Vereinfachen....

18.09.2004, 12:30

Karl-Hanz

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Vereinfachen....

Hallo...

Ich habe hier einen Asdruck:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt{\sqrt{64a^{12}}}} \end{eqnarray*}$

den ich vereinfachen soll soweit es geht. Ich bin jetzt soweit gekommen:

$\begin{eqnarray*} 4a^{4} \end{eqnarray*}$

Weiter weiss ich nicht, ich vermute es ist das Limit. Kann das einer Bestaetigen? Gott

Gott

18.09.2004, 12:51

Steve_FL

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nein, das ist nicht das Limit Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und es stimmt auch nicht.

Siehs dir mal so an:

$\begin{eqnarray*} (((64a^{12})^{0.5})^{0.5})^{0.5} = (64a^{12})^{0.5 * 0.5 * 0.5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (64a^{12})^{0.125} = \sqrt[8]{64a^{12}} \end{eqnarray*}$

Und wie gehts jetzt wohl weiter?

Mit welcher Form rechnest du lieber weiter?

mfg

18.09.2004, 12:52

grybl

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RE: Vereinfachen....
deine Lösung ist leider falsch:

betrachte nur einmal allein $\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt{\sqrt{64}}}=\sqrt{\sqrt{8}} \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

18.09.2004, 12:53

therisen

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$\begin{eqnarray*} 8a^6\cdot8a^6=64a^{12} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{8}a^4\cdot \sqrt{8}a^4 =8a^8 \end{eqnarray*}$
Hilft dir das weiter?

Gruß, therisen

18.09.2004, 13:24

Karl-Hanz

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Zitat:

Original von Steve_FL
nein, das ist nicht das Limit Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und es stimmt auch nicht.

Siehs dir mal so an:

$\begin{eqnarray*} (((64a^{12})^{0.5})^{0.5})^{0.5} = (64a^{12})^{0.5 * 0.5 * 0.5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (64a^{12})^{0.125} = \sqrt[8]{64a^{12}} \end{eqnarray*}$

Und wie gehts jetzt wohl weiter?

Mit welcher Form rechnest du lieber weiter?

mfg

Du machst mich ganz Kirre... Ich setzte einfach mal a=3

Wenn ich das nun in meinen Ausgangsausdruck einsetzte, bekomme ich 324 als ergebniss. Bei deinem letzten:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{64a^{12}} \end{eqnarray*}$

bekomme ich 8.7388 herraus. Aber bei meinem letzten:

$\begin{eqnarray*} 4a^{4} \end{eqnarray*}$

bekomme ich auch 324 raus.

Also wenn du recht hast, bin ich Derbe auf dem Holzweg. Ich dachte bisher immer dass bei der Vereinfachung das endRechenergebniss nicht aendern darf... da es ja nur eine Vereinfachung sein soll um die Formellaenge zu reduzieren...

Hilfe

Hilfe

18.09.2004, 13:46

grybl

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@Karl-Hanz:
dein Ergebnis ist ja falsch, daher kann ja auch nicht das gleiche herauskommen, wenn du in angabe und dein ergebnis einsetzt!

Wie bist du denn überhaupt auf 4 gekommen?

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18.09.2004, 13:58

Karl-Hanz

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Hallo...

Ich habe folgenden Weg genommen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt{\sqrt{64a^{12}}}} \end{eqnarray*}$

Ich habe die 3 Wurzeln als Exponent dargestellt:

$\begin{eqnarray*} (64a^{12})^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich Potenziert:

$\begin{eqnarray*} 64^{\frac{1}{3}}*a^{\frac{12}{3}} \end{eqnarray*}$

und habe dann:

$\begin{eqnarray*} 4a^{4} \end{eqnarray*}$

herrausbekommen... verwirrt

verwirrt

18.09.2004, 14:13

grybl

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Da hast du leider etwas total falsch gemacht!

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ !!

Steve_FL hat dir schon schön vorgeführt, wie du aus 3 Wurzeln eine erhältst.

Ich zeige es dir nochmal mit Brüchen, vielleicht wirds dann klarer? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt{\sqrt{64\cdot a^{12}}}}=(((2^6\cdot a^{12})^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}) ^\frac{1}{2}=2^\frac{6}{8}\cdot a^\frac{12}{8} = .... \end{eqnarray*}$

18.09.2004, 14:42

Karl-Hanz

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Alter Schwede... Ich sah den Wald vor lauter Baeumen nicht... Drei Wurzeln sind ja unmoeglich ^1/3 sondern ^(1/2^3) = ^1/8

Jetzt ist Licht am Ende des Tunnels in Sicht.

meine Loesung sieht jetzt so aus:

$\begin{eqnarray*} 2^{\frac{3}{4}}*a^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Falls noch Verbesserungen dasind, nur her damit...

