibt viele Möglichkeiten, die Formeln für Summen der Form
mit herzuleiten.
Ein Weg führt zum Beispiel über die Bernoullizahlen, mit der sich für jedes natürliche p eine explizite Summenformel angeben lässt.
Außerdem kann man in sehr eleganter Weise Riemann-Stieltjes-Integrale für die Herleitung einer Formel benutzen, die es gestattet, die Summenformel für p rekursiv unter Verwendung der Summenformeln für 1,2,...,p-1 anzugeben.
Wenn du Interesse hast, kann ich das weiter ausführen, es wäre aber nicht schlecht, wenn du ein bisschen was zu deinen mathematischen Vorkenntnissen sagen könntest.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

interessieren tut es mich brennend um es mal so zu sagen. Augenzwinkern
Vorkenntnisse?Naja,mit Summenzeichen haben wir nur sehr wenig gearbeitet.Musste mir das per Bücher etc quasi selbst beibringen,so wie das Anwenden des Summenzeichen bei vollständiger Induktion etc.
Wir bekamen halt die Summenformeln aufgeschrieben um damals Unter und Obersummen etc zu berechnen.Aber die Herleitung wurde nie genau erklärt.Ich bekam vom Lehrer immer gesagt,dass es äußerst kompliziert wäre.
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn schonmal von den Bernoullizahlen gehört?
Oder bist du vielleicht ein bisschen mit der Theorie der Riemann-Stieltjes-Integrale vertraut?
Dann könnte ich dir die entsprechenden Herleitungen liefern.
Vielleicht kennt ja aber auch noch jemand etwas elementarere Methoden, um die Summenformeln zu gewinnen.
henrik Auf diesen Beitrag antworten »

das zwar nich aber wenn wir schon beim Thema sind hier was schönes :




smile

die is doch toll
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenn eine, mit der man auch für andere Potenzen, z.B. 4,5 etc. also für eine Summenformel herleiten kann, dazu braucht mans nur übertragen. Aber darum gehts ja eigentlich nich...
Ich hab den Beweis zuerst bei mythos gesehen, allerdings haben wir ihn vor zwei Wochen genauso im Profilkurs gemacht. Man braucht dazu die Formel , ich hoffe, die habt ihr schon (bewiesen). Hier ist der Beweis/die Herleitung:





Außerdem gilt:



Also mit gleichsetzen:











Wenn du schonmal was von Linearfaktorenzerlegung gehört hast, kannst du das jetzt rechts machen! Dann kommst du auch auf, das Ergebnis, denn Nullstellen auf der rechten Seite sind 0, -1 , -1/2. Also:





Wenn du das mit der Linearfaktorzerlegung noch nich hattest, dann musst du dich damit begnügen, es auszumultiplizieren, um zu zeigen, dass das das gleiche ist.
Wenn du was nicht verstanden hast, vor allem mit dem Summenzeichen, sag Bescheid und frag nach!! Augenzwinkern
n! Auf diesen Beitrag antworten »

dann wollen wir mal: Ich sag mal so,ab "also mit Gleichsetzen" ist alles klar (auch das mit der Linearfaktorzerlegung),aber die erste und dritte Zeile bleiben mir (noch) ein Rätsel.Vor allem das was nach den Summenzeichen auftaucht ist mir noch nicht ganz klar

aber ansonsten natürlich erstmal vielen Dank für die große Mühe!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Beweisverfahren von Mythos/MSS hat den folgenden Hintergrund.

Betrachte die Formel (Großer binomischer Lehrsatz)



Falls du diese nicht kennst, so mußt du dir nur klar machen, daß das für k=2 die bekannte binomische Formel ist:



Für k=3,4,5 gilt:





Die Formeln kannst du dir herleiten, indem du einfach die linke Seite ausmultiplizierst, wobei du immer die vorige Formel mitverwenden kannst. Ich zeige dir dies einmal am Beispiel k=3 (ich verwende dabei die Formel für k=2):



Und so kannst du dich von Hochzahl zu Hochzahl weiter vorarbeiten und bekommst die obigen Formeln.

Jetzt setzen wir in die Formel für k=4 nacheinander die ganzen Zahlen x=0,1,2,...,n ein. Wir erhalten die n+1 Gleichungen:



Jetzt werden all diese Gleichungen addiert. Wenn du dabei rechts spaltenweise zusammenfaßt, findest du



Jetzt wird die erste Klammer rechts auf beiden Seiten subtrahiert. Dann bleibt links nur noch übrig. Alles, wo "0 hoch irgendetwas steht", lassen wir auch gleich weg, und ganz rechts sind es genau n+1 Einsen. Daher gilt:



Diese Gleichung wird jetzt, ohne die Klammern zu zerstören, nach der ersten Klammer rechts aufgelöst:



Diese Formel zeigt Folgendes: Wenn dir Formeln für die Summe der Zahlen von 1 bis n und die Summe der Zahlen von 1² bis n² bereits bekannt sind, erhältst du aus diesen jetzt eine Formel für die Summe der Kubikzahlen von 1³ bis n³:




