Basis berechnen

08.03.2007, 22:22

JayDi

Basis berechnen

Einen wunderschönen guten Abend wünsch ich

Durch die Matrix A wird eine Abbildung definiert:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 & -1 \\0 & 2 & 2 & 0 \\1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich soll nun die Basis bestimmen.

Die erste und zweite Zeile schreibe ich so hin, dann ziehe ich die zweite von der ersten ab (das wird die dritte Zeile)

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 & -1 \\0 & 2 & 2 & 0 \\0 & 4 & 3 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun multipliziere ich die zweite Zeile mal 2 und reche Zeile2*2 - Zeile 3 = Zeile 3
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 & -1 \\0 & 2 & 2 & 0 \\0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Jetzt wäre meine Basis aber doch

B={ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ }

Angeblich sollte die Basis aber den Rang 3 haben (sagt man das so?)
Daher glaube ich dass meine Lösung falsch ist.

08.03.2007, 22:31

tigerbine

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RE: Basis berechnen
Also so formuliert macht das keinen Sinn. Eine Matrix stellt eine Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen dar.

Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem eines Vektorraums

Außerdem kannst du die Umformungen so nicht schreiben. Denn dein ersters A ist nicht mehr dein zweites A etc. Was sollst du genau bestimmen? Die Basis wovon?

08.03.2007, 22:34

JayDi

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Eigentlich soll ich prüfen, ob die Abbildung injektiv oder surjektiv ist. Und dann wollte ich eine Basis des Bildes bilden.
Wie soll ich es denn sonst machen?

08.03.2007, 22:42

Index

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RE: Basis berechnen
Hallo

"die" Basis gibt es nicht,
möchtest Du eine Basis des Kernes oder des Bildes deiner Abbildung bestimmen ?
Ich nehme an Du bist an einer Basis des Bildes interessiert.
4 Vektoren sind im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ immer linear abhängig.

08.03.2007, 22:47

tigerbine

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Ok, dann musst du den Rang der Matrix bestimmen. Das ist die Dimension des Bildraums der zug. Linearen Abbildung:

$\begin{eqnarray*} \phi:~\mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Die Anwendung des Gauß-algorithmus ist schon richtig, nur darfst du eben nicht immer A schreiben. Ich gehe jetzt einfach mal davona us, dass du richtig gerechnet hast, dann haben wir am Ende die Treppenmatrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 & -1 \\0 & 2 & 2 & 0 \\0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Deren ersten drei Spaltenvektoren sind offensichtlich linear unabhängig. Da sie aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ stammen, ist der vierte auf jedenfall durch sie darstellbar und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \text{rang}(A) = 3 \end{eqnarray*}$

Anwenden der Dimensionssatzes liefert uns dann noch den Defekt (Dimension des Kerns) von A:

$\begin{eqnarray*} \text{defekt}(A) = 4 - 3 = 1 \end{eqnarray*}$

Was folgerst Du nun für injektiv bzw. surjektiv?

08.03.2007, 22:47

JayDi

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Aber wenn ich die Tigerbine richtig verstanden habe, war das mit der Umformung auch totaler Dreck.
Können wir von dem Standpunkt ausgehen dass ich die Aufgabe lösen möchte? Also wäre der Kern gleich Null, wäre die Abbildung ja injektiv daraus folgerte ich dass wenn die basis des Bildes ein Element oder mehrere enthält, kann man auf surjektivität schließen. aber das is wohl falsch?

08.03.2007, 22:49

tigerbine

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Also JayDi lies mal mein nächstes Post und

@Index: Er hat doch geschrieben, was er machen soll. Sagen ob die Abbildung injektiv bzw. surjektiv ist.

08.03.2007, 22:54

JayDi

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Weil der Kern die Dim 1 hat, ist es nicht injektiv ist.

Aber wie man auf surjektiv schließen kann, ist mir nicht ganz verständlich. Reicht da rang A = 1 oder muss der höher als 1 sein?

Ich habe hier auch gerade die Formel f: V -> W

F surjektiv <=> Im F = W

Weil Im F den Rang 3 hat und W die Dim 3, ist es surjektiv. Kommt das so in etwa hin?

08.03.2007, 22:57

tigerbine

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Wieso ist rang(A) = 1? unglücklich

Damit eine Abbildung surjektiv ist, muss gelten:

$\begin{eqnarray*} Im(A) = W \end{eqnarray*}$ (*)

Da gilt:

$\begin{eqnarray*} Im(A) \subseteq W \end{eqnarray*}$

reicht es für (*) aus zu zeigen, dass die Dimensionen gleich sind.

Zitat:

Weil der Kern die Dim 1 hat, ist es nicht injektiv ist.

Zitat:

Weil Im F den Rang 3 hat und W die Dim 3, ist es surjektiv. Kommt das so in etwa hin?

08.03.2007, 23:02

Index

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@tigerbine: Zu dem Zeitpunkt, zu dem JayDi seinen 2.Beitrag eingestellt hatte, war ich noch beim Verfassen meiner Antwort , hat sich also überschnitten.

08.03.2007, 23:03

JayDi

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Zitat:

Original von tigerbine
Wieso ist rang(A) = 1? unglücklich

Ich hatte mich da nicht auf die Formel

$\begin{eqnarray*} Im(A) = W \end{eqnarray*}$

bezogen, sondern auf ein anderes mögliches Ergebnis.

Aber ok, jetzt habe ich es verstanden! Schönen Dank, tigerbine, index.

09.03.2007, 01:21

WebFritzi

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Zitat:

Weil Im F den Rang 3 hat und W die Dim 3, ist es surjektiv. Kommt das so in etwa hin?

Du meinst das richtige, aber Im(F) hat keinen Rang. Einen Rang kann nur eine Matrix haben. Im(F) ist aber ein (Unter-)Vektorraum. Die richtige Formulierung ist: "Weil Im(F) die Dimension 3 hat, ...". Gleichzeitig ist natürlich die Dimension von Im(F) der Rang von A.

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