18.09.2004, 16:23

grybl

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höchstens
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{8}\cdot a\cdot \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ smile

smile

18.09.2004, 18:09

Karl-Hanz

Auf diesen Beitrag antworten »

Das macht die sache wieder zu lang... Ich lass das so wie ich es habe smile

smile

Danke fuer deine Hilfe.

19.09.2004, 12:38

Karl-Hanz

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo...

Ich habe hier jetzt folgenden Therm:

$\begin{eqnarray*} (\frac{x^{n}*x^{-1}}{x^{n-1}})^{-n} \end{eqnarray*}$

Ich ziehe die sachen ueber dem Bruchstrich zusammen:

$\begin{eqnarray*} (\frac{x^{n-1}}{x^{n-1}})^{-n} \end{eqnarray*}$

jetzt kuerze ich die $\begin{eqnarray*} x^{n-1} \end{eqnarray*}$ weg und uebrig bleibt:

$\begin{eqnarray*} 1^{-n} \end{eqnarray*}$

Irgendwie glaube ich ich liege falsch mit dem Ergebniss geschockt

geschockt

19.09.2004, 12:44

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Is ales vollkommen richtig! Die Aufgabe is zwar dann n bißchen dumm, aber dein Ergebnis ist richtig.
Du kannst auch noch n bißchen weitermachen:

$\begin{eqnarray*} 1^{-n}=1 \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.09.2004, 14:27

Karl-Hanz

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm.... Nagut. Ich habe nicht geglaubt das, dass so fertig ist. smile

smile

naechste Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{\sqrt[3]{a+b}*\sqrt{a-b}} \end{eqnarray*}$

Ich loese die Wurzeln auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{(a^{2}-b^{2})^{0,5}}{(a+b)^{0,25}*(a-b)^{0,5} } \end{eqnarray*}$

Ich ziehe die unteren Ausdruecke zusammen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(a^{2}-b^{2})^{0,5}}{(a-b)^{0,75} } \end{eqnarray*}$

Wie mache ich jetzt weiter? Ich kann ja nicht den oberen Ausdruck so zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{(a-b)^{0,75} } \end{eqnarray*}$

??

19.09.2004, 14:44

bruchpilot

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a+b} \end{eqnarray*}$ ist aber nicht $\begin{eqnarray*} (a+b)^{0,25} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} (a+b)^{\frac 1 3} = (a+b)^{0,333...} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} (a+b)^{irgendwas}(a-b)^{irgendwas} \end{eqnarray*}$ kannste auch nicht so einfach zusammenfassen.

19.09.2004, 14:59

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch mal das hier

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a+b}=(a+b)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

in eine solche Form zu bringen:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{\frac{1}{3}}=(a+b)^{\frac{1}{2} + x} \end{eqnarray*}$

Also berechne mal x!!!!

Ürigens heißt es:

Nagut. Ich habe nicht geglaubt, dass das so fertig ist.

So wie du es geschrieben hast, sahs ja schrecklich aus unglücklich

unglücklich

19.09.2004, 14:59

Steve_FL

Auf diesen Beitrag antworten »

allerdings Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du kannst das nicht so einfach zusammenfassen.
Aber du kannst es mal so versuchen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{\sqrt[3]{a+b} \cdot sqrt{a-b}} \end{eqnarray*}$

Du kannst jetzt den Bruch auflösen, indem du die Exponenten von unten einfach positiv machst:

$\begin{eqnarray*} (a^2 - b^2)^{0.5} \cdot (a-b)^{-0.5} \cdot (a+b)^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Und wenn du jetzt noch die erste dritte binomische Formel anwendest kommst du auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} ((a + b) \cdot (a-b))^{0.5} \cdot (a-b)^{-0.5} \cdot (a+b)^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

und jetzt trennen wir das noch etwas und fassen zusammen:
$\begin{eqnarray*} ((a + b)^{0.5} \cdot (a-b)^{0.5} \cdot (a-b)^{-0.5} \cdot (a+b)^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

und jetzt bleibt nur noch eine Klammer mit einem Exponent übrig. Welche?

Versuch aber mal, das selbst noch soweit umzuformen. Ich hab am Schluss nicht mehr mit allen genauen Schritten...

mfg

19.09.2004, 15:04

Karl-Hanz

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Zitat:

Original von bruchpilot
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a+b} \end{eqnarray*}$ ist aber nicht $\begin{eqnarray*} (a+b)^{0,25} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} (a+b)^{\frac 1 3} = (a+b)^{0,333...} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} (a+b)^{irgendwas}(a-b)^{irgendwas} \end{eqnarray*}$ kannste auch nicht so einfach zusammenfassen.

Ich dachte das geht so:

Wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{(a+b)} = (a+b)^{0,5} \end{eqnarray*}$

und:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{(a+b)} = (a+b)^{0,5 * 0,5} = (a+b)^{0,25} \end{eqnarray*}$

Wie schlaegst du denn vor, soll ich das zusammenfassen?

