Binomialreihe

09.03.2007, 00:47

SilverBullet

Binomialreihe

Hallo brauch nen guten Ansatz bei folgender Aufgabe :

Sei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist, dass die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\dbinom x n \end{eqnarray*}$
absolut konvergiert.

Hab zwar die Lösung da die Aufgabe aus dem Forster ist jedoch will ich es anders hinbekommen als auf dem "Musterweg".

Hab an das Quotientenkriterium gedacht da erhalte ich am Ende sowas :

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{nx-n^2+x+1} \end{eqnarray*}$

Kann ich damit was anfangen ? Ich mein es ist ja definitiv kleiner als 1 oder ?
Gibt es nen alternativen Lösungsweg ?

Gruß
Marc

09.03.2007, 08:56

Dual Space

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RE: Binomialreihe

Zitat:

Original von SilverBullet
Hab an das Quotientenkriterium gedacht da erhalte ich am Ende sowas :

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{nx-n^2+x+1} \end{eqnarray*}$

Kann ich damit was anfangen ? Ich mein es ist ja definitiv kleiner als 1 oder ?

Sogar kleiner als 1/(1+x). Augenzwinkern

09.03.2007, 14:07

SilverBullet

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oki danke sehr smile

Dachte es gibt da nen Trick oder sonst etwas.
Hauptsache es passt so smile

09.03.2007, 15:00

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Ich verstehe nicht, was hier passen soll. unglücklich

Zunächst mal kommt als Quotient der Reihenglieder sowas raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\binom{x}{n+1}}{\binom{x}{n}} = \frac{x-n}{n+1} \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1 \end{eqnarray*}$ .

Das nützt dir in Hinblick auf Reihenkonvergenz nicht das geringste...

Da müssen andere Mittel ran.

09.03.2007, 17:06

SilverBullet

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Dann hab ich mich hier irgendwo vertan :

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\binom{x}{n+1}}{\binom{x}{n}} = \frac {\frac {x!}{(n+1)!(x-n+1)!}}{\frac {x!}{n!(x-n)!}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {x!n!(x-n)!}{x!(n+1)!(x-n+1)!}=\frac {n!(x-n)!}{(n+1)!(x-n+1)!}=\frac {(x-n)!} {(n+1) \cdot (x-n+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {1} {(n+1)(x-n+1)} \leq \frac {1}{1+x} < 1 \end{eqnarray*}$

Habs mal ausgeschrieben... Wo hab ich den Fehler ?

Zitat:

Da müssen andere Mittel ran.

Welche ?

09.03.2007, 17:09

Calvin

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Zitat:

Original von SilverBullet
$\begin{eqnarray*} \frac{\binom{x}{n+1}}{\binom{x}{n}} = \frac {\frac {x!}{(n+1)!(x-n+1)!}}{\frac {x!}{n!(x-n)!}} \end{eqnarray*}$

Da fehlen noch ein Klammernpaar!

$\begin{eqnarray*} \frac{\binom{x}{n+1}}{\binom{x}{n}} = \frac {\frac {x!}{(n+1)!(x-(n+1))!}}{\frac {x!}{n!(x-n)!}} \end{eqnarray*}$

09.03.2007, 17:38

SilverBullet

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Ahh alles klaro dann komme ich auch auf Arthur Dents Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\binom{x}{n+1}}{\binom{x}{n}} = \frac{x-n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Allerdings weiß ich nicht wie ich die Aufgabe dann lösen soll ? Jemand eine Idee ?

Wenn ich oben weitermache klappt das nicht oder ?
$\begin{eqnarray*} \frac{x-n}{n+1} = \frac {\frac x n - 1}{1+\frac 1 n} \end{eqnarray*}$

Für lim n gegen unendlich konvergiert der Nenner gegen 1 und der Zähler gegen x/n - 1 und das ist kleiner 1.

Naja glaub das wird so nix unglücklich

Wie dann ?

12.03.2007, 12:35

SilverBullet

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*push*

12.03.2007, 13:06

Popeye

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Eine ausführliche Diskussion des Konvergenzverhaltens der Binomialreihe findet sich im Lehrbuch der Analysis Teil 1 von Harro Heuser (Kapitel VIII, Nr.65).

P.S.: Damit möchte ich dieses Buch keinesfalls implizit empfehlen, da es für meinen Geschmack viel viel zu schwülstig und schwafelig verfasst wurde.

12.03.2007, 13:31

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Und ohne Heuser: Sei $\begin{eqnarray*} m = \lceil x\rceil \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C : =m(m-1) \cdot \left| \binom{x}{m} \right| \end{eqnarray*}$ . Dann kann man

$\begin{eqnarray*} \left| \binom{x}{n} \right| \leq \frac{C}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq m \end{eqnarray*}$

ohne größere Probleme durch vollständige Induktion nachweisen. Mit dieser Abschätzung nach oben greift dann das Majorantenkriterium.

12.03.2007, 20:52

SilverBullet

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Super vielen Dank smile

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