Grenzwert Aufgabe e^-x

18.09.2004, 13:48

Basti_mp

Grenzwert Aufgabe e^-x

Hallo zusammen, schreibe bald meine Klausur in Mathe und bekomme folgende Übungsaufgabe nicht hin:

Habe euch einfach mal den Aufgabenzettel eingescannt um mögliche Missverständnisse vorzubeugen!!
Mir geht es nur um den Teil A (Dreieck)

http://www.zone-web.de/nicht_loeschen/mathe2.jpg

Mein Ansatz:
Tangentengleichung bestimmen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=mx+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t(a)=ma+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=t(a)-ma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =f'(a)x+f(a)-f'(a)a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =f'(a)(x-a)+f(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t(x) = -e^{-a}(x-a)+e^{-a} \end{eqnarray*}$

Nullstellen:
$\begin{eqnarray*} 0= -e^{-a}(x-a)+e^{-a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac{-e^{-a}}{-e^{-a}} +a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=a+1 \end{eqnarray*}$

So wie macheich jetzt weiter, infern das richtig ist was ich bislang gemacht habe??

edit: Mal die Exponenten richtig geschrieben (Mazze)

18.09.2004, 14:16

Mazze

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Also die Tangente kann ich nachvollziehen , aber wo nimmst Du die 2 her bei der Nullstelle. Die 0 Stelle ist unter Anderem auch vom Anstieg abhängig, da darfst Du nicht einfach für a = 2 setzen. Zumal Du dann jedes a durch 2 ersetzen musst! Ich vermute Tipfehler?

Im Übrigen ist

$\begin{eqnarray*} \frac{-e^{-a}}{-e^{-a}} = 1 \end{eqnarray*}$

also folgt

x = a+1

Was willst Du eigentlich machen? Ich vermute die Parkfläche maximieren? Dann musst Du die Tangente so wählen das das zugehörige Dreieck maximal wird. Sollte es in diese Richtung gehen schau dir mal die Beispielsammlung an und den Workshop.

18.09.2004, 14:34

Basti_mp

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Das mit der 2 war ein Tippfehler, da sollte ein a stehen ;-) (habe es korrigiert...)

Ok , einvertsanden :P

Zitat:

Original von Mazze
Was willst Du eigentlich machen? Ich vermute die Parkfläche maximieren? Dann musst Du die Tangente so wählen das das zugehörige Dreieck maximal wird. Sollte es in diese Richtung gehen schau dir mal die Beispielsammlung an und den Workshop.

Ja ich will die größte zu erreichende Parkfläche erhalten! Ich schaue mir mal die Workshops an...

EDIT:
Also der workshop und die anderen Aufagben helfen mir auch nicht wirklich weiter...

18.09.2004, 15:51

Mazze

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Du musst doch jetzt nur noch die Funktionen zusammen in eine packen.
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2}*g*h \end{eqnarray*}$

g ist abhängig von der Nullstelle, für g gilt

g = (a+1)

h ist abhängig vom Schnittpunkt der tangenten an die y-Achse

h = t(0)

Damit kannst Du dann max(A) bestimmen.

18.09.2004, 15:57

Poff

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wenn dein 'Bild' und deine Beschreibung vollständig sind,
dann brauchst nur rechnen wo das Dreieck maximal wird, denn
das Dreieck durch den Berührungspunkt des Rechecks mit dem Fluss
ist immer größer als das Rechteck ...

Augenzwinkern

18.09.2004, 17:41

Basti_mp

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oK

$\begin{eqnarray*} A= 1/2 g*h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= 1/2 (1+a) * h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(o)=-e^{-a}(0-a)+e^{-a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(o)=ea^{-a}+e^{-a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-e^{a}}{e^{-a}}=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{2} (1+a) (\frac{-e^{a}}{e^{-a}} ) \end{eqnarray*}$

irgendwie kommt mir das falsch vor..!?

18.09.2004, 18:27

Mazze

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Nun ja, es kommt Dir falsch vor weil es falsch ist

$\begin{eqnarray*} t(o)=-e^{-a}(0-a)+e^{-a} = -a*(-e)^{-a} + e^{-a} \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} t(o)= -a*-1*e^{-a} + e^{-a} \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} t(o)= \frac{a}{e^a} + \frac{1}{e^a} \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} t(o)= \frac{(a+1)}{e^a} \end{eqnarray*}$

Und daraus folgt für f(A)

$\begin{eqnarray*} f(A) = \frac{1}{2}*\frac{(a+1)^2}{e^a} \end{eqnarray*}$

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