19.09.2004, 15:08

hummma

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} := x^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

19.09.2004, 15:48

Karl-Hanz

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Also das mit dem Binom ist eine idee...

Ich bin jetzt hier:

$\begin{eqnarray*} ((a + b)^{0.5} \cdot (a-b)^{0.5} \cdot (a-b)^{-0.5} \cdot (a+b)^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

ich Kuerze jetzt:

$\begin{eqnarray*} ((a + b)^{0.5} \cdot (a+b)^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

und nun kann ich doch beide wieder mit dem 3. Binom zusammenziehen, und die Exponenten Addieren:

$\begin{eqnarray*} (a^2 - b^2)^{\frac{1}{6}} \end{eqnarray*}$

Narf Buschmann

Buschmann

19.09.2004, 17:16

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

was ist dein drittes Binom? falls du damit a-b meinst, das hast du ja gekürzt, also bleibt nur noch

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{\frac{1}{2} } \cdot (a+b)^{-\frac{1}{3}}=(a+b)^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{a+b} \end{eqnarray*}$

19.09.2004, 17:26

Karl-Hanz

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das meine ich $\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b) \end{eqnarray*}$ Das ist laut meiner Liste die "3. Binomische Formel"

// edit // wegen den Exponenten nennen wir es einfach Kuerzen smile

smile

19.09.2004, 17:30

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

Die 3. binomische Formel hast du ja verwendet, um die Wurzel im Zähler auseinanderzuziehen. $\begin{eqnarray*} \sqrt{a-b} \end{eqnarray*}$ steht ja dann sowohl im Zähler als auch im Nenner und wird gekürzt. Daher bleiben nur mehr die Potenzen von a+b in Zähler und Nenner über -> siehe mein letztes post, dort ist dann das Ergebnis.

Warum willst du wieder a-b "auferstehen" lassen?

19.09.2004, 17:51

Karl-Hanz

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von grybl
Die 3. binomische Formel hast du ja verwendet, um die Wurzel im Zähler auseinanderzuziehen. $\begin{eqnarray*} \sqrt{a-b} \end{eqnarray*}$ steht ja dann sowohl im Zähler als auch im Nenner und wird gekürzt. Daher bleiben nur mehr die Potenzen von a+b in Zähler und Nenner über -> siehe mein letztes post, dort ist dann das Ergebnis.

Warum willst du wieder a-b "auferstehen" lassen?

Weil der Professor der den "Brueckenkurs" Mathe gibt, einfach in Ergebnissen moeglichst wenig Wurzeln sehen will... :P

19.09.2004, 18:06

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Weil der Professor der den "Brueckenkurs" Mathe gibt, einfach in Ergebnissen moeglichst wenig Wurzeln sehen will...

Beim Ergebnis ist dann eh nur noch eine Wurzel und wenn die nicht gewünscht wird, dann schreib halt 1/6 in den Exponenten. Ich gehe zwar davon aus, dass Mathematiker keine negativen oder gebrochenen Exponenten im Ergebnis haben wollen.

Nur versteh ich immer noch nicht wofür a-b her soll und überhaupt, wo kommt es her? unglücklich

unglücklich

19.09.2004, 23:26

Karl-Hanz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich geb es zu, das a-b war recht sinnlos, es ginge auch ohne. Nur hat das "komplette" aufloesen des ausdrucks:

$\begin{eqnarray*} (a^2 -b^2)^{0,5} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (a-b)^{0,5} * (a+b)^{0,5} \end{eqnarray*}$

mich erst auf den Druecker gebracht, dass ich ja die Haelfte des Thermes kuerzen kann.

Das war eine Eselsbruecke, dank an Steve_FL an dieser Stelle.

Und allen anderen auch smile

smile

20.09.2004, 00:07

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Karl-Hanz
Hallo...

Ich habe folgenden Weg genommen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt{\sqrt{64a^{12}}}} \end{eqnarray*}$

Ich habe die 3 Wurzeln als Exponent dargestellt:

$\begin{eqnarray*} (64a^{12})^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich Potenziert:

$\begin{eqnarray*} 64^{\frac{1}{3}}*a^{\frac{12}{3}} \end{eqnarray*}$

und habe dann:

$\begin{eqnarray*} 4a^{4} \end{eqnarray*}$

herrausbekommen... verwirrt

verwirrt

ich bin auch schon lange, viel länger aus der schule:
dein weg war gar nicht so daneben:
du hättest nur dich daran erinnern sollen, daß die wurzel die potenz 1/2 bedeutet und man man die exponenten multiplizieren muß!!
also 3 (quadrat)wurzeln = 1/2*1/2*1/2 = 1/8 statt 1/3

und schon hättest du die richtige lösung gehabt

werner

20.09.2004, 18:56

Karl-Hanz

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Hallo... Ich habe gestern den ganzen Tag gelernt und war durch den Wind. Das Ergebniss der letzten Aufgabe ist natuerlich:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{1/6} \end{eqnarray*}$

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