Und entsprechend geht es weiter, wenn du für höhere Exponenten k Formeln entwickeln willst. Wenn du dir die Formeln für k=1,2,3 einmal genauer anschaust, so stellst du fest: Die Summe der k-ten Potenzen von 1 hoch k bis n hoch k ist ein Polynom in n vom Grade k+1, und zwar ohne konstantes Glied. Und das iterative Vorgehen zeigt, daß dies für jedes k richtig bleibt (Beweis!). Mit diesem Wissen kannst du die Formeln natürlich auch ganz anders herleiten. Für k=2 geht das so:



mit noch zu bestimmenden Konstanten a,b,c. Setzt du in diese Formel der Reihe nach n=1,2,3 ein, so bekommst du das folgende lineare Gleichungssystem in a,b,c:



Dieses kannst du z.B. mit dem Gaußschen Algorithmus lösen:



Daher gilt:



Ja, noch eine weitere Vereinfachung wäre möglich. Man kann nämlich dem Berechnungsverfahren weiter oben entnehmen, daß der höchste Koeffizient immer sein muß, so daß man für k=2 gleich den folgenden Ansatz wählen kann:



Dann hat man nur noch zwei Unbekannte b,c zu bestimmen.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

oh man,da fehlen mir echt die Worte!!
Was kann man außer Danke noch sagen?

der große Binomische Lehrsatz steckte also dahinter.Jetzt ist das Prinzip von MSS natürlich auch klar.
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein lautet die Formel zur rekursiven Berechnung mit der Bezeichnung für übrigens so:
für
wobei natürlich
gilt.
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch eine alternative Herleitungsmöglichkeit dieses allgemeinen Sachverhalts, den man durch ein bisschen Rechnerei sicher auch auf dem von MSS und Leopold ausgeführten Weg gewinnen könnte:
Wie man sich leicht klar macht, gilt:
(1)
(Dabei bezeichnet [x] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x).
Außerdem gilt
(2)
sowie
(3)
Man sieht leicht, dass gilt:

Mit dem binomischen Lehrsatz also:

Durch Vertauschen der Summationsreihenfolge etc folgt:

Mit (3) liefert dies in (2) unter Beachtung von (1):

oder auch

und damit durch auflösen nach unmittelbar die behauptete Gleichung.
Negima Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

da ich bald ein fachreferat halten muss und die potenzsumme für x^6 darstellen soll brauche ich etwas hilfe da ich keinerlei ahnung habe wie ich das angehe selbst mit diesen formeln die ihr geschrieben habt muss ich zugeben verstehe ich nahezu garnichts...

ich komme aus diesem thema Potenzsumme x^6 (fachreferatshilfe) und habe auch antwort bekommen das ich mich hier umschauen soll doch verstehe ich nicht ganz was ich tun könnte um mein problem zu lösten...
könntet ihr mir einen ansatz geben wie ich auf die potenzsumme x^6 komme? oder einen konkreten tipp? ich wäre sehr verbunden... dort oben steht auch das man durch die vorhergehende potenzsumme die nächst höhere erschließen kann doch verstehe ich nicht ganz wie und es wäre nett wenn jemand es mir erklären könnte... Hilfe
hier nochmal die potenzsumme für x^5 über einen ansatz oder hinweiß oder tipp würde ich mich riesig freuen.



mfg Negima
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mhh ... vielleicht wäre es besser gewesen, wenn du für deine Frage einen eigenen Thread aufgemacht hättest. Denn es ist ein bisschen mühsam sich durch einen so langen Thread durcharbeiten zu müssen ...

Also auf die Gefahr hin, dass vieles von dem was ich jetzt schreibe schon erwähnt wurde:

Aufgaben dieser Art kann man am einfachsten dadurch angehen, dass man den folgenden Ausdruck bildet:

(1)

Dies legt nahe, dass die Summenformel ein Polynom 5. Grades sein wird.

Wir vermuten

(2)

Setzt man nun (2) in (1) ein, so erhält man auf beiden Seiten ein Polynom 5. Grades. Auf der linken Seite stehen die Koeffizienten A, B, C, D, E. Denn F entfällt bei der Subtraktion.

Durch Vergleich der Koeffizienten erhält man 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten. Das ist zwar mühsam aber man kann sie auflösen. Big Laugh

Die Unbekannte F erhält man dann einfach, indem man die erhaltene Formel für n=1 auswertet.

Dieses Verfahren dürfte weitaus einfacher als ein Induktionsbeweis sein. Und zum anderen muss man die Summenformel nicht "raten", sondern kann sie "errechnen".

Für die Summe der 6. Potenzen geht das dann ganz genauso. Man hat halt nur eine Variable mehr. Aber die macht den Kohl dann auch nicht mehr fett, oder? Big Laugh

Viel Erfog dabei!

Grüße
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